1、第 1 页（共 29 页）2016-2017 学年陕西省西安市长安一中大学区联考高三（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1z= （ i 是虚数单位）则 z 的共轭复数为（ ）A2 i B2+i C2 i D 2+i2已知全集 U=R，集合 A=x|y=lg（x 1），B=y|y= ，则A（ UB）=（ ）A1 ，2 B1，2） C （1，2 D （1，2）3某校开设 A 类选修课 2 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
2、A3 种 B6 种 C9 种 D18 种4设 a= dx，则二项式（ x2 ） 5 的展开式中 x 的系数为（ ）A40 B40 C80 D 805已知命题 p：x1， ；命题 q：x 0R， ，则下列命题中为真命题的是（ ）Ap q B （p）（q） Cp （q） Dpq6某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）第 2 页（共 29 页）A B6 C D 7将函数 的图象分别向左、向右各平移 个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则 的最小值为（ ）A3 B C6 D8若等比数列a n的前 n 项和 ，则 a2=（ ）A4 B12 C24 D369一个算法的程序框图如图所示，该程序
3、输出的结果为 ，则空白处应填入的条件是（ ）Ai9 Bi 6 Ci9 Di810已知数列a n中，a n0，a 1=1，a n+2= ， a100=a96，则 a2014+a3=（ ）A B C D11已知双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F 2，过 F2 的直线交双曲线的右支于 P，Q 两点，若|PF 1|=|F1F2|，且 3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（ ）第 3 页（共 29 页）A B C2 D12已知函数 f（x ）= 函数 g（x）=f（x）2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A 1，3） B3，1 C 3，3） D 1，1
4、）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若实数 x，y 满足 ，则 z=x2+y2 的取值范围是 14己知向量 ， 满足| |=| |=2，且（ +2 ）（ ）=2，则向量 与 的夹角为 15已知过点 M（1 ，1）的直线 l 与椭圆 相交于 A，B 两点，若点 M是 AB 的中点，则直线 l 的方程为 16如图，y=f（x）是可导函数，直线 l：y=kx+2 是曲线 y=f（x）在 x=3 处的切线，令 g（x ）=xf（x） ，其中 g（x ）是 g（x ）的导函数，则 g（3）= 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分 60 分.解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算过程）必考题（共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分）17已知锐角ABC 中内角 A、B 、C 所对边的边长分别为 a、b 、c，满足a2+b2=6abcosC，且 （）求角 C 的值；第 4 页（共 29 页）（）设函数 ，图象上相邻两最高点间的距离为 ，求 f（A）的取值范围18如图，三棱台 DEFABC 中，底面是以 AB 为斜边的直角三角形，FC 底面ABC，AB=2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点（I）求证：直线 BD平面 FGH；（）若 BC=CF= ，求二面角 AGHF 的余弦值19某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了
6、部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为 n）进行统计，按照50，60） ，60 ，70） ，70，80 ） ，80，90） ，90，100 分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在50，60） ，90，100的数据） （1）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x，y（2）在选取的样本中，从高度在 80 厘米以上（含 80 厘米）的植株中随机抽取3 株，设随机变量 X 表示所抽取的 3 株高度在80，90）内的株数，求随机变量X 的分布列及数学期望20已知抛物 C 的标准方程为 y2=2px（p0） ，M 为抛物线 C 上一动点，第 5 页（共 29 页）A
