1、常用逻辑用语知识网络第 1 讲 命题及其关系,充分条件与必要条件 知 识 梳理 1 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句 称为命题 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题2 （1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_和条件_，那么这两个命题叫互逆命题. （2）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定 和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题. （3）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_ 和_条件的否定_，那么这两个命题叫互否命题. 3一般地，把条件 p的否定和结论 q的否定，分别记为 “ p”和“ q”，则命题的四种形式
2、可写为：原命题： “若 若 ”逆命题： “若 q若 ”否命题： “若 是 ”逆否命题： “若 是 p”特别提醒：可以发现：（1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示：常用逻辑用语简易逻辑 逻辑联结词 简单命题与复合命题命题的四种形式及其关系 充要条件全称量词与存在量词 （2）互为逆否命题的真假性是一致的, 互逆命题或互否命题真假性没有关系.4. 用反证法证明的一般步骤是：(1) 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2) 归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3) 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.特别提醒：1、适宜用反证法证明的数学命题：(1
3、) 结论本身以否定形式出现的命题.(2)关于唯一性、存在性的的命题.(3)结论以“至多” ， “至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题.2. 用反证法证明引出矛盾的四种常见形式: (1)与定义、公理、定理矛盾. (2)与已知条件矛盾.(3)与假设矛盾.(4)自相矛盾.5 如果“若 p则 q”为真, 记为 ,pq, 如果“若 p则 q”为假, 记为 pq.6 若 ,则 是 的充分 , 是 的必要_ 7判断方法： （1）定义法： p 是 q 的充分不必要条件 pq p 是 q 的必要不充分条件 pq p 是 q 的充要条件 q p 是 q 的既不充分也不必要条件原
4、命题若 p 则 q逆命题若 q 则 p否命题若非 p 则非q逆否命题若非 q 则非p互逆互 互互 为 为 互否 逆 逆 否否 否互逆pq（2 ）集合法： 设 P=p, Q=q, 若_ P Q, 则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件. 若_ P=Q _，则 p 是 q 的充要条件（q 也是 p 的充要条件）. 若_ P Q 且 Q P _， 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. （3 ） 逆否命题法： q 是 p 的充分条件不必要条件 p 是 q 的_充分条件不必要条件_ q 是 p 的必要条件不充分条件 p 是 q 的_ 充分条件不必要条件 q 是 p 的充分要条
5、件 p 是 q 的_充要条件_ q 是 p 的既不充分条件与不必要条件 p 是 q 的_既不充分条件与不必要条件_特别提醒：1、解决充要条件的逆向问题时, 往往从集合角度考虑, 会更文便快捷, 设 P=p, Q=q, 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 P Q 若 q 是 p 的必要不充分条件，则 P Q 若 P=Q ，则 p 是 q 的充要条件（q 也是 p 的充要条件）. 若 P Q 且 Q P， 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 2、 证明 p 是 q 的充要条件，既要证“ ”，又要证“ qp”，前者证明的是充分性；，后者证明的必要性. 重 难 点 突 破 1.重点：初步掌握四
6、种命题的关系，并能判断四种命题的真假；初步掌握利用反证法证明一些问题；正确理解三个概念，并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题 p是命题 q的什么条件.2.难点：利用反证法证题；充要条件的证明.3.重难点：.(1) 与命题相关的判析问题 1：下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？“等边三角形难道不是等腰三角形吗？” ；“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？” ；“一个数不是正数就是负数” ；“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！” ；“ xy为有理数，则 x、 y也都是有理数” ； “作 ABC 1”.解：根据命题的概念，判断
7、是否为命题，若是，再判断真假. 通过反问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题. 疑问句，没有垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断, 不是命题； 是假命题, 数 0 既不是正数也不是负数. 感叹句, 不是命题. 是假命题, 如 2,xy. 祈使句, 不是命题.命题有: ；真命题有 : 点拨: 判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假 . 一般地, 陈述句、反问句都是命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.问题 2：你能将把下列命题写成“若 p若 q”的形式，并判断其真假吗?(1) 实数的平方是非负数. (2) 等底等高的两个三角形是全等三角形.(3) 能被 6 整除的数
8、既能被 3 整除也能被 2 整除.(4) 弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的弧.解：(1) 若一个实数, 则它的平方是非负数. 这个命题是真命题 .(2) 若两个三角形等底等高, 则这个三角形是全等三角形 . 这个命题是假命题.(3) 若一个数能被 6 整除的数, 则它既能被 3 整除也能被 2 整除.(4) 若一条直线是弦的垂直平分线, 则它经过圆心并平分弦所对的弧 .点拨:将命题写成“若 p若 q”形式时, 一定要注意找出命题的条件和结论, 同时要注出意叙述条件和结论完整性.（2）能掌握判断充要条件的三种基本方法，并能根据具体问题选择使用.问题 3: 下列四个命题中真命题有哪几个?
