1、3.4.2一、选择题1若 x0，y0，且 xy4，则下列不等式中恒成立的是( )A. B. 11x y 14 1x 1yC. 2 D. 1xy1xy答案 B解析 取 x1，y 2 满足 xy4 排除 A、C、D 选 B.具体比较如下：00，b0 ，且 ab1，则 的最小值为( )(1a2 1)(1b2 1)A6 B7C8 D9答案 D解析 ab1，a0，b0，ab ，等号在 ab 时成立14 12 (1a2 1)(1b2 1) 1 a2a2 1 b2b2 1 aba2 1 bab2 1 a1 bab 1 19，故选 D.2 abab 2ab 2146若直线 2axby 20(a0，b0)被圆
2、x2y 22x 4y10 截得的弦长为 4，则 的最小值为( )1a 1bA. B.14 12C2 D4答案 D解析 圆的标准方程为( x1) 2( y2) 24，圆的直径为 4，而直线被圆截得的弦长为 4，则直线应过圆心(1,2)，2a2b20，即 ab1， (ab)11 1a 1b (1a 1b) ba ab22 4 (等号在 ab 时成立)baab 12故所求最小值为 4，选 D.7(2009天津)设 x，yR，a1，b1.若 axb y3，ab2 ，则 的最大值为( )31x 1yA2 B.32C1 D.12答案 C解析 a xb y3，xlog a3，ylog b3，又 ab2 ，a
3、b( )23.aba b2 log 3alog 3blog 3ab1.故选 C.1x 1y8(2011东北育才期末、辽宁大连市联考、辽宁省实验中学期末) 若 a0，b0 且ab4，则下列不等式恒成立的是( )A. B. 11ab12 1a 1bC. 2 D. ab1a2 b2 18答案 D解析 a0，b0，ab4， 2，aba b2ab4， ，1ab 14 1，故 A、B、C 均错，选 D.1a 1b a bab 4ab点评 对于 D 有，a 2b 2( ab) 22ab162ab16 248， .1a2 b2 18二、填空题9已知 x，y 为正数，且 x2 1，则 x 的最大值是_y22 1
4、 y2答案 324解析 解法 1：x 2 1，y 222x 2.y22又 x，yR ，x 1 y2 x21 y2 x23 2x2 ，122x23 2x2 222x2 3 2x22 324等号在 2x232x 2，即 x ，y 时成立32 22解法 2 ：x0，x )1 y2 2x212 y22又 x2( )( x2 ) 12 y22 y22 12 32 x212 y22 x2 12 y222 34x .1 y2324等号在 x2 ，即 y ，x 时成立12 y22 22 32即(x )max .1 y232410一批救灾物资随 17 列火车以 v 千米/小时的速度匀速直达 400 千米以外的灾
5、区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于( )2 千米，则这批物资全部运送到灾区最少需v20_小时答案 8解析 物资全部运到灾区需 t400 16v202v 8 小时，等号成立时， ，即 v100.400v v25 400v v25故最少要用 8 小时11已知 a、b 为实常数，函数 y(xa) 2( xb) 2 的最小值为 _答案 (ab) 212分析 从函数解析式的特点看，本题可化为关于 x 的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)但若注意到( xa)( bx )为定值，则用变形不等式 ( )2 更a2 b22 a b2简捷解析 y(x a)2(xb) 22 2 .x a b x2
6、 a b22当且仅当 xabx ，即 x 时，上式等号成立a b2当 x 时，y min .a b2 a b22三、解答题12设 k 对一切 x，yR 都成立，求 k 的最小值x y x y解析 x，y R 时， k 恒成立，即 k 恒成立，令x y x yx yx yp ，只要 kp max 即可，下面求 pmax，x yx yp 2 2(等号在 xy 时成立)x y 2xyx yp ，从而 k .k 的最小值为 .2 2 213已知正常数 a、b 和正变数 x、y，满足 ab10， 1，xy 的最小值为 18，ax by求 a、b 的值解析 xy (xy)1 (x y )( )ax bya
7、b ab2 ( )2ayx bxy ab a b等号在 即 时成立ayx bxy yx baxy 的最小值为( )2 18a b又 ab10ab16.a，b 是方程 x210x 160 的两根a2，b8 或 a8，b2.14.(20102011桂林中学高二期中)为迎接世博会，要设计如图的一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三个栏的面积之和为 60000cm2，四周空白的宽度为 10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位： cm)，能使整个矩形广告牌面积最小解析 设矩形栏目的高为 acm，宽为 bcm，则 ab20000，b .
8、20000a广告牌的高为(a20)cm，宽为(3b30)cm( 其中 a0，b0)广告牌的面积 S(a20)(3 b30)30(a )6060040000a302 6060072600a40000a当且仅当 a ，即 a200 时取等号，40000a此时 b100.故当广告牌矩形栏目的高为 200cm，宽为 100cm 时，可使广告牌的面积最小15某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价20 元试求：(1)仓库面积 S 的取值范围是多少？(2)为使 S 达到最大，而
9、实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？解析 (1)设正面铁栅长 x m，侧面长为 y m，总造价为 z 元，则z40x 245y20xy40x 90y20xy，仓库面积 Sxy.由条件知 z3 200，即 4x9y2xy320.x0，y0，4x9y2 12 .4x9y xy6 S160，即( )26 1600.S S S00， a0，b0)abx xabx abtan ，b a2ab当且仅当 x 即 x 时取“” abx ab又(0， )时，y tan 是增函数，2x 时， 有最大值ab*17.铁路线上 AB 段长 100 公里，工厂 C 到铁路的垂直距离 CA 为 20 公里，现在要
10、在AB 上某一点 D 处向 C 修一条公路，已知铁路每吨公里与公路每吨公里运费之比为 35，为了使原材料从供应站 B 到工厂 C 的运费最省，D 点应设在何处？解析 设总运费为 y 元，铁路每吨公里运费 3k 元，公路每吨公里 5k 元，kR ，又设 AD x(公里)，则BD(100x)(公里) ，CD (公里)，400 x2则 y3k(100x )5k 400 x2k(300 3x5 )400 x2k300 (4 4x) ( x)400 x2 400 x2k300 ( x)4400400 x2 x 400 x2k 300 2 4400400 x2 x 400 x2 x380 k(元)当且仅当 x4400400 x2 x 400 x2即 x15( 公里)时等号成立答：当 D 点距离 A 点 15 公里时，运费最省高+考%试#题库