7、（a ，0 ） （a 0 ）为其对称轴上一点，直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为N当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时， MON 的面积为 （）求抛物线 C 的标准方程；（）记 t= ，若 t 值与 M 点位置无关，则称此时的点 A 为“稳定点”，试求出所有“ 稳定点” ，若没有，请说明理由21已知函数 f（x ）=xlnx，g（x）= x2x（1）求 f（x）的单调区间和极值点；（2）是否存在实数 m，使得函数 h（x ）= +m+g（x）有三个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由选考题（共 10 分.请考生在第 22-23 两题中任选一道作答
8、，如果多选，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）选修 4-4：坐标系与参数方程22已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，0 ） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为=2 sin（+ ） （）若极坐标为 的点 A 在曲线 C1 上，求曲线 C1 与曲线 C2 的交点坐标；（）若点 P 的坐标为（1，3） ，且曲线 C1 与曲线 C2 交于 B，D 两点，求|PB|PD|选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0 ，c0，函数 f（x ）=|x+a |+|xb|+c 的最小值为 4（1）求 a+b+c 的值；第 6 页（共 29 页）（2
9、）求 a2+ b2+c2 的最小值第 7 页（共 29 页）2016-2017 学年陕西省西安市长安一中大学区联考高三（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1z= （ i 是虚数单位）则 z 的共轭复数为（ ）A2 i B2+i C2 i D 2+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解答】解：z= = ， 故选：C2已知全集 U=R，集合 A=x|y=lg（x 1），B=y|y= ，则A（ UB）=（ ）A1 ，2 B
10、1，2） C （1，2 D （1，2）【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】根据题意，由集合的表示方法分析 A、B，求出 B 的补集，由集合的交集定义计算可得答案【解答】解：集合 A=x|y=lg（x1），为函数 y=lg（x1）的定义域，则 A=x|y=lg（x1）=（1，+） ，B=y|y= =2，+） ，UB=（，2）A（ UB）=（1，2） ；第 8 页（共 29 页）故选：D3某校开设 A 类选修课 2 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）A3 种 B6 种 C9 种 D18 种【考点】D3：计数原理的应用【分析】
11、两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门；A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果【解答】解：可分以下 2 种情况：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，有 C21C32 种不同的选法；A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有 C22C31 种不同的选法根据分类计数原理知不同的选法共有 C21C32+C22C31=6+3=9 种故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 9 种故选：C4设 a= dx，则二项式（ x2 ） 5 的展开式中 x 的系数为（ ）A40 B40 C80 D
12、 80【考点】DB：二项式系数的性质【分析】先求出定积分 a 的值，再利用二项展开式的通项公式，令 x 的指数等于 1，求出 r 的值，即可计算结果【解答】解：a= dx=lnx =lne2ln1=20=2，（x 2 ） 5=（x 2 ） 5 的展开式的通项公式为：Tr+1= x2（5r） = （ 2） rx103r，令 103r=1，解得 r=3，第 9 页（共 29 页）（x 2 ） 5 的展开式中含 x 项的系数为（ 2） 3=80故选：D5已知命题 p：x1， ；命题 q：x 0R， ，则下列命题中为真命题的是（ ）Ap q B （p）（q） Cp （q） Dpq【考点】2E：复合命题
13、的真假【分析】命题 p：是假命题，例如 x0 时无意义；命题 q：是真命题，例如取x0=2 时成立再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论【解答】解：命题 p：x1， ，是假命题，例如 x0 时无意义；命题 q：x 0R， ，是真命题，例如取 x0=2 时成立则下列命题中为真命题的是 pq 故选：A6某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A B6 C D 第 10 页（共 29 页）【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分为半