9、“若 xy=1， 则 x、 y 互 为 倒 数 ”的 逆 命 题 “面 积 相 等 的 三 角 形 全 等 ”的 否 命题 “若 m1，则方程 x22x+ m=0 有实根”的逆否命题 “若 AB=B，则 AB”的逆否命题解析: 的逆命题为 “若 x、y 互为倒数, 则 xy=1”, 是真命题;的否命题为“面积不相等的三角形不全等”, 是真命题;“若 m1, 则 x2-2x+m=0 有实根”为真命题, 因此其逆否命题也为真命题;“若 AB=B, 则 AB”为假命题, 则其逆否命题也为假命题.真命题有点拨: 在判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假时，可以借助原命题与逆否命题同真或同假，逆命
10、题与否命题同真或同假.问题 4你能判断下列命题的真假吗 ?（1 ）已知 ,abcdR若 ,.acbdacd或 则（2 ）若 20mxm则 方 程 无实数根。解： 因为“已知 ,若 ,.b或 则 ”的逆否命题是：“已知 若 则 且 ”我们不难举反例说明其逆否命题不正确，从而原命题是假命题。(2) 因为“若 21, 0x则 方 程 无实数根”的逆否命题是：“若方程 20x有实数根， 1则 ”当方程 m有实数根时， 4,1m成立。故其逆否命题正确，从而原命题是真命题；点拨:利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题）充分利用等价转
11、化的思想方法。 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：命题及其相互关系题型 1. 判断命题及真假例 1 陈述句“在 2016 年，法国巴黎将举办第 31 届夏季奥林匹克运动会”是命题吗？解题思路：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”解析：是命题，在 2016 年，法国巴黎将举办第 31 届夏季奥林匹克运动会，是真是假，虽然目前还无法确定，但是随着时间推移，总能确定它的真假，所以我们把这类猜想仍算为命题.例 2 广东省深圳外国语学校 2009 届高三上学期第二次统测）下列四个命题中，真命题的个数为（ ）A（1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；（2）两条
12、直线可以确定一个平面；（3）若 lMlM则， ,；（4）空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。A.1 B.2 C.3 D.4解题思路：根据命题本身涉及的知识去判断真假，判断一个命题为真，一般要进行严格的逻辑推理，但判断一个命题为假，只要举出一个反例即可.解析：（1）是假命题，两平面也可能相交；（2）是假命题，若两直线是异面直线，不可能确定一个平面；（4）是假命题，两相交直线确定一个平面，第三条直线过该交点，可与该平面相交。【名师指引】判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假. 【新题导练】1下列命题中是假命题的是（ ）（A）矩形的对角线相等 （B）若 a是奇数，则 2是奇数（C
13、） 1)(2（D）若 3x，则 0)3(1x答案: C2 （广东省华南师范附属中学 2009 届高三综合测试）以下命题： 二直线平行的充要条件是它们的斜率相等； 过圆上的点 0(,)xy与圆 22yr相切的直线方程是 20xyr； 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆； 抛物线上任意一点 M到焦点的距离都等于点 M到其准线的距离。其中正确命题的标号是 。答案；题型 2。写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题例 3 写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题.（1 ）若 20xy，则 ,xy全为 0 .（2 ）若 ab是偶数，则 ab都是偶数.（3 ）若 7x且，则 (3)70x解题思路：
