1、第 1 页（共 30 页）2016-2017 学年陕西省西安市长安一中大学区联考高三（下）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1z= （ i 是虚数单位）则 z 的共轭复数为（ ）A2 i B2+i C2 i D 2+i2已知全集 U=R，集合 A=x|y=lg（x 1），集合 ，则AB=（ ）A B （1，2 C 2，+） D （1，+）3某校开设 A 类选修课 2 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）A3 种 B6 种 C
2、9 种 D18 种4为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 y （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8据上表得回归直线方程 = x+ ，其中 =0.76， = ，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为（ ）A11.4 万元 B11.8 万元 C12.0 万元 D12.2 万元5已知命题 p：x1， ；命题 q：x 0R， ，则下列命题中为真命题的是（ ）Ap q B （p）（q） Cp （q） Dpq6将函数 的图象分别向左、向右各平移 个单位后，所
3、得的两个图象的对称轴重合，则 的最小值为（ ）第 2 页（共 30 页）A3 B C6 D7某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A B6 C D 8若等比数列a n的前 n 项和 ，则 a2=（ ）A4 B12 C24 D369一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为 ，则空白处应填入的条件是（ ）Ai9 Bi 6 Ci9 Di810已知正项数列a n中， a1=1，a 2=2，2a n2=an+12+an12（n 2） ，则 a6 等于（ ）A16 B8 C D411已知双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F 2，过 F2 的直线交双曲线的右支于 P，Q
4、两点，若|PF 1|=|F1F2|，且 3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（ ）A B C2 D第 3 页（共 30 页）12已知函数 f（x ）= 函数 g（x）=f（x）2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A 1，3） B3，1 C 3，3） D 1，1）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若实数 x，y 满足 ，则 z=x2+y2 的取值范围是 14己知向量 ， 满足| |=| |=2，且（ +2 ）（ ）=2，则向量 与 的夹角为 15已知过点 M（1 ，1）的直线 l 与椭圆 相交于 A，B 两点，若点 M是 AB 的中
5、点，则直线 l 的方程为 16如图，y=f（x）是可导函数，直线 l：y=kx+2 是曲线 y=f（x）在 x=3 处的切线，令 g（x ）=xf（x） ，其中 g（x ）是 g（x ）的导函数，则 g（3）= 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） （一）必考题（共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分）17已知锐角ABC 中内角 A、B 、C 所对边的边长分别为 a、b 、c，满足a2+b2=6abcosC，且 （）求角 C 的值；（）设函数 ，图象上相邻两最高点间的第 4 页（共 30 页）距离为 ，求 f（A）的取值范围1
6、8如图，三棱锥 PABC 中，PA 平面 ABC，ABC=90，PA=AC=2 ，D 是 PA 的中点，E 是 CD 的中点，点 F 在 PB 上， （1）证明：EF平面 ABC；（2）若BAC=60 ，求点 P 到平面 BCD 的距离19 “一带一路” 是“ 丝绸之路经济带 ”和“21 世纪海上丝绸之路 ”的简称，某市为了了解人们对“ 一带一路” 的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分 100 分（90 分及以上为认知程度高） ，现从参赛者中抽取了 x 人，按年龄分成 5 组（第一组：20 ，25） ，第二组：25，30） ，第三组：30，35） ，第四组：
7、35 ，40） ，第五组：40，45） ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有 6 人（1）求 x；（2）求抽取的 x 人的年龄的中位数（结果保留整数） ；（3）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取 6 人，42 人，36 人，24 人，12 人，分别记 15 组，从这 5 个按年龄分的组和 5 个按职业分的组中每组各选派 1 人参加知识竞赛代表相应的成绩，年龄组中 15 组的成绩分别为 93，96，97，94，90，职业组中 15 组的成绩分别为 93，98，94 ，95，90（I）分别求 5 个年龄组和 5 个职业组成绩的平均数和方差；（II）以
