1、四、二次函数1 （北京）已知二次函数 y( t1)x 22( t2)x 在 x 0 和 x2 时的函数值相等32（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数 ykx6 的图象与二次函数的图象都经过点 A（3，m） ，求 m 和 k 的值；（3）设二次函数的图象与 x 轴交于点 B，C （点 B 在点 C 的左侧） ，将二次函数的图象在点 B，C 间的部分（含点 B 和点 C）向左平移 n（n0）个单位后得到的图象记为 G，同时将（2）中得到的直线 ykx6 向上平移 n 个单位请结合图象回答：平移后的直线与图象 G 有公共点时，n 的取值范围2 （北京模拟）已知抛物线 yx 2( m2)x3(
2、m1) （1）求证：无论 m 为任何实数，抛物线与 x 轴总有交点；（2）设抛物线与 y 轴交于点 C，当抛物线与 x 轴有两个交点 A、B （点 A 在点 B 的左侧）时，如果CAB 或CBA 这两角中有一个角是钝角，求 m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，P 是抛物线的顶点，当PAO 的面积与ABC 的面积相等时，求该抛物线的解析式3 （上海模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y x 2bxc 的图象经过13点 A（1，1）和点 B（2，2） ，该函数图象的对称轴与直线 OA、OB 分别交于点 C 和点D（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：ABOCBO
3、；（3）如果点 P 在直线 AB 上，且POB 与BCD 相似，求点 P 的坐标4 （安徽）如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出，xOy11yxOAB11-1 -1把球看成点，其运行的高度 y（m ）与运行的水平距离 x（ m）满足关系式 ya( x6)2h已知球网与 O 点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m（1）当 h2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ；（2）当 h2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h
4、 的取值范围5 （安徽某校自主招生）已知二次函数 yx 22mx1记当 xc 时，相应的函数值为yc，那么，是否存在实数 m，使得对于满足 0x 1 的任意实数 a、b，总有 yay b 1如果存在，求出实数 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由6 （浙江模拟）已知二次函数 yx 2ax a2（1）证明：不论 a 取何值，抛物线 yx 2ax a2 的顶点 P 总在 x 轴的下方；（2）设抛物线 yx 2axa2 与 y 轴交于点 C，如果过点 C 且平行于 x 轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点 D，问：QCD 能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能
5、，请说明理由；（3）在第（2）的条件下，设抛物线与 x 轴的交点之一为点 A，则能使ACD 的面积等于 的抛物线有几条？请证明你的结论147 （江苏镇江）对于二次函数 yx 23x2 和一次函数 y2x4，把 yt( x 23x 2)( 1t )( 2x4 )称为这两个函数的“再生二次函数” ，其中 t 是不为零的实数，其图象记作抛物线 E现有点 A（2，0）和抛物线 E 上的点 B（1，n） ，请完成下列任务：【尝试】（1）当 t2 时，抛物线 y t( x 23x 2)( 1t )( 2x4 )的顶点坐标为_；（2）判断点 A 是否在抛物线 E 上；（3）求 n 的值；【发现】通过（2）和
6、（3）的演算可知，对于 t 取任何不为零的实数，抛物线 E 总过定点，坐标为_【应用 1】二次函数 y3x 25x 2 是二次函数 yx 23x2 和一次函数 y2x4 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出 t 的值；如果不是，说明理由；【应用 2】以 AB 为边作矩形 ABCD，使得其中一个顶点落在 y 轴上，若抛物线 E 经过A、B、C 、D 其中的三点，求出所有符合条件的 t 的值xOyA26 9 18球网 边界O A11 xy8 （江苏模拟）如 图 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 xOy， x 轴 在 地 平 面 上 ， y 轴 垂 直 于 地 平 面 ， 单位 长 度 为
7、1 千 米 某 炮 位 于 坐 标 原 点 ， 把 发 射 后 的 炮 弹 看成点，其飞行的高度 y（千 米 ）与飞行的水平距离 x（千 米 ）满足关系式 ykx (1k 2)x 2（ k 0） ，其中 k 与发射方向有关，120炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设 在 第 一 象 限 有 一 飞 行 物 （ 忽 略 其 大 小 ）， 其 飞 行 高 度 为 3.2 千 米 ， 试 问 它 的 横 坐 标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由9 （江苏模拟）已知一次函数 y1kxm 与二次函数 y22ax 22bxc （b 为整数）的图象交于 A（22 ，32
