1、利用导数判断函数的单调性第 1 题. 2007 海南、宁夏文)设函数 2()ln3)fxx（）讨论 (fx的单调性；（）求 )f在区间 314，的最大值和最小值答案：解： ()fx的定义域为 2， （） 246(21)()333xxfx当 31时， ()0f；当 1时， ()0f；当 12x时，()0fx从而， f分别在区间 312， ， 单调增加，在区间 12，单调减少（）由（）知 ()fx在区间 4，的最小值为 1ln24f又 31397139lnllnl426ff 0所以 ()fx在区间 4，的最大值为 7l462f第 2 题. （2002 海南、宁夏理）曲线12exy在点 (e)，处的
2、切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） 9e 24e 2 2答案：第 3 题. （2007 海南、宁夏理）设函数 2()ln)fxax（I）若当 1x时， ()fx取得极值，求 的值，并讨论 (f的单调性；（II）若 ()f存在极值，求 a的取值范围，并证明所有极值之和大于 eln2答案：解：（） 1()2fxxa，依题意有 0，故 3从而21()1()2xxf ()fx的定义域为 32， 当 31x时， ()0fx；当 1时， ()0fx；当 2x时， 从而， ()f分别在区间 312， ， ， 单调增加，在区间 12，单调减少（） ()fx的定义域为 ()a， ，21(xaf方程 210a的
3、判别式 248（）若 ，即 2a，在 ()fx的定义域内 ()0fx，故 ()fx无极值（）若 ，则 或 2若 2a， ()x， ，2(1)xf当 时， ()0f，当 2， ， 时， ()0fx，所以()fx无极值若 2a， ()， ，2(1)0xf， ()fx也无极值（）若 0，即 2a或 ，则 2a有两个不同的实根21x，22x当 a时， 12a，从而 ()fx在 f的定义域内没有零点，故 ()fx无极值当 2a时， 1a， 2x， ()fx在 f的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知 ()f在 12取得极值综上， ()fx存在极值时， 的取值范围为 ()， 的极值之和为 22212
4、111e()ln()ln()lnln2fxfxaxaa第 4 题. （2007 湖南理）函数 3f在区间 ， 上的最小值是 答案： 6第 5 题. (2007 湖南文) 已知函数 321()fxaxb在区间 1)， ， (3， 内各有一个极值点（I）求 24ab的最大值；（II）当 8时，设函数 ()yfx在点 (1)Af， 处的切线为 l，若 在点 A处穿过函数 ()yfx的图象（即动点在点 附近沿曲线 (yx运动，经过点 时，从 l的一侧进入另一侧） ，求函数 ()fx的表达式答案：解：（I ）因为函数 321axb在区间 1)， ， (3， 内分别有一个极值点，所以 2()fxab0在
5、)， ， (， 内分别有一个实根，设两实根为 12， （ 12x） ，则 2214x，且 2104x 于是204ab， 46 ，且当 ， 3，即 a， 3b时等号成立故 的最大值是 16（II）解法一：由 (1)fab知 ()fx在点 1()f， 处的切线 l的方程是()yfx，即 23ya，因为切线 l在点 ()Af， 处穿过 ()fx的图象，所以 21()(1)3gxfabxa在 x两边附近的函数值异号，则1不是 的极值点而 ()x32()2xx，且2 211()1)gabaxa若 1，则 x和 都是 )gx的极值点所以 ，即 2又由 248b，得 故 32()fxx解法二：同解法一得 2
6、1()(1)3gxfaxa2()3因为切线 l在点 (1)Af， 处穿过 ()yfx的图象，所以 gx在 1两边附近的函数值异号于是存在 2m， （ 12） 当 1x时， ()0gx，当 xm时， ()0x；或当 时， ，当 2时， g设 23()12ahxx，则当 1m时， ()0h，当 21m时， ()0hx；来源:学优高考网 GkStK或当 x时， x，当 时， 由 ()0h知 是 ()的一个极值点，则 3(1)2a所以 2a又由 248ab，得 ，故 fxx第 6 题. (2007 江苏)已知函数 3()28fx在区间 3， 上的最大值与最小值分别为M， m，则 _答案： 32第 7
7、题. (2007 江西理)设 2:()eln1xpfmx在 (0)， 内单调递增，:5q，则 是 q的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件充分必要条件 既不充分也不必要条件答案：B第 8 题. （全国卷 I 理）设函数 ()exf（）证明： ()fx的导数 2 ；（）若对所有 0 都有 ()fxa ，求 的取值范围答案：解：（） ()fx的导数 ef由于 e2-xA ，故 ()2fx （当且仅当 0时，等号成立） （）令 ()gfa，则exxf，（）若 2a ，当 0时， ()e20xga ，故 ()gx在 )， 上为增函数，所以， 时， ()x ，即 ()fx （）若 2a，方程 0g的正根
