1、高等数学复习教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1. 函数概念与 性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2. 极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3. 连续 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A. 极限的求法 （1 ）用定义 求 （2 ）代入法 （对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3 ）变量替 换法 （4 ）两个重 要极限法 （5 ）用夹逼 定理和单调有界定理求 （6 ）等价无 穷小量替换
2、法 （7 ）洛必达 法则与 Taylor 级数法 （8 ）其他（ 微积分性质，数列与级数的性质） 1. 6 1 2 arctan lim ) 2 1 ln( arctan lim 3 0 3 0 x x x x x x x x （等价小量 与洛必达 ） 2. 已知 2 0 3 0 ) ( 6 lim 0 ) ( 6 sin lim x x f x x xf x x x ，求 解： 2 0 3 0 3 ) ( 6 cos 6 lim ) ( 6 sin lim x xy x f x x x xf x x x 72 ) 0 ( 0 6 ) 0 ( 3 216 6 3 6 cos 216 lim 6
3、 2 6 sin 36 lim 0 0 y y xy y x x xy y x x x36 2 72 2 lim 2 lim ) ( 6 lim 0 0 2 0 y x y x x f x x x（ 洛必 达 ） 3. 1 2 1 ) 1 2 ( lim x x x x x（ 重 要极限 ） 4. 已知 a 、b 为正常数， x x x x b a 3 0 ) 2 ( lim 求 解：令 2 ln ) ln( 3 ln , ) 2 ( 3 x x x x x b a x t b a t 2 / 3 0 0 ) ( ) ln( 2 3 ) ln ln ( 3 lim ln lim ab t ab
4、 b b a a b a t x x x x x x （变量替换 ） 5. ) 1 ln( 1 0 2 ) (cos lim x x x 解：令 ) ln(cos ) 1 ln( 1 ln , ) (cos 2 ) 1 ln( 1 2 x x t x t x 2 / 1 0 0 2 1 2 tan lim ln lim e t x x t x x （变量替换 ） 6. 设 ) ( x f 连续， 0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( f f ，求 1 ) ( ) ( lim 0 2 0 0 2 x x x dt t f x dt t f（洛必达与 微积分性 质 ） 7. 已知 0 , 0 , )
5、 ln(cos ) ( 2 x a x x x x f 在 x=0 连续，求 a 解：令 2 / 1 / ) ln(cos lim 2 0 x x a x（ 连续性的 概 念 ） 三、补充习题（作业） 1. 3 cos 1 1 lim 0 x x x e x x（洛必达 ） 2. ) 1 sin 1 ( lim 0 x x ctgx x （ 洛 必达或 Ta y l o r ） 3. 1 1 lim 2 2 0 0 x x t x e dt e x（ 洛必 达与微积 分 性质 ） 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1. 导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式
6、、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2. 微分中值定 理 理解 Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3. 应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 A. 导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1. 5 2 arctan ) ( 2 t e ty y t x x y y 由 决定，求 dx dy2. x y x y x x y y sin ) ln( ) ( 3 2 由 决定，求 1 | 0 x dx dy解：两边微分得
7、x=0 时 y x y y cos ，将 x=0 代 入等式得 y=1 3. y x x y y xy 2 ) ( 由 决定，则 dx dy x ) 1 2 (ln | 0 B. 曲线切法 线问题 4. 求对数螺线 ) 2 / , 2 / e e （ ） ， 在（ 处切线的直角坐标方程。 解： 1 | ), , 0 ( | ) , ( , sin cos 2 / 2 / 2 / y e y x e y e xx e y 2 / 5.f(x) 为周期为 5 的连续 函数，它在 x=1 可导， 在 x=0 的某 邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x) 。求 f(x)
8、在（6 ，f(6) ）处的切线方程。 解：需求 ) 1 ( ), 1 ( ) 6 ( ), 6 ( f f f f 或 ，等式取 x-0 的极限有：f(1)=0 ) 6 ( 2 2 ) 1 ( 8 ) 1 ( 4 ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 1 ( lim sin ) sin 1 ( 3 ) sin 1 ( lim 0 sin 0 x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x xC. 导数应用 问题 6. 已知 x e x f x x xf x x f y 1 ) ( 2 ) ( ) ( 2 满足 对一切 ， ) 0 ( 0 ) ( 0 0 x
