1、页 1 第2018 届四川省双流中学高三 11 月月考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故选 D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分2. 已知全集 集合 ， ，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，
2、，故选 C.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错3. 已知 是空间不同的三条直线，则下列四个命题正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据平行的传递性，可知 ，所以正确；对于因为 正确，显然不正确，错误， 故选 A.4. 若等比数列 的首项为 ，且 ，则公比等于( )A. -3 B. 3 C. 2 D. -2页 2 第【答案】B【解析】 ， ，即 ，故选
3、 B.5. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题: 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 5、2，则输出的 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】 ， ， ，判断 否，所以 ，进入循环 ， ，判断是，输出 ，故选 A.6. 若点 在直线 上，则 ( )A. 0 B. C. D. 【答案】D【解析】点 P（cos，sin）在直线 y=-2x 上，sin=-2cos ，即 tan=-2，则 故选 D7. 已知变量 满足 ，则 的最大值是( )A. B. 2 C. -2 D. -8【答案】A页
4、 3 第【解析】作出可行域如图：作直线 ，平移 经过点 A 时，有最大值，由 解得 ，所以 ，故选 A.8. 下列命题正确的个数是( )命题“ ”的否定是“ ”；函数 的最小正周期为 是“ ”的必要不充分条件； 在 上恒成立 在 上恒成立；“平面向量与 的夹角是钝角 ”的充分必要条件是“ ”A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】试题分析：命题显然成立；在命题 ，故命题 成立；在命题 中的最值不一定同时取到，故命题错误；在命题中试得 成立的有可能夹角为 ，故命题错误，综上正确命题的是 ，故选 B考点：命题的真假9. 若 在 上是减函数，则的取值范围是( )A. B. C. D.
5、 【答案】C【解析】 在 上是减函数， 恒成立，即， ，故 ，故选 C.10. 若将函数 的图象向左平移 个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数 在 上的最小值( )页 4 第A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，向左移 得：，因为关于点 对称，所以，因为 ，所以 ，故 ，因为，所以 ，故选 D.11. 已知双曲线 ，过点 的直线与 相交于 两点，且 的中点为 ，则双曲线 的离心率为 ( )A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知直线斜率显然存在 ，可设直线方程为 ，与双曲线联立消去 可得由根系数的关系与 的中点为 知 ，又 ，可得离心率 故本题答案选 12.
6、若存在 ，使得关于 的方程 成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 ， ，令 ，（ ） ，则 ， ，故 在 内单调递增，当 时， ，当 时， ，根据单调性可得 ， ，解得 或 ，故选 C.点睛：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运页 5 第用；由题意得 ， ，令 ，利用二次求导及导数性质能求出实数的取值范围.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中， 的系数为_【答案】240【解析】根据组合的可知， 的系数为 ，故填 240.14. 直线与圆
7、 相交于 两点，若弦 的中点为 ，则直线的方程为_【答案】【解析】由圆的方程可得，圆心为 ，所以 ，故直线的斜率为 ，所以直线方程为，即 ，故填 .15. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，且 ，则 的面积是_【答案】【解析】由余弦定理可得： ，由 可得： ，由可得：， .点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.16. 已知 为 的外心，其外接圆半径为 1，且 .若 ，则 的最大
8、值为_【答案】【解析】以 O 为原点建立平面直角坐标系，如图页 6 第 设 则 ，解得 B 在圆上，代入即 ，解得 或 （舍去）故最大值为 ，故填 .三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答17. 设数列 的前 项和为 ，且 (1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由 与 的关系， 可得出 为常数 ，数列为等比数列，可求出通项；（2）根据 的特点，采用错位相减法求数列的前 n 项和即可.页 7 第试题解析：(1)由
9、 , （ ）-得 ， ，又当 时， ，即 ，(符合题意) 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， (2)由(1)得: ，-得： ， 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误18. 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次(指针停在任一位置的可能性相等)，并获得相应金额的返券若指针停在 区域返券 60 元；停在 区域返券 30 元；停在 区域不返券例如:消费 2
