1、高考排列组合问题的解决方案内容提要:本文把常见的排列问题归纳成三种典型问题，并在排列的一般规定性下，对每一种类型的问题通过典型例题归纳出相应的解决方案，并附以近年的高考原题及解析,使我们对排列问题的认识更深入本质,对排列问题的解决更有章法可寻关键词: “特殊优先”,“大元素” ， “捆绑法”,“插空法”,“等机率法”排列问题的应用题是学生学习的难点，也是高考的必考内容,笔者在教学中尝试将排列问题归纳为三种类型来解决：1.2.3.能 排 不 能 排 排 列 问 题排 列 应 用 题 相 邻 不 相 邻 排 列 问 题机 会 均 等 排 列 问 题下面就每一种题型结合例题总结其特点和解法，并附以近
2、年的高考原题供读者参研一. 能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题)解决此类问题的关键是特殊元素或特殊位置优先.或使用间接法例 1 （1）7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(4)7 位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？解析:(1)先考虑甲站在中间有 1 种方法，再在余下的 6 个位置排另外 6 位同学，共 6A种方法；(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有 2A种，再在余下的 5 个位置排
3、另外 5 位同学的排法有5A种，共 52种方法；(3) 先考虑在除两端外的 5 个位置选 2 个安排甲、乙有 25A种，再在余下的 5 个位置排另外5 位同学排法有 5种，共 2A种方法；本题也可考虑特殊位置优先,即两端的排法有2A,中间 5 个位置有 5种，共 52种方法；(4)分两类乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有 6A种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的 5 人中选 1 人安排在排头的方法有 15种，中间 5 个位置选 1个安排乙的方法有 15A，再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学的排法有 5A，故共有156A种方法；本题也可考虑间接法，总排法为 7，不符合
4、条件的甲在排头和乙站排尾的排法均为 6，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有7652种例 2.某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ 解法 1：对特殊元素数学和体育进行分类解决（1）数学、体育均不排在第一节和第六节，有 24A种，其他有 4种，共有 24A种；（2）数学排在第一节、体育排在第六节有一种，其他有 4种，共有 4种；（3）数学排在第一节、体育不在第六节有 14种，其他有 种，共有 1种；（4）数学不排在第一节、体育排在第六节有 A种，其他有 4种，共有 4A种；所以符合条件
5、的排法共有 2144250A种解法 2：对特殊位置第一节和第六节进行分类解决（1）第一节和第六节均不排数学、体育有 24种，其他有 4种，共有 24种；（2）第一节排数学、第六节排体育有一种，其他有 4A种，共有 4种；（3）第一节排数学、第六节不排体育有 14种，其他有 种，共有 1A种；（4）第一节不排数学、第六节排体育有 种，其他有 4种，共有 4种；所以符合条件的排法共有 2144250AA种解法 3：本题也可采用间接排除法解决不考虑任何限制条件共有 6种排法，不符合题目要求的排法有：（1）数学排在第六节有5A种；（2）体育排在第一节有 5A种；考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和
6、体育排在第一节的情况 4种所以符合条件的排法共有 65420A种附：1、 （2005 北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建 1项，其中甲工程队不能承建 1 号子项目，则不同的承建方案共有( )（ A） 14C种 （ B） 4CA种 （ C） 4种 （ D） 4种解析：本题在解答时将五个不同的子项目理解为 5 个位置，五个工程队相当于 5 个不同的元素，这时问题可归结为能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题)，先排甲工程队有 14C，其它 4 个元素在 4 个位置上的排法为 4A种，总方案为14CA种故选(B)2、 （2005 全国卷）在由数字
7、 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有 个.解析：本题在解答时只须考虑个位和千位这两个特殊位置的限制，个位为 1、2、3、4 中的某一个有 4 种方法，千位在余下的 4 个非 0 数中选择也有 4 种方法，十位和百位方法数为2A种，故方法总数为 219A种3、 （2005 福建卷）从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）A300 种 B240 种 C144 种 D96 种解析：本题在解答时只须考虑巴黎这个特殊位置的