8、上述数据为依据，评价 5 个年龄组和 5 个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想第 5 页（共 30 页）20已知 E（ 2，2 ）是抛物线 C：y 2=2px 上一点，经过点 D（2，0）的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点（不同于点 E） ，直线 EA，EB 分别交直线 x=2 于点M，N（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知 O 为原点，求证： MON 为定值21已知函数 f（x ）=xlnx，g（x）= x2x（1）求 f（x）的单调区间和极值点；（2）是否存在实数 m，使得函数 h（x ）= +m+g（x）有三个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不
9、存在，请说明理由选修 4-4：坐标系与参数方程22已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，0 ） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为=2 sin（+ ） （）若极坐标为 的点 A 在曲线 C1 上，求曲线 C1 与曲线 C2 的交点坐标；（）若点 P 的坐标为（1，3） ，且曲线 C1 与曲线 C2 交于 B，D 两点，求|PB|PD|第 6 页（共 30 页）选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0 ，c0，函数 f（x ）=|x+a |+|xb|+c 的最小值为 4（1）求 a+b+c 的值；（2）求 a2+ b2+c2 的最小值第
10、 7 页（共 30 页）2016-2017 学年陕西省西安市长安一中大学区联考高三（下）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1z= （ i 是虚数单位）则 z 的共轭复数为（ ）A2 i B2+i C2 i D 2+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解答】解：z= = ， 故选：C2已知全集 U=R，集合 A=x|y=lg（x 1），集合 ，则AB=（ ）A B （1，2 C 2，+） D （1，+）【考点】1E：交集及
11、其运算【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A，求出 B 中 y 的范围确定出 B，找出两集合的交集即可【解答】解：由 A 中 y=lg（x1） ，得到 x10，即 x1，A=（1，+） ，由 B 中 y= = =2，得到 B=2，+） ，则 AB=2，+） ，故选：C第 8 页（共 30 页）3某校开设 A 类选修课 2 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）A3 种 B6 种 C9 种 D18 种【考点】D3：计数原理的应用【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门；A 类选修
12、课选 2 门，B 类选修课选 1 门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果【解答】解：可分以下 2 种情况：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，有 C21C32 种不同的选法；A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有 C22C31 种不同的选法根据分类计数原理知不同的选法共有 C21C32+C22C31=6+3=9 种故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 9 种故选：C4为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 y （万元） 6.2 7.5
13、8.0 8.5 9.8据上表得回归直线方程 = x+ ，其中 =0.76， = ，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为（ ）A11.4 万元 B11.8 万元 C12.0 万元 D12.2 万元【考点】BK：线性回归方程【分析】由题意可得 和 ，可得回归方程，把 x=15 代入方程求得 y 值即可【解答】解：由题意可得 = （8.2+8.6 +10.0+11.3+11.9）=10 ，= （ 6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得 80.7610=0.4，回归方程为 =0.76x+0.4，第 9 页（共 30 页）把 x=15 代入方程可得 y=0.7615
14、+0.4=11.8，故选：B5已知命题 p：x1， ；命题 q：x 0R， ，则下列命题中为真命题的是（ ）Ap q B （p）（q） Cp （q） Dpq【考点】2E：复合命题的真假【分析】命题 p：是假命题，例如 x0 时无意义；命题 q：是真命题，例如取x0=2 时成立再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论【解答】解：命题 p：x1， ，是假命题，例如 x0 时无意义；命题 q：x 0R， ，是真命题，例如取 x0=2 时成立则下列命题中为真命题的是 pq 故选：A6将函数 的图象分别向左、向右各平移 个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则 的最小值为（ ）A3 B C6 D【考点
15、】HJ：函数 y=Asin（x +）的图象变换【分析】根据正弦型函数的图象和性质，可得满足条件时，函数的最小正周期为 ，进而得到答案【解答】解：将函数 的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则函数的周期不大于 ，若 取最小值，则函数的最小正周期为 ，第 10 页（共 30 页）即 = ，解得：= ，故选：D7某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A B6 C D 【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分