9、 x f 若 ，求 ) , ( 0 0 y x 点的性质。 解：令 0 , 0 0 , 0 ) ( 0 0 0 1 0 0 0 0 x x x e e x f x x x x 代入， ，故为极小值点。 7. 2 3 ) 1 ( x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域 ) , 1 ( ) 1 , ( x ：斜 ：铅垂； ； 拐点 及 驻点 2 1 0 0 3 0 0 x y x x y x x y8. 求函数 x e x y arctan 2 / ) 1 ( 的单调性与极值、渐进线。 解： 1 0 1 arctan 2 / 2 2 x x e x x x y x 与
10、 驻点 ， 2 ) 2 ( x y x e y 与 渐： D. 幂级数展开问题 9. x x dt t x dx d 0 2 2 sin ) sin( x n n n n x n n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 0 2 ) 1 2 ( 2 6 2 2 1 4 7 3 0 2 1 4 1 7 3 2 ) 1 2 ( 2 6 2 2 sin )! 1 2 ( ) 1 ( ! 3 1 ) sin( )! 1 2 )( 1 4 ( ) 1 ( 7 ! 3 1 3 1 )
11、 sin( )! 1 2 )( 1 4 ( ) ( ) 1 ( ) ( 7 ! 3 1 ) ( 3 1 ) sin( )! 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ! 3 1 ) ( ) sin(或： 2 0 2 0 2 sin sin ) ( sin x du u dx d du u dx d u t x x x 10. 求 ) 0 ( 0 ) 1 ln( ) ( ) ( 2 n f n x x x x f 阶导数 处的 在 解： ) ( 2 ) 1 ( 3 2 ( ) 1 ln( 2 2 1 3 2 2 2 n n n x o n x x x x x x x = ) ( 2 ) 1 ( 3
12、 2 1 5 4 3 n n n x o n x x x x 2 ! ) 1 ( ) 0 ( 1 ) ( n n f n nE. 不等式的证明 11. 设 ) 1 , 0 ( x ， 2 1 1 ) 1 ln( 1 1 2 ln 1 ) 1 ( ln ) 1 2 2 x x x x x ， 求证（ 证：1 ）令 0 ) 0 ( , ) 1 ( ln ) 1 ( ) ( 2 2 g x x x x g ；得证。 单调下降， 单调下降 单调下降， 时 0 ) ( ) ( , 0 ) ( ) ( , 0 ) ( ) ( ) 1 , 0 ( 0 ) 0 ( ) 0 ( , 0 ) 1 ( ) 1 ln
13、( 2 ) ( ), ( ), ( 2 x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g2 ）令 单调下降，得证。 , 0 ) ( ), 1 , 0 ( , 1 ) 1 ln( 1 ) ( x h x x x x h F. 中值定理问题 12. 设函数 1 1 ) ( ， 在 x f 具有三阶连续导数，且 1 ) 1 ( , 0 ) 1 ( f f ， 0 ) 0 ( f ，求证：在（-1 ，1 ）上 存在一点 3 ) ( f ，使 证： 3 2 ) ( ! 3 1 ) 0 ( ! 2 1 ) 0 ( ) 0 ( ) ( x f x f x f f x
14、 f 其中 1 , 1 ), , 0 ( x x 将 x=1 ，x=-1 代入有 ) ( 6 1 ) 0 ( 2 1 ) 0 ( ) 1 ( 1 ) ( 6 1 ) 0 ( 2 1 ) 0 ( ) 1 ( 0 2 1 f f f f f f f f 两式相减： 6 ) ( ) ( 2 1 f f 3 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 1 f f f ， ， 13. 2 e b a e ，求证： ) ( 4 ln ln 2 2 2 a b e a b 证： ) ( ) ( ) ( : f a b a f b f Lagrange 令 ln 2 ln ln , ln ) ( 2 2 2
15、a b a b x x f 令 2 2 2 2 ln ) ( ) ( 0 ln 1 ) ( , ln ) ( e e t t t t t t ) ( 4 ln ln 2 2 2 a b e a b （关键 ：构造函数） 三、补充习题（作业） 1. 2 3 ) 0 ( , 1 1 ln ) ( 2 y x x x f 求 2. 曲线 0 1 2 ) 1 , 0 ( 2 cos 2 sin x y t e y t e x t t 处切线为 在 3. e x y x x e x y 1 ) 0 )( 1 ln( 的渐进线方程为 4. 证明 x0 时 2 2 ) 1 ( ln ) 1 ( x x x
16、证：令 3 2 2 2 ) 1 ( 2 ) ( ), ( ), ( , ) 1 ( ln ) 1 ( ) ( x x x g x g x g x x x x g 0 2 ) 1 ( 0 ) 1 ( ) 1 ( g g g ， 0 0 ), , 1 ( 0 ), 1 , 0 ( 0 2 , 0 ), , 1 ( 2 , 0 ), 1 , 0 ( g g x g x g g g x g g x第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1. 不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2. 定积分 理解定积分的概念与性质 理解变上限