14、圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为 2，圆锥的高为 2，圆柱的高为1，几何体的体积 V=V 半圆锥 +V 半圆柱 = 222+ 221= 故选 C7将函数 的图象分别向左、向右各平移 个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则 的最小值为（ ）A3 B C6 D【考点】HJ：函数 y=Asin（x +）的图象变换【分析】根据正弦型函数的图象和性质，可得满足条件时，函数的最小正周期为 ，进而得到答案【解答】解：将函数 的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则函数的周期不大于 ，若 取最小值，则函数的最小正周期为 ，即 = ，解得：
15、= ，故选：D8若等比数列a n的前 n 项和 ，则 a2=（ ）第 11 页（共 29 页）A4 B12 C24 D36【考点】89：等比数列的前 n 项和【分析】由 ，和a n为等比数列，解得 a=2，由此能求出 a2【解答】解： ， ，a2=S2S1=（9a2）（3a2 ） =6a，a3=S3S2=（27a2）（9a 2）=18a，a n为等比数列，（6a） 2=（3a2）18a，解得 a=2，或 a=0（舍） ，a=2，a 2=S2S1=6a=12，故选 B9一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为 ，则空白处应填入的条件是（ ）Ai9 Bi 6 Ci9 Di8【考点】EF：程序
16、框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 S=0 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=2 ，第 12 页（共 29 页）当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=3 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=4 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=5 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=6 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=7 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体
17、后，S= ，i=8 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=9 ，当 S= 时，不满足输出条件，执行循环体后，S= ，i=10，当 S= 时，满足输出条件，故空白处的条件为：i9，故选：A10已知数列a n中，a n0，a 1=1，a n+2= ， a100=a96，则 a2014+a3=（ ）A B C D【考点】8H：数列递推式【分析】由数列递推式求出 a3，结合 a100=a96 求得 a96，然后由 an+2= 可得a2014=a96，则答案可求【解答】解：a 1=1，a n+2= ， ，由 a100=a96，得，第 13 页（共 29 页）即 ，解得 （a n0）
18、则 a2014+a3= 故选：C11已知双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F 2，过 F2 的直线交双曲线的右支于 P，Q 两点，若|PF 1|=|F1F2|，且 3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线 l，设 P 到 l 的距离为 d，根据双曲线的第二定义即可求出 Q 到 l 的距离为 过 Q 作 l 的垂线 QQ1，而过 P 作QQ1 的垂线 PM，交 x 轴于 N，在PMQ 中有 ，这样即可求得 d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF 2|=2c2a，所以根据双
19、曲线的第二定义即可得到 ，进一步可整理成 ，这样解关于 的方程即可【解答】解：如图，l 为该双曲线的右准线，设 P 到右准线的距离为 d；过 P 作 PP1l，QQ 1l，分别交 l 于 P1，Q 1； ，3|PF 2|=2|QF2|； ， ；第 14 页（共 29 页）过 P 作 PM QQ1，垂直为 M，交 x 轴于 N，则： ；解得 d= ；根据双曲线的定义，|PF 1|PF2|=2a，|PF 2|=2c2a；根据双曲线的第二定义， ；整理成： ；解得 （舍去） ；即该双曲线的离心率为 故选 A12已知函数 f（x ）= 函数 g（x）=f（x）2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取
20、值范围是（ ）A 1，3） B3，1 C 3，3） D 1，1）【考点】52：函数零点的判定定理；5B：分段函数的应用第 15 页（共 29 页）【分析】化简 g（x）=f（ x）2x= ，而方程x+3=0 的解为 3，方程 x2+4x+3=0 的解为1，3；从而可得 ，从而解得【解答】解：f（x）= ，g （x）=f（x）2x= ，而方程x+3=0 的解为 3，方程 x2+4x+3=0 的解为1，3；若函数 g（x ）=f（x）2x 恰有三个不同的零点，则 ，解得，1a 3实数 a 的取值范围是1，3） 故选：A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若实数 x，y