14、“都”的否定词是“不都” ，而不是“都不” ，同理“全”的否定词是“不全” ，而不是“全不”. 另外，原命题中的 “或” ，在否命题中要改为“且”. 要认真体会它们的区别.解析: 因为原命题是“若 p若 q”的形式, 根据其他三种命题的构造方法, 分别写出逆命题、否命题、逆否命题.解答：（1）逆命题：若 ,xy全为 0，则 20xy.否命题：若 2x，则 不全为 0 .逆否命题：若 ,y不全为 0，则 2xy.（2 ）逆命题：若 ab都是偶数，则 ab是偶数.否命题：若 不是偶数，则 ,不都是偶数.逆否命题：若 ,不都是偶数，则 不是偶数.（3 ）逆命题：若 (3)70x，则 37x且.否命题
15、：若 37x且，则 (3)70x逆否命题：若 ()0，则 x且.【名师指引】认清命题的条件 p 和结论 q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假【新题导练】3. （广东省湛江市实验中学 2009 届高三第四次月考（数学理） ）命题“若 m 0，则 12”的逆命题是 答案： 逆命题是“若 0,m则 ”4 （ 2009 年广东省广州市高三年级调研测试）命题“ ,1ab若 则 ”的否命题是 （ ） A. ,1ab若 则 B. ,若 则 C.若 则 D. 1ab若 则答案： C题型 3。四种命题间的关系与反证法例 4若 a、b 、c R ，写出命题 “若 ac0 ，则 ax2+bx+c
16、=0 有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假解题思路：认清命题的条件 p 和结论 q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假解析：逆命题：若 ax2+bx+c=0（a、b、cR）有两个不相等的实数根，则 ac0；是假命题，如当 a=1，b=3，c =2 时，方程 x23x+2=0 有两个不等实根 x1=1，x 2=2，但ac=20否命题：若 ac0，则方程 ax2+bx+c=0（a 、b、c R）没有两个不相等的实数根；是假命题. 这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题逆否命题：若 ax2+bx+c=0（a、b、cR）没有两个不相等的实
17、数根，则 ac0；是真命题. 因为原命题是真命题，它与原命题等价例 5 用反证法证明：设三个正实数 a、b、c 满足条件 cba1=2 求证：a、 b、c 中至少有两上不小于 1.解题思路：用反证法证题时作出正确的反设是前提， “a, b, c 中至多有一个数不小于 1”的反设为“a, b, c 中至多有一个数不小于 1”，有两种情况 “a、b、c 三数均小于 1”和“a、b 、c 中有两数小于 1”；而推出矛盾是关键，也是难点.解析：证明：假设 a, b, c 中至多有一个数不小于 1，这包含下面两种情况：（1 ） a、b、c 三数均小于 1，即 03 与已知条件矛盾；（2 ） a、b、c
18、中有两数小于 1，设 02+ 2，也与已知条件矛盾；假设不成立，a、b、c 中至少有两个不小于 1.【名师指引】利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题） ，充分利用等价转化的思想方法。正确的反设是（即否定结论）是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式” ，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况。【新题导练】5 （ 广东省汕头市澄海区 2008 年统测）命题：“设 a、 b、 cR，若 2abc则 ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）A0 B1 C2 D3答案：C6 （广东省
19、普宁市城东中学 2009 届高三上学期第三次月考）命题：“若 2x，则 1x”的逆否命题是（ ）A 若 1， 或 ，则 2 B.若 1x，则 2C.若 x， 或 ，则 x D. .若 2，则 1x， 或答案：A7若 x、y、z 均为实数，且 a=x22y +，b=y 22z + 3，c=z 22x+ 6，则 a、b、c 中是否至少有一个大于零？请说明理由.分析：“a 、b 、 c 中是否至少有一个大于零”包括多种情况，正面解决很复杂，可考虑反面入手，利用反证法证明，但如何导出矛盾颇有技巧 .解：假设 a、b、c 都不大于 0，即 a0，b0，c0，则 a+b+c0.而 a+b+c=x22y+