17、定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题（长、面、体） 会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值 二、题型与解法 A. 积分计算 1. C x x dx x x dx 2 2 arcsin ) 2 ( 4 ) 4 ( 22. C x e xdx e xdx e dx x e x x x x tan tan 2 sec ) 1 (tan 2 2 2 2 2 23. 设 x x x f ) 1 ln( ) (ln ，求 dx x f ) ( 解： dx e e dx x f x x ) 1 ln( ) ( C e e x dx e e e e x x
18、x x x x ) 1 ln( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ln( 4. 11 2 1 2 2 ln 2 1 4 ) 1 1 ( lim | arctan 1 arctan b b dx x x x x x dx x x B. 积分性质 5. ) (x f 连续， 1 0 ) ( ) ( dt xt f x , 且 A x x f x ) ( lim 0 ， 求 ) (x 并讨论 ) ( x 在 0 x 的连续性。 解： x dy y f x xt y f x 0 ) ( ) ( , 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 2 / ) 0 ( lim 2 ) 0 ( ) ( ) ( )
19、 ( 0 2 0 A A x dy y f x xf x x x 6. x x x t d t x f dx d dt t x tf dx d 0 2 2 2 2 0 2 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 0 2 x xf y d y f dx d x C. 积分的应 用 7. 设 ) (x f 在0 ， 1 连续， 在 （0 ， 1 ） 上 0 ) ( x f ， 且 2 2 3 ) ( ) ( x a x f x xf ， 又 ) (x f 与 x=1,y=0 所围面积 S=2。求 ) (x f ，且 a=? 时 S 绕 x 轴旋转体 积最小。 解： 1 0
20、2 4 2 ) ( 2 3 ) ( 2 3 ) ) ( ( a c dx x f cx x a x f a x x f dx d 1 0 2 2 5 0 ) ( ) 1 4 ( 2 3 ) ( a dx y V x x a x f 8. 曲线 1 x y ， 过原点作曲线的切线， 求曲线、 切线与 x 轴所围图形 绕 x 轴旋转 的表面积。 解：切线 2 / x y 绕 x 轴旋转的表 面积为 5 2 2 0 yds 曲线 1 x y 绕 x 轴旋转的表 面积为 ) 1 5 5 ( 6 2 2 1 yds 总表面 积为 ) 1 5 11 ( 6 三、补充习题（作业） 1. C x x x x
21、dx x x cot 2 sin ln cot sin sin ln 22. dx x x x 13 6 5 23. dx x x arcsin第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何 一、理论要求 1. 向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 2. 多元函数微 分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3. 多元微分应 用 理解多元函数极值的求法，会用 Lagrange 乘数法 求极值 4. 空间解析几 何 掌握曲线的切线与法
22、平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 二、题型与解法 A. 求偏导、全微分 1. ) (x f 有二阶连续偏导， ) sin ( y e f z x 满足 z e z z x yy xx 2 ，求 ) (x f 解： u u e c e c u f f f 2 1 ) ( 0 2. y x z y x y xy f x z 2 ) ( ) ( 1 ，求 3. 决定 由 0 ) , , ( ), ( ) ( ), ( z y x F y x xf z x z z x y y ，求 dx dz / B. 空间几何 问题 4. 求 a z y x 上任意点的切平面与
23、三个坐标轴的截距之 和。 解： a d a z z y y x x 0 0 0 / / / 5. 曲面 21 3 2 2 2 2 z y x 在点 ) 2 , 2 , 1 ( 处的法线方程。 C. 极值问题 6. 设 ) , ( y x z z 是由 0 18 2 10 6 2 2 2 z yz y xy x 确定的函数， 求 ) , ( y x z z 的极值点与极值。 三、补充习题（作业） 1. y x z x y g y x xy f z 2 ), ( ) , ( 求 2. x z x y g y x xy f z 求 ), ( , ( 3. dz x y y x u u z 求 , a
24、rctan , ln , 2 2 第五讲 多元函数的积分 一、理论要求 1. 重积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球） D r r b a x y x y rdr r f d dy y x f dx dxdy y x f 2 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) , ( ) , ( ) , ( V r r z z z z z r z r b a x y x y y x z y x z dr r r f d d rdr z r f d dz dz z y x f dy dx dxdydz z y x f ) ( 2 ) ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 2
