1、2010 届高三数学一轮复习强化训练精品命题及其关系、充分条件与必要条件基础自测1.(2009成化高级中学高三期中考试)若命题“对 x R，x 2+4cx+10”是真命题，则实数 c 的取值范围是 .答案 )21,(2.（2008湖北理，2）若非空集合 A、B、C 满足 AB=C，且 B 不是 A 的子集，则下列说法中正确的是 .(填序号) “xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 “xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 “xC”是“xA”的充要条件“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件答案3.若命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，则 s 是 p 的逆命
2、题 t 的 命题.答案 否4.（2008浙江理，3）已知 a,b 都是实数,那么“a 2b 2”是“ab”的 条件.答案 既不充分也不必要5.设集合 A、B，有下列四个命题：AB 对任意 xA 都有 x B; AB AB= ;AB BA; AB 存在 xA,使得 x B.其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）答案 例 1 把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.（1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）已知 a，b，c，d 是实数，若 a=b,c=d,则 a+c=b+d.解 （1）原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它
3、的三个内角相等”.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：三个内角相等的三角形是正三角形）.否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.（2）原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等.”逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）.否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）.逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.（3）原命题即是“已
4、知 a,b,c,d 是实数，若 a=b,c=d，则 a+c=b+d”.其中“已知 a,b,c,d 是实数”是大前提， “a 与 b,c 与 d 都相等”是条件 p， “a+c=b+d”是结论 q，所以逆命题：已知 a,b,c,d 是实数，若 a+c=b+d，则 a 与 b，c 与 d 都相等.否命题：已知 a,b,c,d 是实数，若 a 与 b,c 与 d 不都相等，则 a+cb+d.逆否命题：已知 a,b,c,d 是实数，若 a+cb+d,则 a 与 b,c 与 d 不都相等.例 2 指出下列命题中，p 是 q 的什么条件（在 “充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件” 、
5、 “既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在ABC 中，p：A=B，q：sinA=sinB；（2）对于实数 x、y，p：x+y8,q:x2 或 y6;（3）非空集合 A、B 中，p：xAB，q：xB；（4）已知 x、yR，p：（x-1） 2+（y-2） 2=0，q：（x-1） （y-2）=0.解 （1）在ABC 中，A=B sinA=sinB，反之，若 sinA=sinB，因为 A 与 B 不可能互补（因为三角形三个内角和为 180),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件.(2)易知: p:x+y=8, q:x=2 且 y=6,显然 q p.但 p q,即 q 是 p 的充分不
6、必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必要条件.(3)显然 xAB 不一定有 xB,但 xB 一定有 xAB,所以 p 是 q 的必要不充分条件.(4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2,所以 p q 但 q p,故 p 是 q 的充分不必要条件.例 3（14 分）已知 ab0，求证：a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.证明（必要性）a+b=1，a+b-1=0， 2 分a 3+b3+ab-a2-b2=（a+b） （a 2-ab+b2）-（a 2-ab+b2） 5 分=（a+b-1） （a 2-ab+b2）=0. 7 分（充
7、分性）a 3+b3+ab-a2-b2=0，即（a+b-1） （a 2-ab+b2）=0， 9 分又 ab0,a0 且 b0,a 2-ab+b2=（a- b20,43)a+b-1=0,即 a+b=1, 12 分综上可知,当 ab0 时,a+b=1 的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 14 分1.写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假： （1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解 （1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否
8、命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.2.（ 2008湖南理 ，2） “|x-1|2 成立”是“x(x-3) 0 成立”的 条件. 答案 必要不充分3.证明一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0.证明 充分性：若 ac0,则 b2-4ac0,且 0,ac方程 ax2+bx+c=0 有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根，则
9、 =b 2-4ac0,x 1x2= 0,ac0. ac综上所述，一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0.一、填空题1.下列命题：54 或 45 ；9 3；命题“若 ab,则 a+cb+c”的否命题；命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 .答案 12.（2008 重庆理 ，2）设 m，n 是整数，则 “m，n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 条件.答案 充分不必要 3. “x1”是“x 2x”的 条件. 答案 充分不必要 4.（2009成化高级中学高三期中考试）已知函数 f(x)=ax+b(0x1),则“a+2b0”是“f(x)0”恒成立的
10、 条件.（填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充分必要” 、 “既不充分也不必要”之一）答案 必要不充分5.在ABC 中， “sin2A= ”是“A=30”的 条件.23答案 必要不充分性6.（2008安徽理，7）a0 方程 ax2+2x+1=0至少有一个负数根的 条件.答案 充分不必要7.设集合 A= B 则集合 = .,4|x,034|2xBAx且|答案 31|8.设 A= B 则使 A B 成立的实数 m 的取值范围是 .,1)(|),(2yx,|),(myx答案 m 二、解答题9. 求关于 x 的方程 x2-mx+3m-2=0的两根均大于 1的充要条件.解 设方程的两根分别为
11、x1、x 2，则原方程有两个大于 1 的根的充要条件是 即,0)1(,3421xm且且.01)(,8221xx且又x 1+x2=m,x1x2=3m-2, 故所求的充要条件为 m6+2 .21, ,7676m且 710. 已知 x,yR.求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy0.证明（充分性）若 xy0,则 x,y 至少有一个为 0 或同号.|x+y|=|x|+|y|一定成立.（必要性） 若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y) 2=(|x|+|y|)2, x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,xy=|xy|,xy0. 综上，命题得证.11. a,b,c 为实数，且 a=
12、b+c+1.证明：两个一元二次方程 x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则 1=1-4b0, 2=a2-4c0, 1+ 2=1-4b+a2-4c0.a=b+c+1,b+c=a-1. 1-4(a-1)+a 20,即 a2-4a+50. 但是 a2-4a+5=(a-2)2+10,故矛盾.所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.12.设 、 是方程 x2-ax+b=0的两个根，试分析 a2 且 b1 是两根 、 均大于 1的什么条件？ 解 令 p:a2,且 b1;q: 1,且 1,易知 + =a, =b.若 a2,且 b1,即 不能推出 1 且 1.2可举反例：若 所以由 p 推不出 q，263且若 1,且 1，则 + 1+1=2, 1.所以由 q 可推出 p.综合知 p 是 q 的必要不充分条件，也即 a2,且 b1 是两根、 均大于 1 的必要不充分条件.高考 试题)库