10、18 元，可转动转盘 2 次，所获得的返券金额是两次金额之和(1)若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率；(2)若某位顾客恰好消费 280 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 (元)求随机变量 的分布列和数学期望【答案】 （1） ；（2）40【解析】试题分析：（1）由题意可知，A 区扇形区域的圆心角为 ，根据几何概型可知，指针停在 A 区的概率为 ，同理可求指针落在 B 区域的概率为 ，指针落在 C 区域的概率为 ，所以若某位顾客消费 128页 8 第元，根据规则，可以转动一次转盘，若返券金额不低于 30 元，则指针落在 A 区域或落在 B 区域，而由于指针落在
11、 A 区域或落在 B 区域为互斥事件，根据互斥事件概率加法公式，返券金额不低于 30 元的概率为；（2）若某位顾客消费 280，则可以转动 2 次转盘，那么他获得返券的金额 X 的所有可能取值为0,30,60,90,120，概率为 ， ， ， 。即得到 X 的分布列，然后可以根据公式求 X 的数学期望。试题解析：设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C 则（1）若返券金额不低于 30 元，则指针落在 A 或 B 区域即所以消费 128 元的顾客，返券金额不低于 30 元的概率是 （2）由题意得,该顾客可转动转盘 2 次,随机变量 的可能值为 0,30,60,90，120所以，随机变
12、量 的分布列为：0 30 60 90 120其数学期望考点：1.几何概型；2.随机事件的概率；3.离散型随机变量的分布列和数学期望。19. 在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 点在底面 内的射影 在线段 上，且 ， ， 为 的中点， 在线段 上，且 .页 9 第(1)当 时，证明:平面 平面 ；(2)当平面 与平面 所成二面角的正弦值为 时，求四棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（）接 ，作 交 于点 ，则四边形 为平行四边形，在 中由余弦定理得 ，由勾股定理可得 ，在 中， ， 分别是 ， 的中点，结合中位线及平行的传递性可得 ，故可得 平面 ，由线面平行判定
13、定理可得结论；（ ）以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量与二面角平面角之间关系可得： ，由棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（）证明：连接 ，作 交 于点 ，则四边形 为平行四边形，在 中， ， ， ，由余弦定理得 所以 ，从而有 .在 中， ， 分别是 ， 的中点，则 ， ，因为 ，所以 .由 平面 ， 平面 ，得 ，又 ， ，得 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .（）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， .平面 的一个法向量为 .设平面 的法向量为 ，由 ， ，得
14、 令 ，得 .页 10 第由题意可得， ，解得 ，所以四棱锥 的体积 . 20. 已知点 在圆 上，而 为 在 轴上的投影，且点 满足 ，设动点 的轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程；(2)若 是曲线 上两点，且 ， 为坐标原点，求 的面积的最大值.【答案】 （1） ；（2 ）1【解析】试题分析：由 可知，N 为中点，用相关点法可以求出 N 点的轨迹方程。分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设直线 方程为： ，与椭圆组方程组，利用弦长公式和韦达定理建立 k，t 的关系式。再利用点到直线的距离公式和面积公式用 k,t 表示三角形面积，消t，换元可解。试题解析：（1）设 , 轴，所以又设 ,由
15、有 代入 即曲线 的方程为（2）设 ， ，直线 方程为： ，联立 得 ，故 ，由 4 ，得 ，页 11 第故原点 到直线 的距离 ， ，令 ，则 ，又 ， 当 .当斜率不存在时， 不存在，综合上述可得 面积的最大值为 1.21. 设函数(1)研究函数 的极值点；(2)当 时，若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围；(3)证明: 【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求出函数 的导数 ，对 的符号进行分类讨论，即对函数 是否存在极值点进行分类讨论，结合函数的单调性或导数符号确定函数的极大值或极小值；（2）利用（1）中的结论，将问题转化为 ，结合（1）中的结论列不等
16、式解参数 的取值范围；（3）在（2）中，令 ，得到不等式 在 上恒成立，然后令 得到 ，两边同除以 得到，结合放缩法得到 ，最后；利用累加法即可得到所证明的不等式.试题解析：（1） ，当 上无极值点当 p0 时，令 的变化情况如下表：x (0， )+ 0 页 12 第 极大值 从上表可以看出：当 p0 时， 有唯一的极大值点（2）当 时在 处取得极大值 ，此极大值也是最大值，要使 恒成立，只需 ， ，即 p 的取值范围为 1，+ ；（3）令 ，由（2）知， ， ， ,结论成立另解：设函数 ，则 ，令 ，解得 ，则 ， = = （ 考点：1.函数的极值；2.不等式恒成立；3.分类讨论；4.数列不
17、等式的证明；5.放缩法22. 在直角坐标系中，直线过定点 ，且倾斜角为 ，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 (1)写出的参数方程和 的直角坐标方程；(2)若直线与曲线 交于 两点，且 ，求 的值【答案】 （1） ， ；（2） 或【解析】试题分析：（1）由直线过定点 ，且倾斜角为 （ ）可写出直线的参数方程。利用可求出曲线 C 的参数方程。页 13 第（2）把直线的参数方程代入（1）中所求的抛物线方程，利用 t 的几何意义，可求解。试题解析：【答案】 （1） （为参数） ， ；（2） 或 .试题分析：试题解析：解：（1） （2）把直线方程代入抛物线方程得：23. 设函数 的最小值是-3.(1)求 的值；(2)若 ，是否存在正实数 满足 ？并说明理由【答案】 （1）2；（2）不存在【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，结合图像可得 ，解得 的值；（2）先利用基本不等式求 最值： ，而 ，即 ，因此 ，因此不存在.试题解析：（I）因为 ，所以 .（II） ，矛盾.所以不存在正实数 满足条件.