8、为214lna，此时，若 1(0)x， ，则 ()x，故 ()gx在该区间为减函数所以， ， 时， 0g，即 fa，与题设 ()fxa 相矛盾综上，满足条件的 a的取值范围是 2 ， 第 9 题. (2007 全国 I 文) 曲线 31yx在点 41， 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） 19 2 3 2答案：A第 10 题 . (2007 全国 I 文)设函数 32()8fxaxbc在 1x及 2时取得极值B1FO2PDAyxC（）求 a、 b 的值；（）若对于任意的 03x， ，都有 2()fxc成立，求 c 的取值范围答案：（） 2()6fab，因为函数 x在 1及 x取得极值，则
9、有 (1)0f， (2)f即 63024ab， 解得 ， （）由（）可知， 32()918fxxc，2()6186)fx当 0， 时， ()0fx；当 (2)x， 时， ；当 3， 时， ()fx所以，当 1时， 取得极大值 (1)58fc，又 (0)8fc， (3)98fc则当 0x， 时， ()fx的最大值为 39因为对于任意的 3， ，有 2()fc恒成立，所以 298c，解得 1或 ，因此 的取值范围为 (1)(9)， ， 第 11 题 . (2007 全国 II 理)已知函数 3fx（1 ）求曲线 (yfx在点 ()Mt， 处的切线方程；（2 ）设 0a，如果过点 ab， 可作曲线
10、()yfx的三条切线，证明：()bf答案：解：（1）求函数 ()fx的导数： 2()31xf曲线 ()yf在点 Mt， 处的切线方程为：()()yftxt，即 231（2 ）如果有一条切线过点 ()ab， ，则存在 t，使23()btt于是，若过点 ， 可作曲线 ()yfx的三条切线，则方程320tab有三个相异的实数根记 32()gtt，则 6a()当 t变化时， ()tg， 变化情况如下表：0，0 ()a， ()a，()gt0 0tA极大值 abA极小值 ()bfaA由 ()gt的单调性，当极大值 0或极小值 0f时，方程 ()0gt最多有一个实数根；当 0ab时，解方程 ()gt得 32
11、at， ，即方程 ()t只有两个相异的实数根；当 ()f时，解方程 ()0t得 tt， ，即方程 ()0gt只有两个相异的实数根综上，如果过 ()ab， 可作曲线 ()yfx三条切线，即 ()t有三个相异的实数根，则 0()abf， 即 ()fa第 12 题 . (2007 陕西理)设函数 2e()xfa，其中 a为实数（I）若 ()fx的定义域为 R，求 a的取值范围；（II）当 的定义域为 时，求 ()fx的单调减区间答案：解：（） ()fx的定义域为 ， 20a恒成立， 240a，04a，即当 04a时 ()fx的定义域为 R（） 22(e)xf，令 0f ，得 (2)0xa 由 (0f
12、，得 或 a，又 4，2a时，由 ()0fx得 2x；当 时， ；当 时，由 ()0fx得 20ax，即当 0时， ()fx的单调减区间为 a， ；当 24a时， 的单调减区间为 (2)， 第 13 题 . (2007 浙江理)设3()xf，对任意实数 t，记23()tgxt（I）求函数 8yfxg的单调区间；（II）求证：（）当 0时， ()tfxg 对任意正实数 t成立；（）有且仅有一个正实数 ，使得 800()tx 对任意正实数 成立答案：（I）解：3164xy由 240yx，得因为当 ()， 时， y，当 2x， 时， 0，当 ()， 时， y，故所求函数的单调递增区间是 (2)， ，
13、 ()， ，单调递减区间是 (2)， （II）证明：（i ）方法一：令23()()(0)txhxfgtx，则23t，当 0t时，由 ()0hx，得13t当13(x，时， ，当 )， 时， ()x，所以 (hx在 0， 内的最小值是13()0ht故当 时， ()tfgx 对任意正实数 成立方法二：对任意固定的 0x，令23()(0)thxt，则132()()htt，由 0t，得 3tx当 3时， ()0h当 tx时， t，所以当 3时， ()取得最大值 31()hx因此当 0x时， tfxg 对任意正实数 t成立（ii）方法一： 8(2)()3fg由（i）得， 2t 对任意正实数 t成立即存在正
14、实数 0x，使得 8()2tg 对任意正实数 t成立下面证明 的唯一性：当 02x， 0， 8t时，30()f， 8016()43gx，由（i）得，30，再取 30tx，得 3030()xg，所以 308016()4()xg，即 02x时，不满足 8()t 对任意 0t都成立故有且仅有一个正实数 02x，使得 80()()tgx 对任意正实数 t成立方法二：对任意 ， 8016()43gx，因为 0()tx关于 t的最大值是 ，所以要使 800()()tgx 对任意正实数成立的充分必要条件是： 300164，即 2()4x ， 又因为 0，不等式成立的充分必要条件是 02x，所以有且仅有一个正实数 02x，使得 80()()tgx 对任意正实数 t成立第 14 题 . (2007 湖北理)已知定义在正实数集上的函数 21()fxax，2()3lnxab，其中 0a设两曲线 ()yfx， g有公共点，且在该点处的切线相同（I）用 表示 ，并求 的最大值；（II）求证： ()fxg （ x） 答案：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问
