1、第四章 数值积分与数值微分,数值计算方法,张红梅自动化学院2010年3月,4.1 Newton-Cotes 公式,用插值多项式 P(x) 代替被积函数或者被微分函数f(x) , 从而导出计算 f(x) 的定积分和微分近似值的公式。,4.1 Newton-Cotes公式4.2 复合求积法4.3 Romberg算法4.4* Gauss求积法4.5 数值微分,利用等距节点的Lagrange插值多项式建立插值型求积公式,将求积区间等分为多个子区间,然后在每个子区间用低阶求积公式,利用复合梯形公式,并采用加速技术,用插值多项式代替被求微分的函数,本章要点,对于任意函数的定积分,是否都可以利用Newton
2、-Leibniz 公式求得？,如果已知 f(x) 的原函数 F(x), 则由 Newton-Leibniz 公式：,可求得式(1)的积分值.,(1),对于积分,解决方案：建立积分近似计算 ,Newton-Leibniz 公式失效的几种情况：,利用插值多项式构造数值求积公式,如何解决上述问题？,引言,4.1 Newton-Cotes 公式,1-1 插值型求积公式及Cotes系数,使用 Newton-Cotes 公式求解数值积分问题的步骤:,则 f(x) 可表示为 ：,(2),1.将积分区间 a, b n 等分, 令 , 得等距节点：,2.将(2)代入定积分公式 ：,(4),(3),利用公式(3)
3、计算 In 的关键:计算求积系数 Ak,3. 定义近似积分：,如何计算 Ak ？,4. Ak 的计算,注意: 节点等距,设,由,可知,且有,代入(5)式, 得,(6),将 Ak 代入(3)式,求积区间等分数,注：1.只要已知节点上的函数值, 以及积分区间等分数, 即可求得 积分的近似值； 2.n 取不同的值, 得不同的求积公式。,节点下标,得 Newton-Cotes 求积公式:,n = 18 的Cotes 系数,Newton-Cotes 公式中,n =1,2,4 时的求积公式是最常用、最重要的三个公式。,1. 梯形(trapezoid)公式,Cotes系数为:,求积公式为:,取,即,梯形求积
4、公式/两点公式,则,2. Simpson 公式,Cotes 系数为:,取,则,Simpson求积公式/三点公式/抛物线公式,Simpson求积公式为:,3. Cotes 公式,Cotes系数为:,取,则,Cotes 求积公式为:,Cotes 求积公式/五点公式,记为,例：用梯形公式和Simpson公式对幂函数 xm (m=1,2,3,4) 和指数函数 ex 在区间-2,0上积分，结果如下：,结论：simpson 公式对更多的函数求积分是准确的。,为了使一个求积公式(近似积分)具有较好的实际计算意义,就希望它对尽可能多的被积函数都准确成立.,但对 m+1 次的多项式却不能准确成立,即只要,则称该
5、求积公式具有 m 次的代数精度.,代数精度,第二积分中值定理,梯形公式具有 1 次代数精度,故,梯形公式的余项为:,由余项公式可知:,1-2 低阶 Newton-Cotes 公式的余项,Simpson 公式的余项为:,Simpson公式具有3 次代数精度,Cotes 公式的余项为:,Cotes 公式具有5 次代数精度,考察Cotes系数:,因此,用 Newton-Cotes 公式计算积分的舍入误差主要由函数值 的计算引起.,1-3 Newton-Cotes公式的稳定性,只与函数 f(x) 以及区间 a, b 无关,而只与区间等分数 n 有关, 其值可以精确计算.,为误差,假设 为精确值,而以 作为 的计算值,记:,为 In 的近似值(计算值),而理论值为,与 的误差为,即 当 时, Newton-Cotes 公式是稳定的.,若 有,此时, 公式的稳定性将无法保证.,在实际应用中一般不使用高阶 Newton-Cotes 公式, 而是采用低阶复合求积法 (下节内容),事实上, 当 时, 公式都是稳定的.,若 有正有负, 则有,参见教材P129表1-1,典型例题,思路:将 f(x) = 1, f(x) = x, f(x) = x2, 依次代入上式,比较左右两侧是否相等,若直到 f(x) = xk 时左右相等,但 f(x)=x(k+1)时左右不等,则近似公式的代数精度为k.,0 1 2,