16、为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为 2，圆锥的高为 2，圆柱的高为1，几何体的体积 V=V 半圆锥 +V 半圆柱 = 222+ 221= 故选 C8若等比数列a n的前 n 项和 ，则 a2=（ ）A4 B12 C24 D36【考点】89：等比数列的前 n 项和第 11 页（共 30 页）【分析】由 ，和a n为等比数列，解得 a=2，由此能求出 a2【解答】解： ， ，a2=S2S1=（9a2）（3a2 ） =6a，a3=S3S2=（27a2）（9a 2）=18a，a n为等比数列，（6a） 2=（3a2）18a，解得 a=2，或 a=0（舍）
17、，a=2，a 2=S2S1=6a=12，故选 B9一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为 ，则空白处应填入的条件是（ ）Ai9 Bi 6 Ci9 Di8【考点】EF：程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 S=0 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=2 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=3 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=4 ，第 12 页（共 30 页）当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S=
18、 ，i=5 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=6 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=7 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=8 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=9 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=10，当 S= 时，满足输出条件，故空白处的条件为：i9，故选：A10已知正项数列a n中， a1=1，a 2=2，2a n2=an+12+an12（n 2） ，则 a6 等于（ ）A16 B8 C D4【考点】8H：数列递推式【分析】由题设知 an+12an2=an2an12，且
19、数列a n2为等差数列，首项为 1，公差d=a22a12=3，故 an2=1+3（ n1）=3n2，由此能求出 a6【解答】解：正项数列a n中，a 1=1，a 2=2，2a n2=an+12+an12（n 2） ，a n+12an2=an2an12，数列a n2为等差数列，首项为 1，公差 d=a22a12=3，a n2=1+3（n 1）=3n 2， =16，a 6=4，故选 D第 13 页（共 30 页）11已知双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F 2，过 F2 的直线交双曲线的右支于 P，Q 两点，若|PF 1|=|F1F2|，且 3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线
20、的离心率为（ ）A B C2 D【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线 l，设 P 到 l 的距离为 d，根据双曲线的第二定义即可求出 Q 到 l 的距离为 过 Q 作 l 的垂线 QQ1，而过 P 作QQ1 的垂线 PM，交 x 轴于 N，在PMQ 中有 ，这样即可求得 d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF 2|=2c2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到 ，进一步可整理成 ，这样解关于 的方程即可【解答】解：如图，l 为该双曲线的右准线，设 P 到右准线的距离为 d；过 P 作 PP1l，QQ 1l，分别交 l 于 P1，Q 1； ，3|PF 2|
21、=2|QF2|； ， ；过 P 作 PM QQ1，垂直为 M，交 x 轴于 N，则： ；解得 d= ；根据双曲线的定义，|PF 1|PF2|=2a，|PF 2|=2c2a；第 14 页（共 30 页）根据双曲线的第二定义， ；整理成： ；解得 （舍去） ；即该双曲线的离心率为 故选 A12已知函数 f（x ）= 函数 g（x）=f（x）2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A 1，3） B3，1 C 3，3） D 1，1）【考点】52：函数零点的判定定理；5B：分段函数的应用【分析】化简 g（x）=f（ x）2x= ，而方程x+3=0 的解为 3，方程 x2+4x+3=0 的
22、解为1，3；从而可得 ，从而解得【解答】解：f（x）= ，第 15 页（共 30 页）g （x）=f（x）2x= ，而方程x+3=0 的解为 3，方程 x2+4x+3=0 的解为1，3；若函数 g（x ）=f（x）2x 恰有三个不同的零点，则 ，解得，1a 3实数 a 的取值范围是1，3） 故选：A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若实数 x，y 满足 ，则 z=x2+y2 的取值范围是 【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组 对应的平面区域，利用 x2+y2 的几何意义求最值【解答】解：设 z=x2+y2，则 z 的几何意义为动点 P（x ，y ）到原