21、 满足 ，则 z=x2+y2 的取值范围是 【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组 对应的平面区域，利用 x2+y2 的几何意义求最值【解答】解：设 z=x2+y2，则 z 的几何意义为动点 P（x ，y ）到原点距离的平第 16 页（共 29 页）方作出不等式组 对应的平面区域如图：由图象可知点 A（3，4）到原点的距离最大，最大值为：5原点到直线 X+y=1 的距离最小，最小值所以 z=x2+y2 的最大值为 z=25最小值为 x2+y2 的取值范围是 故答案为：14己知向量 ， 满足| |=| |=2，且（ +2 ）（ ）=2，则向量 与 的夹角为 【考点】9R：平面向量数量积的
22、运算【分析】将（ +2 ）（ ）=2 展开，得出 ，代入夹角公式计算【解答】解：（ +2 ）（ ）=2， + 2 =2 =2，cos = = 向量 与 的夹角为 故答案为： 第 17 页（共 29 页）15已知过点 M（1 ，1）的直线 l 与椭圆 相交于 A，B 两点，若点 M是 AB 的中点，则直线 l 的方程为 3x 4y7=0 【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】方法一：设直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，即可求得直线 AB 的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线 l 的方程；方法二：设 M（1+m，1+n） ，N（1 m，1 n） ，代入椭圆方程，作差，由直线 l的斜率
23、 = ，利用点斜式方程，即可求得直线 l 的方程【解答】解：方法一：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由中点坐标公式可知：x 1+x2=2，y 1+y2=2，则 ，两式相减得： + =0，则 = = ，则直线 AB 的斜率 k= = ，则直线 l 的方程方程 y+1= （x1） ，整理得：3x4y7=0，故答案为：3x4y7=0方法二：由点 M 是 AB 的中点，则设 M（1+m， 1+n） ，N（1m， 1n） ，则 ，两式相减得： ，整理得： = ，第 18 页（共 29 页）直线 AB 的斜率 k= = ，则直线 l 的方程方程 y+1= （x1） ，整理得：3x4y7
24、=0，故答案为：3x4y7=016如图，y=f（x）是可导函数，直线 l：y=kx+2 是曲线 y=f（x）在 x=3 处的切线，令 g（x ）=xf（x） ，其中 g（x ）是 g（x ）的导函数，则 g（3）= 0 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先从图中求出切点，再求出直线 l 的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的运算法则，求出 g（3）的值【解答】解：直线 l：y=kx+2 是曲线 y=f（x）在 x=3 处的切线，f（ 3）=1，又点（3，1）在直线 l 上，3k +2=1，从而 k= ，f（3）=k= ，g （x）=xf（x） ，g（x）
25、=f（ x）+xf （x ）则 g（3）=f（ 3）+3f（3）=1+3（ ）=0故答案为：0第 19 页（共 29 页）三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）必考题（共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分）17已知锐角ABC 中内角 A、B 、C 所对边的边长分别为 a、b 、c，满足a2+b2=6abcosC，且 （）求角 C 的值；（）设函数 ，图象上相邻两最高点间的距离为 ，求 f（A）的取值范围【考点】HR：余弦定理；GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象；HP：正弦定理【分析】 （）由 a2+b2=6
26、abcosC，结合余弦定理可求 ，又sin2C=2 sinAsinB，根据由正弦定理得：c 2=2 ab，从而可求 cosC，即可解得C 的值（）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意，利用周期公式即可求，可得 ，由 ， ，A，B 为锐角，可得范围，求得范围 ，利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）因为 a2+b2=6abcosC，由余弦定理知 a2+b2=c2+2abcosC，所以 又因为 sin2C=2 sinAsinB，则由正弦定理得：c 2=2 ab，所以 cosC= = = ，所以 C= （）因为 ，第 20 页（共 29 页）由已知
27、=，=2，则 ，因为 ， ，由于 0 ，0 ，所以 所以 ，所以 18如图，三棱台 DEFABC 中，底面是以 AB 为斜边的直角三角形，FC 底面ABC，AB=2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点（I）求证：直线 BD平面 FGH；（）若 BC=CF= ，求二面角 AGHF 的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】 （I）如图所示，连接 DG，CD，设 CDGF=M，连接 MH由已知可得四边形 CFDG 是平行四边形， DM=MC利用三角形的中位线定理可得：MHBD，可得 BD平面 FGH；（）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解