8、） 、B（22 ，32 ）两点，二次函数 y22ax 22bxc 和二次2 2 2 2函数 y3ax 2bx c1 的最小值的差为 l（1）求 y1、y 2、y 3 的解析式；（2）若 y1 与 y3 的图象交于 C、D 两点，求 CD 的长；（3）P 是 y 轴上一点，过点 P 任意作一射线分别交 y2、 y3 的图象于 M、N，过点 M 作直线y1 的垂线，垂足为 G，过点 N 作直线 y3 的垂线，垂足为 H是否存在这样的点P，使 PMMG、PNNH 恒成立，若存在，求出 P 点的坐标，并探究 是否为定值；若PMPN不存在，请说明理由10 （四川某校自主招生）一开口向上抛物线与 x 轴交
9、于 A（m2，0） 、B（m 2，0）两点，顶点为 C，且 ACBC（1）若 m 为常数，求抛物线的解析式；（2）点 Q 在直线 ykx 1 上移动， O 为原点，当 m4 时，直线 ykx 1 上只存在一个点 Q 使得OQB90，求此时直线 ykx1 的解析式11 （湖南娄底）已知二次函数 yx 2( m 22)x2m 的图象与 x 轴交于点 A（x 1，0）和点B（x 2， 0） ，x 1x 2，与 y 轴交于点 C，且满足 1x1 1x212（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线 yx 3 上是否存在一点 P，使四边形 PACB 为平行四边形？如果有，求出点 P 的坐标；如O
10、x(千米 )y(千米 )O xy果没有，请说明理由12 （湖北荆州、荆门）已知：y 关于 x 的函数 y( k1 )x 22kxk2 的图象与 x 轴有交点（1）求 k 的取值范围；（2）若 x1，x 2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足 ( k1)x122kx 2k24x 1x2求 k 的值；当 kx k2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值与最小值13 （湖北随州）在次数学活动课上，老师出了道题：（1）解方程 x 22x 30巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于 x 的方程 mx
11、2( m3)x30（m 为常数，且 m0） 老师继续巡视，及时观察、点拨大家再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于 x 的函数 ymx 2( m3)x3（m 为常数） 求证：不论 m 为何值，此函数的图象恒过 x 轴、y 轴上的两个定点（设 x 轴上的定点为 A， y 轴上的定点为 C） ；若 m0 时，设此函数的图象与 x 轴的另一个交点为 B，当ABC 为锐角三角形时，求 m 的取值范围；当ABC 为钝角三角形时，观察图象，直接写出 m 的取值范围请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.14 （广东肇庆）已知二次函数 ymx 2nxp 图象的顶点横坐标是 2，与 x 轴交于A（x
12、 1， 0） 、B （x 2，0） ，x 10x 2，与 y 轴交于点 C，O 为坐标原点，tanCAOtanCBO1（1）求证：n4m0；（2）求 m、n 的值；（3）当 p0 且二次函数图象与直线 yx3 仅有一个交点时，求二次函数的最大值xy 3 3 6 3 636015 （福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数 y12x 和函数 y2x6，不论 x 取何值，y0 都取 y1 与 y2 二者之中的较小值（1）求 y0 关于 x 的函数关系式；（2）现有二次函数 yx 28xc，若函数 y0 和 y 都随着 x 的增大而减小，求自变量 x 的取值范围；（3）在（2）的结论下，若函数 y0
13、和 y 的图象有且只有一个公共点，求 c 的取值范围16 （甘肃兰州）若 x1、x 2 是关于 x 的一元二次方程 y ax 2bxc （a0）的两个根，则方程的两个根 x1、x 2 和系数 a、b、c 有如下关系：x 1x 2 ，x 1x2 把它们称为一ba ca元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数 y ax 2bxc （a0）的图象与 x 轴的两个交点为 A（x 1，0） ，B（x 2， 0） 利用根与系数关系定理可以得到 A、B 两个交点间的距离为：AB| x1x 2| (x1 x2)2 4x1x2参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数 y ax 2bx c（a 0）的图象与 x 轴的两个交点A（x 1， 0） ，B （x 2，0） ，抛物线的顶点为 C，显然ABC 为等腰三角形（1）当ABC 为等腰直角三角形时，求 b 24ac 的值；（2）当ABC 为等边三角形时，求 b 24ac 的值；（3）当 ac1，且ACB 90 时，试问如何平移此抛物线，才能使ACB60 ？yBCA x