23、点距离的平第 16 页（共 30 页）方作出不等式组 对应的平面区域如图：由图象可知点 A（3，4）到原点的距离最大，最大值为：5原点到直线 X+y=1 的距离最小，最小值所以 z=x2+y2 的最大值为 z=25最小值为 x2+y2 的取值范围是 故答案为：14己知向量 ， 满足| |=| |=2，且（ +2 ）（ ）=2，则向量 与 的夹角为 【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】将（ +2 ）（ ）=2 展开，得出 ，代入夹角公式计算【解答】解：（ +2 ）（ ）=2， + 2 =2 =2，cos = = 向量 与 的夹角为 故答案为： 第 17 页（共 30 页）15已知过点 M（
24、1 ，1）的直线 l 与椭圆 相交于 A，B 两点，若点 M是 AB 的中点，则直线 l 的方程为 3x 4y7=0 【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】方法一：设直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，即可求得直线 AB 的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线 l 的方程；方法二：设 M（1+m，1+n） ，N（1 m，1 n） ，代入椭圆方程，作差，由直线 l的斜率 = ，利用点斜式方程，即可求得直线 l 的方程【解答】解：方法一：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由中点坐标公式可知：x 1+x2=2，y 1+y2=2，则 ，两式相减得： + =0，则 = = ，
25、则直线 AB 的斜率 k= = ，则直线 l 的方程方程 y+1= （x1） ，整理得：3x4y7=0，故答案为：3x4y7=0方法二：由点 M 是 AB 的中点，则设 M（1+m， 1+n） ，N（1m， 1n） ，则 ，两式相减得： ，整理得： = ，第 18 页（共 30 页）直线 AB 的斜率 k= = ，则直线 l 的方程方程 y+1= （x1） ，整理得：3x4y7=0，故答案为：3x4y7=016如图，y=f（x）是可导函数，直线 l：y=kx+2 是曲线 y=f（x）在 x=3 处的切线，令 g（x ）=xf（x） ，其中 g（x ）是 g（x ）的导函数，则 g（3）= 0
26、【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先从图中求出切点，再求出直线 l 的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的运算法则，求出 g（3）的值【解答】解：直线 l：y=kx+2 是曲线 y=f（x）在 x=3 处的切线，f（ 3）=1，又点（3，1）在直线 l 上，3k +2=1，从而 k= ，f（3）=k= ，g （x）=xf（x） ，g（x）=f（ x）+xf （x ）则 g（3）=f（ 3）+3f（3）=1+3（ ）=0故答案为：0第 19 页（共 30 页）三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
27、 （一）必考题（共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分）17已知锐角ABC 中内角 A、B 、C 所对边的边长分别为 a、b 、c，满足a2+b2=6abcosC，且 （）求角 C 的值；（）设函数 ，图象上相邻两最高点间的距离为 ，求 f（A）的取值范围【考点】HR：余弦定理；GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象；HP：正弦定理【分析】 （）由 a2+b2=6abcosC，结合余弦定理可求 ，又sin2C=2 sinAsinB，根据由正弦定理得：c 2=2 ab，从而可求 cosC，即可解得C 的值（）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意，利用周期公式即
28、可求，可得 ，由 ， ，A，B 为锐角，可得范围，求得范围 ，利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）因为 a2+b2=6abcosC，由余弦定理知 a2+b2=c2+2abcosC，所以 又因为 sin2C=2 sinAsinB，则由正弦定理得：c 2=2 ab，所以 cosC= = = ，所以 C= （）因为 ，第 20 页（共 30 页）由已知 =，=2，则 ，因为 ， ，由于 0 ，0 ，所以 所以 ，所以 18如图，三棱锥 PABC 中，PA 平面 ABC，ABC=90，PA=AC=2 ，D 是 PA 的中点，E 是 CD 的中点，点 F 在 PB
29、上， （1）证明：EF平面 ABC；（2）若BAC=60 ，求点 P 到平面 BCD 的距离【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS ：直线与平面平行的判定【分析】 （）法一：过点 F 作 FMPA 交 AB 于点 M，取 AC 的中点 N，连接MN，EN证明四边形 MFEN 为平行四边形，推出 EFMN ，然后证明 EF平面ABC法二：取 AD 中点 G，连接 GE，GF，推出 GEAC，GFAB，证明平面 GEF平面 ABC，然后证明 EF平面 ABC（）证明 BC平面 PAB求出 记点 P 到平面 BCD 的距离为 d，通过 VPBCD=VCPBD，转化求解点 P 到平面 BCD 的距