28、【解答】 （I）证明：如图所示，连接 DG，CD，设 CDGF=M，连接 MH在三棱台 DEFABC 中，AB=2DE，G 为 AC 的中点 ，四边形 CFDG 是平行四边形，第 21 页（共 29 页）DM=MC又 BH=HC，MHBD，又 BD平面 FGH，MH 平面 FGH，BD平面 FGH；（）建立以 C 为坐标原， CA，CB，CF 分别为 x，y，z 轴的空间直角坐标系如图：设 BC=1，则 CF=1，AB=2 ，则 AC= ，则 A（ ，0，0） ，C （0，0，0） ，B（0，1，0） ，F（0，0，1） ，G（ ，0，0） ，H（0， ，0） ，则 AGH 的法向量为 =（0
29、，0，1） ，设 GHF 的法向量 =（x，y，z ） ，则 =（ ， ，0） ， =（0， ，1） ，则 = x+ y=0， = y+z=0，令 y=2，则 x= ，z=1，即 =（ ， 2，1） ，则 cos ， = = = ，即二面角 AGHF 的余弦为为 第 22 页（共 29 页）19某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为 n）进行统计，按照50，60） ，60 ，70） ，70，80 ） ，80，90） ，90，100 分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在50，60） ，
30、90，100的数据） （1）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x，y（2）在选取的样本中，从高度在 80 厘米以上（含 80 厘米）的植株中随机抽取3 株，设随机变量 X 表示所抽取的 3 株高度在80，90）内的株数，求随机变量X 的分布列及数学期望【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】 （1）由茎叶图及频率分布直方图能求出样本容量 n 和频率分布直方图中的 x，y （2）由题意可知，高度在80，90）内的株数为 5，高度在90，100内的株数为 2，共 7 株抽取的 3 株中高度在80，90）内的株数 X 的可能取值为1，
31、2 ，3 ，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X ） 【解答】解：（1）由题意可知，第 23 页（共 29 页）样本容量 ，x=0.1000.0040.0100.0160.040=0.030（2）由题意可知，高度在80，90）内的株数为 5，高度在90，100内的株数为 2，共 7 株抽取的 3 株中高度在80，90）内的株数 X 的可能取值为 1，2，3，则 P（ X=1）= = ，X 的分布列为：X 1 2 3P故 E（X）= = 20已知抛物 C 的标准方程为 y2=2px（p0） ，M 为抛物线 C 上一动点，A（a ，0 ） （a 0 ）为其对称轴上一点，直线 MA
32、 与抛物线 C 的另一个交点为N当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时， MON 的面积为 （）求抛物线 C 的标准方程；（）记 t= ，若 t 值与 M 点位置无关，则称此时的点 A 为“稳定点”，试求出所有“ 稳定点” ，若没有，请说明理由【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】 （I）由当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时，MON第 24 页（共 29 页）的面积为 可得 SMON = 2p= = ，解得 p 即可（II）设 M（x 1，y 1） ，N（ x2，y 2） ，直线 MN 的方程为：x=my+a ，与抛物线方程联立可得 y26my6a=
33、0，得到根与系数的关系由对称性，不妨设 m0， （i）a 0 时，可知 y1，y 2 同号又 t= + ，得到 t2= ，可得不论 a 取何值，t 值与 M 点位置有关（ii）a0 时，由于 y1，y 2 异号又 t= + ，可得 t2= ，可得仅当 1=0 时，即 a= 时，t 与 m 无关，此时 A 即为一个“ 稳定点 ”【解答】解：（I）当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时，MON 的面积为 S MON = 2p= = ，解得 p=3抛物线 C 的标准方程为 y2=6x（II）设 M（x 1，y 1） ，N（ x2，y 2） ，直线 MN 的方程为：x=my+a ，
34、联立 化为 y26my6a=0，0，y1+y2=6m，y 1y2=6a由对称性，不妨设 m0（i）a0 时，y 1y2=6a0，y 1，y 2 同号又 t= = + ，第 25 页（共 29 页）t 2= = = ，不论 a 取何值，t 值与 M 点位置有关，即此时的点 A 不为“稳定点”（ii）a0 时，y 1y2=6a0，y 1，y 2 异号又 t= = + ，t 2= = = =，仅当 1=0 时，即 a= 时，t 与 m 无关，此时 A 即为抛物线的焦点，因此抛物线对称轴上仅有焦点一个“稳定点” 21已知函数 f（x ）=xlnx，g（x）= x2x（1）求 f（x）的单调区间和极值点
