1、- 1 -一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知关于 x与 y之间的一组数据：则 y与 x的线性回归方程 ybxa必过点（ ）A (4,7) B (3.5,6) C (3.5,7) D (5,6)【答案】A考点：线性回归方程的性质.2.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k的值是（ ）A6 B8 C5 D7【答案】D【解析】- 2 -试题分析：这个循环结构是当型循环结构，第一次循环： 9210S， 1k；第二次循环：972S， k；第三次循环： 9327S， k；第四次循环： 85293S，4k；第五
2、次循环： 692854S， 5k；第六次循环： 765， 6k；第七次循环：6， k 0，输出 故选 D考点：程序框图.【方法点睛】本题主要考查的是程序框图，属于容易题解题时一定要抓住重要条件“ ?0S”，否则很容易出现错误对于循环结构的流程框图，主要是根据循环的次数，当循环次数较少时，逐次列出循环过程，当循环次数较多时，寻找其规律；在该题中，在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可3.已知 0ab，则 ab与 的大小关系是（ ）A B ab C ab D无法确定【答案】B考点：不等式比较大小. 4.已知 zC，若 2|0z，则 z（ ）A
3、 i B i C.0 D0 或【答案】D【解析】试题分析：设 yixz，故 0222 yxiy，即 0022xyy，解得 10yx，故 0z或 i，故选 D.考点：复数的运算.5.已知 ,ab为实数，则“ 0a且 b”是“ 0ab且 ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必要条- 3 -件【答案】C考点：充要条件的判断.6.2(1)i（ ）A i B 2i C. 2 D-2【答案】C【解析】试题分析： 212i，故选 C.考点：复数的运算.7.下列命题中若 0()fx，则函数 ()yfx在 0取得极值；直线 521与函数 sin2)3的图象不相切；若 z
4、C（ 为复数集） ，且 |1z，则 |2|1zi的最小值是 3；定积分 02464xd.正确的有（ ）A B C. D【答案】D【解析】试题分析：若 0()fx，且在 0x的左右附近导数的符号改变，则函数 ()yfx在 0取得极值，故不正确；若直线与函数的图象相切，则 250xf，即 253cos0x，显然 0不存在，故正确； |2|1zi的几何意义是以 ,A为圆- 4 -心，半径为 1的圆， iz2的几何意义是圆上一点到点 2,B的距离，连接 AB并延长，显然最小值为 34AB，故正确；令 216xy，则 016y，点 yx,的轨迹表示半圆，定积分 026dx表示以原点为圆心， 4为半径的圆
5、面积的 4，故定积分 24164d，故正确故选：D考点：命题的真假的判定与应用.【方法点睛】本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题函数在某点处取得极值一定要考虑左右两侧导数值符号相反；求出导数 xf，由切线的斜率等于 0xf，根据三角函数的值域加以判断即可；|2|1zi表示圆， iz2的几何意义两点的距离，通过其意义可得解；令 216xy的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的 418.将号码分别为 1、2、9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为 a，放回后，乙
6、从此袋中再摸出一个球，其号码为 b.则使不等式0ab成立的事件发生的概率等于（ ）A 618 B 6081 C.5981 D 5281【答案】A考点：等可能事件的概率.【方法点睛】本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有 9种结果，满足条件的事件是使不等式 210ab成立的，即 102ab，列举出当,8765,4321b时的所有的结果，得到概率9.已知函数 ()fx的导函数为 ()fx，且满足 ()()lnfxfx，则 ()f（ ）A e B1 C.-1 D