25、2 1 ) ( 2 ) ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 sin ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量） D y x dxdy z z A y x f z 2 2 1 ) , ( 2. 曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法 L t t b a x d r r r r f r r L dt y x t y t x f t y y t x x L dx y x y x f x y y L dl y x f 2 2
26、 2 2 2 ) sin , cos ( ) ( : ) ( ), ( ( ) ( ) ( : 1 ) ( , ( ) ( : ) , ( 熟悉 Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件 3. 曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量） 、关系 熟悉 Gauss 与 Stokes 公 式，会计算两类曲面积分 LS SV Dxy y x y x z z S S d F r d F Stokes dV E S d E Gauss dxdy z z y x z y x f dS z y x f 旋度） 通量，散度） ( ) ( : ( : 1 ) , ( , , ( ) , , ( 2
27、 2 ) , ( : 二、题型与解法 A. 重积分计算 1. , ) ( 2 2 dV y x I 为平面曲线 0 2 2 x z y 绕 z 轴旋转一周与 z=8 的围域。 解： 3 1024 ) ( 2 0 2 2 0 8 0 2 2 2 8 0 2 2 z z y x rdr r d dz dxdy y x dz I 2. D D dxdy y x a y x I , 4 2 2 2 2 2 为 ) 0 ( 2 2 a x a a y 与 x y 围域。 （ ) 2 1 16 ( 2 2 a I 3. 其他 , 0 0 , 2 1 , ) , ( 2 x y x y x y x f ，
28、求 D x y x D dxdy y x f 2 : , ) , ( 2 2(49/20) B. 曲线、曲 面积分 4. L x x dy ax y e dx y x b y e I ) cos ( ) ( sin ( ) 0 , 0 ( 2 ) 0 , 2 ( 2 O x ax y a A L 至 沿 从 解：令 A y O L 至 沿 从 0 1 3 2 2 0 1 1 2 ) 2 2 ( ) ( ) ( a b a dx bx dxdy a b I a D L L L 5. L y x ydx xdy I 2 2 4 , 为半径的圆周正向 为中心， 为以 ) 1 ( ) 0 , 1 (
29、R L 。 解：取包含(0,0) 的正向 sin cos 2 : 1 r y r x L ， 1 1 1 0 L L L L L L6. 对空间 x0 内任意光滑有向闭曲面 S ， 0 ) ( ) ( 2 S x zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf ，且 ) (x f 在 x0 有连续一 阶导数， 1 ) ( lim 0 x f x , 求 ) (x f 。 解： s x dV e x xf x xf x f dV F S d F ) ) ( ) ( ) ( ( 0 2 ) 1 ( 1 ) 1 1 ( 2 x x x e x e y e x y x y 第六讲 常微分方程
30、 一、理论要求 1. 一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法 2. 高阶方程 会求 ) ( )( , ( ), ( )( , ( ), ( ) ( y p y y y f y x p y y x f y x f y n 3. 二阶线性常 系数 ) sin cos ( ) ( 0 0 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 x c x c e y i e x c c y e c e c y q p q py y x x x x (齐次) x n x n x n x n e x x Q y and xe x Q y or e x Q y e x P x
31、 f 2 2 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (非齐次) ) , max( ( sin ) ( cos ) ( ( sin ) ( cos ) ( ( ) sin ) ( cos ) ( ( ) ( 2 2 j i n x x r x x q xe y i x x r x x q e y i x x p x x p e x f n n x n n x j i x ( 非齐 次) 二、题型与解法 A. 微分方程求解 1. 求 0 ) 2 ( ) 2 3 ( 2 2 2 dy xy x dx y xy x 通解。 （ ) 3 2 2 c x y x xy 2. 利用
32、代换 x u y cos 化简 x e x y x y x y cos 3 sin 2 cos 并求通解。 （ x e x c x x c y e u u x x cos 5 sin 2 cos 2 cos , 4 2 1 ） 3. 设 ) (x y y 是上凸连续曲线， ) , ( y x 处曲率为 2 1 1 y ，且过 ) 1 , 0 ( 处 切线方程为 y=x+1 ，求 ) (x y y 及其极值。 解： 2 ln 2 1 1 , 2 ln 2 1 1 | ) 4 cos( | ln 0 1 max 2 y x y y y 三、补充习题（作业） 1. 已知函数 ) (x y y 在任意
33、点处的增量 ) 1 ( , ) 0 ( ), ( 1 2 y y x o x x y y 求 。( 4 e ） 2. 求 x e y y 2 4 的通解。 （ x x x xe e c e c y 2 2 2 2 1 4 1 ） 3. 求 0 ) 1 ( ), 0 ( 0 ) ( 2 2 y x xdy dx y x y 的通解。 （ ) 1 ( 2 1 2 x y ） 4. 求 1 ) 0 ( ) 0 ( , 0 2 2 y y e y y x 的特解。 （ x e x y 2 ) 2 3 ( 4 1 4 1 第七讲 无穷级数 一、理论要求 1. 收敛性判别 级数敛散性质与必要条件 常数项级