30、离即可第 21 页（共 30 页）【解答】 （本小题满分 12 分）（）证明：法一：如图，过点 F 作 FMPA 交 AB 于点 M，取 AC 的中点 N，连接 MN，EN 点 E 为 CD 的中点，EN 又 PF=3FB，MF ，FM EN，所以四边形 MFEN 为平行四边形，EF MN，EF 平面 ABC，MN 平面 ABC，EF 平面 ABC法二：如图，取 AD 中点 G，连接 GE，GF，则 GEAC，GFAB，因为 GEGF=G ，ACAB=A，所以平面 GEF平面 ABC，所以 EF平面 ABC（）解：PA平面 ABC，PABC又 BC AB，AB PA=A ，BC 平面 PAB又
31、BAC=60 ，AC=2， ， 记点 P 到平面 BCD 的距离为 d，则VPBCD=VCPBD， ， ，第 22 页（共 30 页）所以，点 P 到平面 BCD 的距离为 19 “一带一路” 是“ 丝绸之路经济带 ”和“21 世纪海上丝绸之路 ”的简称，某市为了了解人们对“ 一带一路” 的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分 100 分（90 分及以上为认知程度高） ，现从参赛者中抽取了 x 人，按年龄分成 5 组（第一组：20 ，25） ，第二组：25，30） ，第三组：30，35） ，第四组：35 ，40） ，第五组：40，45） ，得到如图所示的频率分
32、布直方图，已知第一组有 6 人（1）求 x；（2）求抽取的 x 人的年龄的中位数（结果保留整数） ；（3）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取 6 人，42 人，36 人，24 人，12 人，分别记 15 组，从这 5 个按年龄分的组和 5 个按职业分的组中每组各选派 1 人参加知识竞赛代表相应的成绩，年龄组中 15 组的成绩分别为 93，96，97，94，90，职业组中 15 组的成绩分别为 93，98，94 ，95，90（I）分别求 5 个年龄组和 5 个职业组成绩的平均数和方差；（II）以上述数据为依据，评价 5 个年龄组和 5 个职业组对“一带一路
33、”的认知程度，并谈谈你的感想【考点】BC：极差、方差与标准差【分析】 （1）根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出 x（2）设中位数为 a，则 0.015+0.075+（a30）0.06=0.5，由此能求出中位第 23 页（共 30 页）数（3） （）利用平均数和方差公式能分别求出 5 个年龄组和 5 个职业组成绩的平均数和方差（）从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）根据频率分布直方图得第一组频率为 0.015=0.05， ，x=120 （）设中位数为 a，则 0.015+
34、0.075+（a30）0.06=0.5，解得 a= 中位数为 32 （） （i）5 个年龄组的平均数为 = （93+96+97+94+90）=94，方差为 = （1） 2+22+32+02+（4） 2=6，5 个职业组的平均数为 = （93+98 +94+95+90）=94，方差为 = （1） 2+42+02+12+（4） 2=6.8 （ii）评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好感想：一带一路” 是指“ 丝绸之路经济带 ”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称它将充分依靠中国与有关国家既有的双多边机制，借助既有的、行之有效的区域合作平台 “一带一路 ”战略目标是要建
35、立一个政治互信、经济融合、文化包容的利益共同体、命运共同体和责任共同体，是包括欧亚大陆在内的世界各国，构建一个互惠互利的利益、命运和责任共同体（结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可 ）20已知 E（ 2，2 ）是抛物线 C：y 2=2px 上一点，经过点 D（2，0）的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点（不同于点 E） ，直线 EA，EB 分别交直线 x=2 于点第 24 页（共 30 页）M，N（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知 O 为原点，求证： MON 为定值【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】 （1）将 E 代入抛物线方程，即可求得 p 的值，即可求得
36、焦点坐标及准线方程；（2）方法一：由直线 l 不经过点 E，则直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为y=k（x2 ） ，代入抛物线方程，求得 M 和 N 点坐标，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 =0，则MON 为定值 ；方法二：设直线 l 的方程：x=my +2，代入抛物线方程，求得 M 和 N 点坐标，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 =0，则MON 为定值 【解答】解：（1）将 E（ 2，2）代入 y2=2px，得 p=1，抛物线方程为 y2=2x，焦点坐标为（ ，0） ，准线方程 x= ；（2）证明：设 A（ ，y 1） ，B （ ，y 2） ，M（x M，y
37、 M） ，N（x N，y N） ，因为直线 l 不经过点 E，则直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 y=k（x 2） ，与抛物线方程联立得到 ，消去 x，整理得： ky22y4k=0，则由韦达定理得：y 1+y2= ，y 1y2=4，直线 AE 的方程为：y2= （x2） ，即 y= （ x2）+2，第 25 页（共 30 页）令 x=2，得 yM= ，同理可得：y N= ，又 =（2 ，y M） ， =（ 2，y N） ，则 =4+yMyN=4+ ，=4+ =4+ =0OMON ，即 MON 为定值 方法二：证明：设 A（ ，y 1） ，B （ ，y 2） ，M（x M，y M） ，N