7、e- 5 -【答案】C考点：（1）导数的乘法与除法法则；（2）导数的加法与减法法则.10.设 52501()xaxax ，那么 02413a的值为（ ）A 12 B 6 C. 241 D-1【答案】B【解析】试题分析： 1x时， 543210aa； 3x时， 5432105 aa， 2420a， 31， 631420，故选：B考点：二项式定理的应用.第卷（非选择题共 100 分）二、填空题（本大题共 7 小题，每题 5 分，满分 35 分 ）11.用 18m长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2:1，则该长方体的最大体积是_ 3.【答案】 3【解析】试题分析：设该长方体
8、的宽是 x米，由题意知，其长是 x2米，高是 x329418米， 230x则该长方体的体积 23969xV，由 0V，得到 1，且当1时， 0V；当 231时， 0，即体积函数 x在 1处取得极大值 3V，也是函数 x在定义域上的最大值所以该长方体体积最大值是 3故答案为： 3考点：（1）导数在最值中的应用；（2）棱柱、棱锥、棱台的体积.12.有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，若 X表示取到次品的件数，则 EX_.【答案】 5- 6 -考点：离散型随机变量的期望与方差.13.已知函数 ()tanfx，则 ()fx在点 (,)4Pf处的线方程为_.【答案】 210y【解析】
9、试题分析： xf2sec，把 4代入得到切线的斜率 24cos1se42 fk，切点为1,4，则所求切线方程为 21xy，即为 210xy故答案为： 102xy考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程.14.已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布 2(,5)N，那么该电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_.【答案】 12【解析】试题分析：某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布 2(10,5)N，图象关于10x对称，该电子元件的使用寿命超过 10小时的概率为 ，故答案为： 考点：正态分布曲线的特点.15. 352()x展开式中的常数项是_.【答案】 10- 7 -考
10、点：二项式定理.16.设函数 ()fx的定义域为 D，如果存在正实数 k，对于任意 xD，都有 xk，且fk恒成立，则称函数 ()fx为 上的“ 型增函数” ，已知函数 ()f是定义在 R上的奇函数，且当 0x时， ()|2fxa，若 ()f为 R上的“2015 型增函数” ，则实数 a的取值范围是_.【答案】 2156a【解析】试题分析： ()fx是定义在 R上的奇函数，且当 0x时， axf2，0,2axf，又 ()fx为 上的“ 215型增函数”，（1）当 0时，由定义有x2015，即 ax0，其几何意义为到点 a小于到点 2015的距离，由于 故可知 15得 2a，当 0时，若 201
11、5x，则有xax2，即 x15，其几何意义表示到点 的距离小于到点2015a的距离，由于 0，故可得 ，得 2a；若 0x，则有xx，即 xa420，其几何意义表示到到点 a的距离与到点 的距离的和大于 4，（2）当 时，显然成立，当 0时，由于1502015aa，故有 a215，必有 4215，解得 6，综上，对 Rx都成立的实数 a的取值范围是 6a，故答案为： 06考点：函数奇偶性的性质.【方法点晴】本题考察了函数的奇偶性，考察新定义问题，根据绝对值的几何意义得到不等式是解答本题的关键，本题是一道中档题遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章
12、办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题中主要围绕存在正实数 k，对于任意 xD，都有 xk，且 ()(fxkf恒成立，根据题意进行分类讨论.17.已知过点 (3,0)M的直线 l被圆 225y所截得的弦长为 8，那么直线 l的方程为_.【答案】 x或 510y- 8 -考点：直线与圆的位置关系.【方法点睛】本题考查了待定系数法求直线方程，考查了直线与圆相交的相交弦长公式，注意不要漏掉 3x，难度中档；当直线与圆相交时，弦长的一半、圆心到直线的距离以及圆的半径构成直角三角形可求出点 2,0到直线的距离为 3，已知直线过某点时，分为斜率存在和斜率不存在时两种情况，当斜率不存在时进行验证