34、数、几何级数、p 级数敛散 条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法 2. 幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法 幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分） Taylor 与 Maclaulin 展开 3.Fourier 级数 了解 Fourier 级数概念与 Dirichlet 收敛 定理 会求 , l l 的 Fourier 级数与 , 0 l 正余弦级数 第八讲 线性代数 一、理论要求 1. 行列式 会用按行（列）展开计算行列式 2. 矩阵 几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式
35、 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价 用初等变 换 求矩阵的 秩 与逆 理解并会计算矩阵的特征值与特征向量 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 3. 向量 理解 n 维向 量、向量的线性组合与线性表示 掌握线性 相 关、线性 无 关的判别 理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质 4. 线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及
36、通解 掌握用初 等 行变换求 解 线性方程 组 的方法 5. 二次型 二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理 掌握用正 交 变换、配 方 法化二次 型 为标准形 的 方法 了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法 第九讲 概率统计初步 一、理论要求 1. 随机事件与 概率 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古 典 型概率与 几 何型概率 掌握概率 的 加减、乘 、 全概率与 贝 叶斯公式 2. 随机变量与 分布 理解随机变量与分布的概念 理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度 掌握 0-1 、二 项、超几何、泊松、均
37、匀、正态、指数分布，会求分布函 数 3. 二维随机变 量 理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念 掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布 4. 数字特征 理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念 掌握常用 分 布函数的 数 字特征， 会 求随机变 量 的数学期 望 5. 大数定理 了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace 定理 与列维- 林德伯格定理 6. 数理统计概 念 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解 2 分布、t
38、分布、F 分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布 7. 参数估计 掌握矩估计与极大似然估计法 了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 8. 假设检验 掌握假设检验的基本步骤 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 第十讲 总结 1. 极限求解 变量替换 （ 1 作对数替换） ， 洛必达法则， 其他 （重要极限， 微积分性 质，级数，等价小量替换） 1. 2 ) ) 1 ( ( . ) 2 ( ) ( 1 lim a x n a n x n a x n a x n n (几何级 数) 2. 2 / / 1 0
39、) arccos 2 ( lim e x x x( 对数替 换) 3. 2 tan 1 ) 2 ( lim x x x 4. 2 1 ) 6 3 ( lim x x x x5. 2 1 ) ( ) ( ) ( lim a x a x na a x n n n a x 6. ) 0 ( cos 0 , 4 0 , 2 cos 1 ) ( 0 2 x x tdt x x x x x f x ，求 ) ( lim 0 x f x 2. 导数与微分 复合函数、隐函数、参数方程求导 1. ) ( ) ( ) ( b a x a x x b b a2. 0 ) sin( arctan y x x x y
40、，求 dy/dx 3. t e y t e x t t sin cos 决定函数 ) (x y y ，求 dy 4. 已知 1 ln 2 2 y y x ，验证 0 ) 1 2 ( 4 2 2 y y x xy 5. bx x v v u e y u sin , ln 3 1 , 3 2 , 求 x y 3. 一元函数积 分 1. 求函数 x dt t t t x I 0 2 1 1 3 ) ( 在区间 1 , 0 上的最小值。 （0 ） 2. 2 2 2 | 1 | 1 dx x x3. 1 0 2 / 3 2 ) 1 dx x （ 4. dx x x ) 1 ( 15. 1 2 t t dt6. dx x x 2 4 1 4 14. 多元函数微 分 1. ) , ( 2 xy e y x f z ，求 y x z z , 2. ) , ( y x z z 由 0 ) , ( x z y
