1、3.2.3一、选择题1若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m, 1)，平面 的法向量为 (1，2)，则 m 为( )12A4 B6 C8 D8答案 C解析 l，l 与平面 的法向量垂直故 21 m120，12解得 m8，故选 C.2若 n(1 ， 2,2)是平面 的一个法向量，则下列向量能作为平面 法向量的是( )A(1，2,0) B(0，2,2)C(2，4,4) D(2,4,4)答案 C解析 (2 ，4,4)2(1，2,2)2n ，(2，4,4) 可作为 的一个法向量3(2010雅安高二检测)已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k( )A.
2、B1 75C. D.35 15答案 A解析 kab(k 1，k, 2),2ab(3,2，2) 若 kab 与 2ab 垂直，则(kab)(2ab)0.即 3(k 1)2k 40.解得 k ，故选 A.754已知 A(3,0， 1)、B(0，2，6)、C(2,4，2) ，则ABC 是( )A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案 C解析 (3，2，5)， (1,4，1) ，则AB AC 3 (1)2450.AB AC ，故 ABC 为直角三角形AB AC 又| | | |故选 C.AB AC 二、填空题5在直角坐标系 Oxyz 中，已知点 P(2cosx1,2cos2 x2,
3、0)和点 Q(cosx，1,3)，其中 x0 ，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为_答案 或2 3解析 cosx (2cosx1)2cos2x2302cos 2xcosx2(2cos 2x1)2OP OQ 2cosx 2cosx .2cos 2xcosx 0，即 cosx 0 或 cosx ，12又x0 ，x 或 .2 36已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果 (2，1，4) ，AB (4,2,0) ， (1,2，1) 对于结论：APAB； APAD； 是平面 ABCD 的AD AP AP 法向量； .其中正确的是_AP BD 答案 解析 2( 1)(1)2(
4、 4)( 1)2240，则 .AB AP AB AP 4(1)220 0，则 ，AP AD AP AD ， ， A，AP AB AP AD AB AD 平面 ABCD，故 是平面 ABCD 的一个法向量AP AP 三、解答题7已知 A、B 、C、D 是空间四个不同的点，求证：ACBD 的充要条件是 AD2BC 2CD 2AB 2.证明 设 a， b， c，则 ACBDb(ca)AB AC AD 0abb c，AD2BC 2CD 2AB 2| |2| |2| |2| |2|c |2(ba)AD BC CD AB 2| cb |2|a| 2abb c，ACBDAD 2BC 2CD 2AB 2.8如
5、图，ABC 中，ACBC ，D 为 AB 边中点，PO平面ABC，垂足 O 在 CD 上，求证：ABPC.证明 设 a， b， v.CA CB OP 由条件知，v 是平面 ABC 的法向量，va 0，v b0，D 为 AB 中点， (ab)，CD 12O 在 CD 上，存在实数 ，使 (ab)，CO CD 2CACB，|a| |b|， ( ba)AB CP 2(a b) v (ab)(ba)(ba)v2 (|a|2|b| 2)bvav 0，2 ， ABPC.AB CP 9已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，且 PA底面 ABCD，如果 BCPB ，求证 ABCD 是矩形证明
6、 由条件知 ， ， ，AP AB AP AD AD BC BCPB， 0，BC PB 即 ( )0，AD AB AP 0，AD AB AD AP 0， 0，AD AP AD AB ADAB，四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD 为矩形10如图，已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC BC，D 为 AB 的中点，ACBCBB 1.(1)求证：BC 1AB 1；(2)求证：BC 1平面 CA1D.解析 如图，以 C1 点为原点， C1A1，C 1B1，C 1C 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系设 ACBCBB 12，则 A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,
7、0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D(1,1,2)(1) (0 ，2，2)， ( 2,2，2)，BC1 AB1 0 440，BC1 AB1 ， BC 1AB 1.BC1 AB1 (2)取 A1C 的中点 E，E(1,0,1)， (0,1,1)，又 (0，2，2) ， ED BC1 ED 12，且 ED 和 BC1 不共线，则 EDBC 1.又 ED平面 CA1D，BC 1平面 CA1D，故 BC1平BC1 面 CA1D.点评 第(2)问可求出 (1,1,0)， (2,0，2) ， (0 ，2，2)，CD CA1 BC1 2 ，BC1 CD CA1 与
8、、 共面，BC1 CD CA1 BC 1平面 CA1D，BC 1平面 CA1D.11在棱长 ABAD 2，AA 13 的长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 是平面 BCC1B1 上的动点，点 F 是 CD 的中点试确定点 E 的位置，使 D1E平面 AB1F.解析 建立空间直角坐标系如图，则 A(0,0,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D 1(0,2,3)，设 E(2，y，z) (2，y2，z 3)，D1E (1,2,0)， (2,0,3)，AF AB1 D 1E平面 AB1F，Error!即Error! ，解得Error!E(2,1， )即为所求5312如图，在正四棱
9、柱 ABCDA 1B1C1D1 中，已知AB 2，AA 15，E、F 分别为 D1D、B 1B 上的点，且 DEB 1F1.(1)求证：BE平面 ACF；(2)求点 E 到平面 ACF 的距离解析 (1)证明：以 D 为原点，DA、DC、DD 1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0) ，D 1(0,0,5)，E(0,0,1) ，F(2,2,4) (2,2,0)， (0,2,4)， ( 2，2,1)，AC AF BE (2，0,1)AE 0， 0，BE AC BE AF BEAC，BEAF，且 ACAFA.BE平面 ACF.(2)解：由(1)知， 为平面 ACF 的一个法向量，BE 向量 在 上的射影长，AE BE 即为点 E 到平面 ACF 的距离，设为 d.于是 d| |cos ， |AE AE BE .|AE BE |BE | 53故点 E 到平面 ACF 的距离为 .53高#考$试题库