13、，当斜率存在时设为点斜式，利用点到直线的距离可得结果.三、解答题（本大题共 5 小题，共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分 12 分）已知函数 3()16fx.（I）求曲线 y在点 (2,)处的切线方程；（II）直线 l为曲线 fx的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标.【答案】 （I） 13y；（II） (,6).【解析】试题分析：（I）先求出函数的导函数，再求出函数在 (2,6)处的导数即斜率，易求切线方程；（II）设切点为 0,yx，则直线 l的斜率为 0()31fx，从而求得直线 l的方程，有条件直线 l过原点可求解切点坐标，进而可得直线
14、的方程试题解析：（I） 2()31fx.所以在点 (2,6处的切线的斜率 2()31kf，切线的方程为 2yx；（II）设切点为 0(,)，则直线 l的斜率为 20()fx，所以直线 l的方程为： 230(31)16yx，所以又直线 过点 ,)，- 9 - 23000(31)16xx，整理，得 8， 2， 30(2)y， l的斜率 23()13k，直线 l的方程为 1yx，切点坐标为 (,6.考点：（1）利用导数研究曲线在某点处的切线方程；（2）直线的点斜式方程.19.（本小题满分 12 分）已知函数 3221()ln()(fxaxaxR， 22()3lngxx（I）求证： g在区间 ,4上单
15、调递增；（II）若 2，函数 ()fx在区间 2,上的最大值为 ()Ga，求 ()的试题分析式并判断 ()Ga是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据： 0.69ln2.7）【答案】 （I）证明见解析；（II）3321l,(4)()48aGa(a有最小值，没有最大值.试题解析：（I）证明： 22()3lngxx， ()6ln1gx，设 hx，则 ()6l5hx，当 24时， 0， 在区间 (2,4)上单调递增 . ()3ln1)，当 x时， (2)hx. ()g在区间 ,4上单调递增.（II） 3221ln()(fxaxaxR，- 10 - ()fx的定义域是 (0,)，且32()()afx
16、，即2()xaf. 2a， 2a，当 x变化时， ()fx、 f变化情况如下表：当 24a时， 2， ()fx在区间 2,4上的最大值是 3321()lnfaa.当 时， ()fx在区间 ,4上的最大值为 32()ln48f.即3321ln,()28)aaG（1）当 4时， 22()lnGa.由（I）知， ()a在 ,上单调递增.又 (2)6ln50G， (4)128l3)0，存在唯一 0(,)，使得 0Ga，且当 a时， ()0Ga， ()单调递减，当04a时， ， ()单调递增.当 2时， 有最小值 0.（2）当 时， 2 28()6ln846ln()43llnGaa， ()a在 4,单调
17、递增 .又 18ln23)0，当 时， (G. ()a在 4,)上单调递增.综合（1） （2）及 (a试题分析式可知， ()Ga有最小值，没有最大值.考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）导数在最大值、最小值的应用.- 11 -【方法点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数的单调性的运用和零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题要证 xg在 2,4递增，即证 0xg在 2,4上恒成立，等价于 0minxg恒成立，令 xgh，利用 h与 0的关系，得到 h的单调性得其最小值；判断函数在闭区间内的最值，主要根据在该区间内的单调性，根据导函数的零点与区间端点的关
18、系进行讨论.20.（本小题满分 12 分）已知命题 :p抛物线 214yx的焦点 F在椭圆21xyb上命题 :q直线 l经过抛物线 214yx的焦点F，且直线 l过椭圆2b的左焦点 1， pq是真命题（I）求直线 的方程；（II）直线 l与抛物线相交于 A、 B，直线 1l、 2，分别切抛物线于 AB、 ，求 12l、 的交点 P的坐标【答案】 （I） 1yx；（II） (2,)P.【解析】试题分析：（）通过将抛物线 214yx的焦点 1,0F代入椭圆21xyb得 ，进而椭圆的左焦点是 1(,0)F，计算即得结论；（）不妨假定点 A在第二象限，通过联立直线 l与椭圆方程可知 A、 B点坐标，利
