1、2.4.2 抛物线的简单几何性质（3 课时）【学习目标】1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 重点：抛物线的几何性质及其运用难点：抛物线几何性质的运用 【课前导学】阅读教材完成下列学习一抛物线的几何性质 （第 2 课时）对于抛物线的几种不同形式的方程，列表如下：标准方程 pxy2pxypy2pyx2图形范围对称轴顶点焦点准线离心率注意强调 的几何意义：是焦点到准线的距离；抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存p在渐近线二、直线与抛物线的位置关系（第
2、3,4 课时）（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点） ；相离（无公共点） ；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于 )0(2pxy当直线为 ，即 ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点0yk当 ，设kbxl:将 代入 ，消去 y，得到yl: 0:2FEyDxCyA关于 x 的二次方程 （*）02cxa若 ，相交； ，相切； ，相离0综上，得：联立 ，得关于 x 的方程pybkx202cbxa当 （二次项系数为零） ，唯一一个公共点（交点）0a当 ，则若 ，两个公共点（交点），一个公共点（切点），无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式： ，其中 a 和 分别是
3、（*）中二次项系数21kad02cbx和判别式，k 为直线 的斜率bxyl:当代入消元消掉的是 y 时，得到 ，此时弦长公式相应的变为：02cya21kad（3）焦点弦公式： 抛物线 ， )0(2pxy )(21xpAB抛物线 ， 抛物线 ， )(2yx )(21y抛物线 ，0ppAB（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径： pd2【预习自测】1 已知抛物线关于 x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求)2,(M它的标准方程2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M(-3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值【典型例题】例 1.已知圆
4、 ，与顶点在原点 ，焦点在 轴上的抛物线交于 两092xyOxBA、点，若 的垂心恰是此抛物线的焦点，求抛物线的方程AOB例 2从抛物线 外一点 引倾斜角为 的直线，与抛物线)0(2pxy)42(，A45交于 、 两点，若 、 、 成等比数列，求抛物线的方程1P1P2例 3过抛物线 的焦点作直线交抛物线于点 ， ，若xy42),(1yxA),(2yB，求 的中点 到抛物线准线的距离7ABM例 4过点 的直线和抛物线 交于 、 两点，若线段 的中点在直)2,0(Pxy82ABAB线 上，求线段 的长xAB例 5抛物线 的动弦 的长为 ，求弦 的中点 到)0(2pxyAB)2(paABM轴的最短距
5、离例 6顶点在原点 ，焦点在 轴上的抛物线被直线 截得的弦长为 ，求Ox12xy15此抛物线的方程例 7如图，过点 P(2，0) 且斜率为 的直线 交抛物线 于 ，klxy2),(1yM两点 （1）写出直线 的方程；（2）求 与 的值；（3）求证：),(2yxNl21xyOM例 8如图，已知AOB 的一个顶点为抛物线 的顶点 O，A、B 两点都在抛物xy2线上，且 证明直线 AB 必过一定点90AOB练习一：1顶点在原点，焦点是 F(0,5)的抛物线方程是( )Ay 220x Bx 220y Cy 2 x Dx 2 y120 1202抛物线 yx 2 的焦点坐标为( )A. B. C. D.(
6、0，14) (0， 14) (14，0) ( 14，0)3已知 P(8，a)在抛物线 y24px 上，且 P 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为( )A2 B4 C8 D164已知抛物线 y22px(p0) 的准线与圆 x2y 26x7 0 相切，则 p 的值为( )A. B1 C2 D4125设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A4 B6 C8 D126若点 P 到定点 F(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1，则点 P 的轨迹方程是( )Ay 216x By 232x Cy 216x Dy 216x 或 y0(x0
7、)过点 M(2,2)，则点 M 到抛物线准线的距离为 8抛物线 y24x 的弦 AB x 轴，若|AB| 4 ，则焦点 F 到直线 AB 的距离为 39若抛物线 y22px (p0)上有一点 M，其横坐标为9.它到焦点的距离为 10，求抛物线方程和 M 点的坐标10抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线相交于点 A，|AF|5，求抛物线的标准方程练习二：1与直线 2xy 40 平行的抛物线 yx 2 的切线方程为 ( )A2xy30 B2x y30 C2xy 10 D2xy102已知抛物线 y22px (p0)的焦点 F，点 P1(x1，y 1)、P 2(x2，y 2)、P 3(
8、x3，y 3)在抛物线上，且 2x2x 1x 3，则有 ( )A|FP 1| FP2|FP 3| B| FP1|2| FP2|2|FP 3|2C|FP 1|FP 3|2|FP 2| D| FP1|FP3|FP 2|23抛物线 y212x 截直线 y 2x1 所得弦长等于 ( )A. B2 C. D1515 151524以抛物线 y22px (p0)的焦半径|PF |为直径的圆与 y 轴的位置关系为 ( )A相交 B相离 C相切 D不确定5AB 是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦，若准线交 x 轴于点 M，则AMB 是A锐角 B直角 C钝角 D锐角或钝角 （ ）6已知抛物线 y22px (p0
9、)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 ( )Ax1 Bx 1 Cx2 Dx27抛物线 y24x 与直线 2x y40 交于 A、B，F 是抛物线的焦点，则 |FA|FB| 8边长为 1 的等边AOB，ABx 轴，则以 O 为顶点，且过 A、B 的抛物线方程是 9过点 Q(4,1)的抛物线 y28x 的弦 AB 恰被点 Q 平分，求 AB 所在直线方程10已知抛物线 y2x 与直线 l：yk(x1)相交于 A，B 两点(1)求证：OA OB；(2) 当OAB 的面积等于 时，求 k 的值1011已知抛物线 和点 ，过抛物线右半支上一点 的切线和 轴交于 ，2xy)031(，APyR与 轴交于 ，且 ，求点 的坐标APQRPP
