1、3-1-3 空间向量的数量积运算命题方向 1 向量的数量积的概念与运算1、 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，计算(1) ；(2) ；(3) ；(4) .EF BA EF BD EF DC BF CE 解析 (1) | | |cos ， EF BA 12BD BA 12BD BA BD BA 11cos60 .来源:学优高考网 gkstk12 14(2) | | |cos ， EF BD 12BD BD BD BD 11cos0 .12 12(3) cos ， EF DC 12BD DC 12|BD| |DC| BD DC
2、 11cos120 .来源:学优高考网12 14(4) ( ) ( )BF CE 12BD BA 12CB CA ( ) ( ) 14BD BC BA BC BD CA BA CA ( ) 14 BD BC BA BC CD CB CA AB AC .14 12 12 12 12 12 182、向量 a、b 之间的夹角为 30，且|a| 3， |b|4，则ab _，a 2_，b 2_，( a2b)(ab)_.答案 6 9 16 6 233 3解析 ab |a|b|cos a，b34cos306 ；3a2aa|a| 29；b2bb|b| 216；(a 2b)(a b)a 2ab2b 296 32
3、36 23.3命题方向 2 向量的夹角1、 如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，求异面直线A1B 与 AC 所成的角解析 不妨设正方体的棱长为 1, 设a， b， c ，则|a| |b| |c|1，abbcca 0，来源:学优高考网AB AD AA1 ac， a b.A1B AC (ac)(ab) | a|2abacbc1，而| |A1B AC A1B | .AC 2cos ， ， ， 60.A1B AC 122 12 A1B AC 因此，异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60.2、已知|a| 2 ，|b| ，ab ，则 a 与 b 的夹角为_222 2答案 45解析 c
4、osa，b ，ab|a|b| 22222 220 a，b180，a，b45，a 与 b 夹角的大小为 45.来源:gkstk.Com命题方向 3 垂直问题1、 已知三棱锥 OABC 中，AOBBOCAOC，且OA OB OC.M、N 分别是 OA、BC 的中点，G 是 MN 的中点，求证：OGBC.证明 如图所示，连结 ON，设AOB BOCAOC ，又设 a， b， c ，则| a| b|c|，OA OB OC ab b ca c|a| 2cos，又 ( )OG 12OM ON ( ) (abc) 1212OA 12OB OC 14cb，BC (abc)(c b)，OG BC 14 (aca
5、bb 2c 2)0.14OGBC.2、已知空间四边形 OABC 中，M、N、P、Q 分别为BC、AC、OA、OB 的中点，若 ABOC ，求证：PMQN.证明 如图，设 a， b， c ，OA OB OC 又 P、 M 分别为 OA，BC 的中点 (bc) aPM OM OP 12 12 (ba)c12同理， (ac) b (ba)cQN 12 12 12 |ba| 2| c|2，PM QN 14又 ABOC，即|ba|c|. 0. ，即 PMQN.PM QN PM QN 命题方向 4 距离问题1、 如图(1)，在平行四边形 ABCD 中，ABAC1 ，ACD90，将它沿对角线 AC 折起，使
6、 AB 与 CD成 60角( 如图(2)，求 B、D 间的距离解析 ACD90， 0.同理 0.AC CD AC BA AB 与 CD 成 60角，来源:学优高考网 ， 60或 120.BA CD | |2| |2| |2| |22 2 2 3BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD 211cos ， CD ，BA 当 ， 60时，| |24，BA CD BD | |2.BD 当 ， 120时，| |22，BA CD BD | | .BD 2即 B、 D 间的距离为 2 或 .22、已知平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是 1，且两两夹角为 60，求 AC1 的长解析 ，AC1 AB AD AA1 | |2( )2AC1 AB AD AA1 2 2 22 2 2 AB AD AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 111211cos60211cos60211cos606.| | .AC1 6