38、（x N，y N） ，设直线 l 方程为 x=my+2，于抛物线方程联立得 ，整理得：y 22my4=0，则由韦达定理得：y 1+y2=2m，y 1y2=4，直线 AE 的方程为：y2= （x2） ，即 y= （ x2）+2，令 x=2，得 yM= ，同理可得：y N= ，又 =（2 ，y M） ， =（ 2，y N） ，则 =4+yMyN=4+ ，第 26 页（共 30 页）=4+ =4+ =0OMON ，即 MON 为定值 21已知函数 f（x ）=xlnx，g（x）= x2x（1）求 f（x）的单调区间和极值点；（2）是否存在实数 m，使得函数 h（x ）= +m+g（x）有三个不同的零
39、点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B ：利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）对 f（x）求导，根据导函数的零点来判断 f（x）的单调区间与极值点；（2）使得函数 h（x）= +m+g（x）有三个不同的零点，实质是转换为求（x）=6lnx+ 8m+x28x 的最小值、最大值与 x 轴的位置关系【解答】解：（1）f（x）=lnx +1，由 f（x）0，得 x ； f（x）0，得0x ，所以 f（ x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+ ）上单调递增，故 f（x）的极小值点为 x= ；（2）假设存在实数 m，使得函数 h（x ）= 有三个不同
40、的零点，即方程 6lnx+8m+x28x=0 有三个不等实根，令 （x）=6lnx +8m+x28x，（x） = +2x8= ，由 （x）0，得 0x 1 或 x3；由 （x）0，得 1x 3，所以 （x ）在（0，1） ， （3，+）上单调递增，（1，3）上单调递减，所以 （x）的极大值为 （1）=7+8m，极小值为 （3）= 15+6ln3+8m，要使第 27 页（共 30 页）方程 6lnx+8m+x28x=0 有三个不等实根，则函数 （x）的图象与 x 轴要有三个交点，根据 （x）的图象可知必须满足，解得 ，所以存在实数 m，使得方程 有三个不等实根，实数 m 的取值范围是 选修 4-
41、4：坐标系与参数方程22已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，0 ） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为=2 sin（+ ） （）若极坐标为 的点 A 在曲线 C1 上，求曲线 C1 与曲线 C2 的交点坐标；（）若点 P 的坐标为（1，3） ，且曲线 C1 与曲线 C2 交于 B，D 两点，求|PB|PD|【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】 （）点 对应的直角坐标为（1，1） ，由曲线 C1 的参数方程知：曲线 C1 是过点（1 ，3）的直线，利用点斜式可得曲线 C1 的方程曲线 C2的极坐标方程即
42、2=2 ，展开化为： 2=2 （sin+cos ） ，利用互化公式即可得出曲线 C2 的直角坐标方程联立即可得出交点坐标（）由直线参数方程可判断知：P 在直线 C1 上，将参数方程代入圆的方程得：t24（cos sin）t+6=0，设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t 2，利用|PB|PD|=|t1|t2|=|t1t2|即可得出【解答】解：（）点 对应的直角坐标为（1，1） ，第 28 页（共 30 页）由曲线 C1 的参数方程知：曲线 C1 是过点（1，3）的直线，故曲线 C1 的方程为：y1= （x 1） ，化为 x+y2=0曲线 C2 的极坐标方程为 ，即 2=2 ，展开化为： 2=
43、2 （sin+cos） 可得曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y22x2y=0，联立得 ，解得： ，故交点坐标分别为（2，0） ， （0，2） （）由直线参数方程可判断知：P 在直线 C1 上，将 代入方程x2+y22x2y=0 得：t 24（cos sin）t +6=0，设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t 2，则|PB|=|t 1|，|PD|= |t2|，而 t1t2=6，|PB |PD|=|t1|t2|=|t1t2|=6选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0 ，c0，函数 f（x ）=|x+a |+|xb|+c 的最小值为 4（1）求 a+b+c 的值；（2）求 a2+ b2
44、+c2 的最小值【考点】RB：一般形式的柯西不等式【分析】 （1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值【解答】解：（1）因为 f（x ）=|x+a|+|x b|+c|（x+a ） （x b）|+c=|a+b |+c，当且仅当axb 时，等号成立，又 a0，b 0，所以|a +b|=a+b，所以 f（ x）的最小值为 a+b+c，第 29 页（共 30 页）所以 a+b+c=4；（2）由（1）知 a+b+c=4，由柯西不等式得，（ a2+ b2+c2） （4+9+1）（ 2+ 3+c1） 2=（ a+b+c） 2=16，即 a2+ b2+c2当且仅当 = = ，即 a= ，b= ，c= 时，等号成立所以 a2+ b2+c2 的最小值为 第 30 页（共 30 页）2017 年 6 月 18 日