35、；（2）是否存在实数 m，使得函数 h（x ）= +m+g（x）有三个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B ：利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）对 f（x）求导，根据导函数的零点来判断 f（x）的单调区间与极值点；（2）使得函数 h（x）= +m+g（x）有三个不同的零点，实质是转换为求（x）=6lnx+ 8m+x28x 的最小值、最大值与 x 轴的位置关系【解答】解：（1）f（x）=lnx +1，由 f（x）0，得 x ； f（x）0，得0x ，所以 f（ x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+ ）上单调递增，故 f（x）的
36、极第 26 页（共 29 页）小值点为 x= ；（2）假设存在实数 m，使得函数 h（x ）= 有三个不同的零点，即方程 6lnx+8m+x28x=0 有三个不等实根，令 （x）=6lnx +8m+x28x，（x） = +2x8= ，由 （x）0，得 0x 1 或 x3；由 （x）0，得 1x 3，所以 （x ）在（0，1） ， （3，+）上单调递增，（1，3）上单调递减，所以 （x）的极大值为 （1）=7+8m，极小值为 （3）= 15+6ln3+8m，要使方程 6lnx+8m+x28x=0 有三个不等实根，则函数 （x）的图象与 x 轴要有三个交点，根据 （x）的图象可知必须满足，解得 ，
37、所以存在实数 m，使得方程 有三个不等实根，实数 m 的取值范围是 选考题（共 10 分.请考生在第 22-23 两题中任选一道作答，如果多选，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）选修 4-4：坐标系与参数方程22已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，0 ） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为=2 sin（+ ） （）若极坐标为 的点 A 在曲线 C1 上，求曲线 C1 与曲线 C2 的交点坐标；（）若点 P 的坐标为（1，3） ，且曲线 C1 与曲线 C2 交于 B，D 两点，求|PB|PD|第 27 页（共 29 页）【考点】Q4
38、：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】 （）点 对应的直角坐标为（1，1） ，由曲线 C1 的参数方程知：曲线 C1 是过点（1 ，3）的直线，利用点斜式可得曲线 C1 的方程曲线 C2的极坐标方程即 2=2 ，展开化为： 2=2 （sin+cos ） ，利用互化公式即可得出曲线 C2 的直角坐标方程联立即可得出交点坐标（）由直线参数方程可判断知：P 在直线 C1 上，将参数方程代入圆的方程得：t24（cos sin）t+6=0，设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t 2，利用|PB|PD|=|t1|t2|=|t1t2|即可得出【解答】解：（）点 对应的直角坐标为（1，1
39、） ，由曲线 C1 的参数方程知：曲线 C1 是过点（1，3）的直线，故曲线 C1 的方程为：y1= （x 1） ，化为 x+y2=0曲线 C2 的极坐标方程为 ，即 2=2 ，展开化为： 2=2 （sin+cos） 可得曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y22x2y=0，联立得 ，解得： ，故交点坐标分别为（2，0） ， （0，2） （）由直线参数方程可判断知：P 在直线 C1 上，将 代入方程x2+y22x2y=0 得：t 24（cos sin）t +6=0，设点 B，D 对应的参数分别为 t1，t 2，则|PB|=|t 1|，|PD|= |t2|，而 t1t2=6，|PB |PD|=|
40、t1|t2|=|t1t2|=6选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0 ，c0，函数 f（x ）=|x+a |+|xb|+c 的最小值为 4第 28 页（共 29 页）（1）求 a+b+c 的值；（2）求 a2+ b2+c2 的最小值【考点】RB：一般形式的柯西不等式【分析】 （1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值【解答】解：（1）因为 f（x ）=|x+a|+|x b|+c|（x+a ） （x b）|+c=|a+b |+c，当且仅当axb 时，等号成立，又 a0，b 0，所以|a +b|=a+b，所以 f（ x）的最小值为 a+b+c，所以 a+b+c=4；（2）由（1）知 a+b+c=4，由柯西不等式得，（ a2+ b2+c2） （4+9+1）（ 2+ 3+c1） 2=（ a+b+c） 2=16，即 a2+ b2+c2当且仅当 = = ，即 a= ，b= ，c= 时，等号成立所以 a2+ b2+c2 的最小值为 第 29 页（共 29 页）2017 年 6 月 18 日