19、用对抛物线方程求导可知斜率，进而计算可得结论- 12 -（II）不妨假定点 A在第二象限，由方程组2,41xy得 (2,3)A， (2,32)B.由 214yx得， 1yx，所以直线 12l、 的斜率分别是 、 ， 12l、 的方程分别是 (3)()2)x，(3)(12)yx.解两个方程构成的方程组得 (,1)P.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.21.（本小题满分 14 分）已知 ()lnfxmax， ()xeg，其中 ,ma均为实数（I）求 g的极值；（II）设 1， 0a，求证：对 1212,3,4()xx， 2121|()| |()exfxfg恒成立（III）设 2，若对 给定的 0(,
20、e，在区间 0,e上总存在 12,tt使得10()()ftftgx成立，求 m的取值范围【答案】 （I） ()极大值 (1)，无极小值；（II）证明见解析；（III） 31me.【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值；（II）通过 1m， 0a，化简 ()1fx，利用函数的单调性，转化原不等式转化2211()()efxfg，构造函数 ()1()xehxfg，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立；（III）由（1）得 g的最大值，求出函数 f的导数，判断 0m，不满足题意；当0m时，要 12,t使得 12()ftft， xf的极值点必在区间 (0
21、,)e内，求出 的范围，当 2e，利用 xg在 (,)e上的值域包含于 f在 m,0和 ,2上的值域，推出关系式，通过构造函数)2xw，通过导数求解函数的最值，然后推出 .- 13 -试题解析：（I） ()xeg， (1)xeg， (,)， (1,)， ()gx极大值 (1)，无极小值；设 1234x，则原不等式转化为 2121()()exfxfg，即 21()()eeffxgg.令 ()()xhxf，即证 12， 1h，即 ()在 3,4， ()0xhe在 3,4恒成立，即 在 ,，即所证不等式成立.（III）由（I）得 ()gx在 ,1， (,)e， max()(1)g，所以 ()0,1x
22、.又 2fm，当 时， ()0fx， ()f在 ,e，不符合题意.当 时，要 12,t使得 12tt，那么由题意知 ()fx的极值点必在区间 (,)e内，即 2em.得 me，且函数 在 (0,)m， ，由题意得 ()gx在 ,e上的值域包含于 ()fx在 0,)和 (,)e上的值域. 2(,)e内，2031()1fe.- 14 -下面证 2(0,tm时， ()1ft，取 mte，先证 2，即证 0me.令 )xwe， 20xw，在 3,)1内恒成立. (， 3()1e， me. 再证 1mfe， mf， 31e. 考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）导数在最值中的应用.22.如图，椭圆
23、的右焦点 2F与抛物线 24yx的焦点重合，过 2F且于 x轴垂直的直线与椭圆交于 S，T，与抛物线交于 CD， 两点，且 |ST（I）求椭圆的标准方程；（II）设 P为椭圆上一点，若过点 (2,0)M的直线 l与椭圆相交于不同两点 A和 B，且满足OABt（ 为坐标原点） ，求实数 t的取值范围【答案】 （I）21xy；（II） (2,0)(,.【解析】试题分析：（）由焦点 2(,)F，根据 |CDST，所以 |2，由此能求出椭圆方程；（）设过 (,0)M的直线为 ykx，与椭圆方程联立，得 2(1)80kxk，设1(,)Axy， 2,B， 0(,)P，由 OABtP，得 201xty，由此
24、结合题设条件能求出实数 t的取值范围- 15 -（II）由题意，直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 (2)ykx.由2()xyk消去 ，得 22(1)80kx.设 1,A， 2,Bx， 0,Py，则 12， 是方程的两根，所以 2(8)4()8kk，即 k，且212x，由 OABt，得 120xty.若 0t，则 P点与原点重合，与题意不符，故 t.20121228()14()kxtt kyxt AA.因为点 0(,)Px在椭圆上，所以， 22202183()(1)kkytA，422218()kt k.再由得 10t，又 0t， (2,)(,t.考点：（1）椭圆的应用；（2）椭圆的简单性质.【方法点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注- 16 -意等价转化思想的合理运用，综合性较强，计算量较大，属于难题；已知直线上一点讲直线设为点斜式，直线与椭圆相交，联立直线的方程和椭圆的方程构成方程组，运用韦达定理以及设而不求整体代换的思想，根据 0得到 k的范围，将向量关系转化为坐标，运用点在椭圆上代入椭圆方程，在该题中容易忽视t.