20、+y22z+ 3+z22x + 6=（x 1） 2+（y1） 2+（z1） 2+3，30，且无论 x、y 、z 为何实数，（x1） 2+（y 1） 2+（z1） 20，a+b+c0.这与 a+b+c0 矛盾.因此，a、b、c 中至少有一个大于 0.考点二: 充要条件及其判定题型 1:利用定义作判断例 6 （2008 学年中山市一中高三年级统测试题）在 ABC中， “siniB”是“ A”的 A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解题思路：判定 p 是 q 的充要条件，既要看 “ pq”是否为真，又要看“ qp”否为真, 只有都为真时, p 才是 q 的充
21、要条件.解析：A “siniB” “ A”但反之不成立，故选 A 【名师指引】定义判断的重要依据。【新题导练】8 （2009 届省实高三次月考数学试题）函数 1)(3xaf有极值的充要条件是 （ ）A 0 B 0 C 0a D 0a答案：D9 “ 2” 是“函数 ()fx在区间 2,)上为增函数”的 （ ） A充分条件不必要 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：A题型 2: 从集合思想或利用逆否命题判定例 7 （广东省四会中学 2009 届高三上学期第一次质量检测）“ 12x成立”是“ (3)0x成立”的( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分
22、也不必要条件解题思路：当直接判断 p 是 q 什么条件较困难时, 可借助于集合或利用逆否命题来考虑 , 会更快捷和准确.解析： 12x的解集是 |13Ax， ()0x的解集是 |03BxA B 选 A例 8（广东省普宁市城东中学 2009 届高三上学期第三次月考）若 Rba,，则 31b成立的一个充分不必要的条件是（ ）A. 0B. a C. 0 D. 0)(ba解题思路： 以选项为条件，要能得到 31ab，但反之不成立解析：C 可以取反例，易得只有 C 答案【名师指引】解答充分与必要条件问题时，要根据命题的特点，在三种方法(定义法、集合法和逆否命题法) 中选择一种进行判断，而且还依赖于问题本
23、身所涉及到的具体数学内容的掌握与理解程度.【新题导练】10 （ 广东省黄岐高级中学 2009 届高三上学期月月考）设集合 |ln,0Myx， |ln,0Nxy，那么“ Ma”是“ Na”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：B11 （ 广东省深圳市 2009 届高三九校联考）设 、 是方程 20xmn的两个实根。那么“ 2m且 1n”是“两根 、 均大于 1”的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：B 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 下列语句中命题的个数是( ) 地球是太阳系的一颗行星； 0
24、N； 这是一颗大树； xa； 12 老年人组成一个集合；A1 B2 C 3 D4解：是命题，故选 D2. 设原命题：若 ab，则 ,ab 中至少有一个不小于 1.则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）AA原命题真，逆命题假 B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题 D原命题与逆命题均为假命题答案： A. 提示： a=1.2， b=0.3，则 ab=1.52，逆命题为假.3 （广东省四会中学 2009 届高三质量检测）ABC 中 “ CBsin2cos”是“ABC 为钝角三角形 ”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要答案：B4 （广东省深圳外国语学校 2009 届高三统测）若 ,ab是常数, 则“ 0a且 240ba”是“对任意 xR,有 210abx”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案： “对任意 xR,有 21x”的等价命题是： a=0 时，必有 b=0；或 a时，
