1、3.2.2 空间向量与垂直关系一、选择题1若平面 、 的法向量分别为 u(2，3,5) ，v(3，1，4) ，则 ( )A BC、 相交但不垂直 D以上均不正确2若直线 l 的一个方向向量为 a(2,5,7)，平面 的一个法向量为 u(1,1，1)，则( )Al Bl Cl Dl 与 斜交3已知平面 内有一个点 A(2，1,2) ， 的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的是 ( )A(1，1,1) B.(1，3，32)C. D.(1， 3，32) ( 1，3， 32)4.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则直线CE垂直于 (
2、)AAC BBDCA 1D DA 1A5已知 A(1,0,0)、B(0,1,0) 、C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个单位法向量是( )A. B.(33，33， 33) ( 33， 33，33)C. D.( 33，33，33) ( 33， 33， 33)6已知 A(3,0， 1)、B(0，2，6)、C(2,4，2) ，则ABC 是 ( )A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D以上都不对二、填空题7已知平面 和平面 的法向量分别为 a(1,1,2)，b(x，2，3) ，且 ，则x_.8下列命题中：若 u，v 分别是平面 ， 的法向量，则 uv0；若 u 是平面 的法向量且向量 a 与
3、共面，则 ua0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直正确的命题序号是_9已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 (2，1，4) ， (4,2,0)，AB AD (1,2，1)对于结论： AP AB；APAD ； 是平面 ABCD 的法向量；AP AP .AP BD 其中正确的是_(填序号 )三、解答题10.已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1上的点，且 CN CC1.14求证：AB 1MN.11.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，试在棱 BB1 上找一点
4、M，使得 D1M 平面 EFB1.12.如图所示，ABC 是一个正三角形，EC 平面 ABC， BDCE ，且 CECA2BD，M是 EA 的中点求证：平面 DEA平面 ECA.四、探究与拓展13在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 上的动点，(1)求证：A 1EBD；(2)若平面 A1BD平面 EBD，试确定 E 点的位置答案1C 2.B 3.B 4.B 5.D 6.C74 8. 9.10.证明 设 AB 中点为 O，作 OO1AA 1，以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴， OC 为 y 轴，OO 1 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得 A ，( 12，0，0
5、)B ，C ，(12，0，0) (0，32，0)N ，B 1 .(0，32，14) (12，0，1)M 为 BC 中点，M .(14，34，0) ，( 14，34，14)(1,0,1)， 0 0.14 14，AB 1MN.11解 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 2，则 E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)设 M(2,2，m)，则 (1,1,0)，(0，1，2)，(2,2，m2)D 1M平面 EFB1，D 1MEF， D1MB 1E，0 且 0，于是Error!m1，故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M平面 EFB1.12证
6、明 如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，不妨设 CA2，则 CE2，BD1，C(0，0,0)，A( ，1,0) ，B (0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1) 3所以( ，1，2)，(0,0,2)，(0,2，1)3分别设面 CEA 与面 DEA 的法向量是n1(x 1，y 1，z 1)，n 2(x 2，y 2，z 2)，则即Error!解得Error!即Error!解得Error!不妨取 n1(1 ， ，0)，n 2( ，1,2)，因为 n1n20 ，所以两个法向量相互垂3 3直所以平面 DEA平面 ECA.13(1)证明 分别以 DA，DC，DD 1 所在直线为 x 轴，y 轴，z
7、 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 a.依题意可得，A(a,0,0) ，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A 1(a,0，a)，C 1(0，a，a)设 E(0，a，e)(a，a，ea)，又(a，a,0)，a 2a 20.，即 A1EBD .(2)解 E 为 CC1 的中点，证明如下：设 BD 的中点为 O，连接 A1O，OE .则 O ，(a2，a2，0) ，( a2，a2，e) .(a2， a2，a)A 1BA 1D，O 为 BD 中点，A 1OBD .又平面 A1BD 平面 EBD，A 1O平面 EBD.A 1OOE.又(a，a,0)，则 0， 0，即Error!，e .a2当 E 为 CC1 的中点时，能使平面 A1BD平面 EBD.高考试题-库