8、要求有 4 种方法，其他 3 个城市的排法看作标有这 3 个城市的 3 个签在 5 个位置（5 个人）中的排列有 35A种，故方法总数为5420种故选（B） 上述问题归结为能排不能排排列问题，从特殊元素和特殊位置入手解决,抓住了问题的本质，使问题清晰明了，解决起来顺畅自然二.相邻不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题)相邻排列问题一般采用大元素法,即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素，再与其他元素进行排列，解答时注意“释放”大元素，也叫“捆绑法” 不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题)一般采用“插空法” 例 3 7 位同学站成一排，(1)甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共
9、有多少种？(2)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学间恰好间隔 2 人的排法共有多少种？解析：(1)第一步、将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外 4 人的排列为 5A种，第二步、 “释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有 3种，所以共53720A种；(2)第一步、先排除甲、乙和丙之外 4 人共 4A种方法，第二步、甲、乙和丙三人排在 4 人排好后产生的 5 个空挡中的任何 3 个都符合要求，排法有 35A种，所以共有43510A种；（3）先排甲、乙，有 2种排法，甲、乙两人中间插入的 2 人是从其余 5 人中选，有 25种排法，将已经排好的
10、4 人当作一个大元素作为“新人”参加下一轮 4人组的排列，有 4种排法，所以总的排法共有 245960A种附：1、 （2005 辽宁卷）用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1和 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）解析：第一步、将 1 和 2“捆绑”成一个大元素，3 和 4“捆绑”成一个大元素，5 和6“捆绑”成一个大元素，第二步、排列这三个大元素，第三步、在这三个大元素排好后产生的 4 个空挡中的任何 2 个排列 7 和 8，第四步、 “释放”每个大元素（即大元素内的每个小元素在“捆绑”成的
11、大元素内部排列） ，所以共有 32476A个数2、 （2004. 重庆理）某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二班有 2 位，其它班有 5 位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有 3 位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连） ，而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为 （ ）A 10 B 120 C 140 D 120解析：符合要求的基本事件（排法）共有：第一步、将一班的 3 位同学“捆绑”成一个大元素，第二步、这个大元素与其它班的 5 位同学共 6 个元素的全排列，第三步、在这个大元素与其它班的 5 位同学共 6 个元素的全排列排好后产生的 7 个
12、空挡中排列二班的 2 位同学，第四步、 “释放”一班的 3 位同学“捆绑”成的大元素，所以共有 637A个；而基本事件总数为 10A个，所以符合条件的概率为623710AP故选（ B ） 3、 （2003 京春理）某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）A.42 B.30 C.20 D.12解析：分两类：增加的两个新节目不相邻和相邻，两个新节目不相邻采用“插空法” ，在 5个节目产生的 6 个空挡排列共有 2630A种，将两个新节目“捆绑”作为一个元素叉入 5个节目产生的 6 个空挡中的一个位置，再“释放
13、”两个新节目 “捆绑”成的大元素，共有 126A种，再将两类方法数相加得 42 种方法故选（ A ） 三.机会均等排列问题(即某两或某些元素按特定的方式或顺序排列的排列问题)解决机会均等排列问题通常是先对所有元素进行全排列,再借助等可能转化，即乘以符合要求的某两（或某些）元素按特定的方式或顺序排列的排法占它们（某两（或某些）元素）全排列的比例，称为“等机率法” ；或将特定顺序的排列问题理解为组合问题加以解决 .例 4、 7 位同学站成一排(1)甲必须站在乙的左边?(2)甲、乙和丙三个同学由左到右排列?解析：（1）7 位同学站成一排总的排法共 7A种,包括甲、乙在内的 7 位同学排队只有甲站在乙的左边和甲站在乙的右边两类，它们的机会是均等的，故满足要求的排法为 721A，本题也可将特定顺序的排列问题理解为组合问题加以解决，即先在 7 个位置中选出 2 个位置安排甲、乙, 由于甲在乙的左边共有 27C种，再将其余 5 人在余下的 5 个位置排列有 5种，得排法数为 257CA种；（2）参见（1）的分析得 37（或 437A） 本文通过较为清晰的脉络把排列问题分为三种类型，使我们对排列问题有了比较系统的认识.但由于排列问题种类繁多，总会有些问题不能囊括其中，也一定存在许多不足,希望读者能和我一起研究完善
