1、第 55 题 不等式的解法I题源探究 黄金母题【例 1】求不等式 的解集2410x【解析】注意到 ，2x所以原不等式的解集为 精彩解读【试题来源】人教版 A 版必 5P78 例 1【母题评析】本题考查了一元二次不等式的解法作为基础题，不等式的解法是历年来高考的一个常考点【思路方法】可以借助二次函数的图像解一元二次不等式II考场精彩真题回放【例 1】 【2016 高考上海文 1】设 x ，则不等式R的解集为_3x【答案】 (2,4)【解析】由题意得： 13x，即 24x，故解集为(2,4)【例 2】 【2015 高考江苏 7】不等式 的解集为24x_【答案】 (1,)【解析】由题意得： ，解集为
2、212xx(1,2).【例 3】 【2017 全国 1 文 23】已知函数24,fxag（1 ）当 时，求不等式 的解集；fx【命题意图】这类题主要考查一元二次不等式、简单的分式不等式以及绝对值不等式的解法【考试方向】这类试题若以选择题或填空题的形式出现，属于容易题；也可以是解答题，与不等式选讲结合考查，难度中等【难点中心】1解答此类问题，关键在于熟记常见不等式的解法2解绝对值不等式关键是去掉绝对值符号，绝对值不等式的解法有三种：（2 ）若不等式 的解集包含 ，求 的取值fxg1,a范围【解析】试题分析：（1）利用零点分段法把含绝对值不等式问题转化为不含绝对值符号的不等式组问题来求解将代入，不
3、等式 等价于a()fxg，对 按 ，2|1|40xx1， 讨论得解；（2）当 时，x,若 的解集包含 ，等价于当()g()fg时 则 在 的最小值必为1,xx()fx1,与 之一，所以 且 ，得()f(f 2()f所以 的取值范围为 a,试题解析：（1）当 时，不等式1a()fxg2|40xx当 时，式化为 ，无解；23当 时，式化为 ，从而 ；1xx1x当 时，式化为 ，从240而 71x所以 的解集为 ()fg172x（2 ）当 时， 1,x()所以 的解集包含 ，等价于当()fg1,时 又 在 的最小值必为,x2fx()fx与 之一，所以 且 ，得(1)f()2f法一：利用绝对值不等式的
4、几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想本题也可利用平方法去绝对值符号所以 的取值范围为 1a1,【例 4】 【2017 全国 3 文 23】已知函数 2fxx（1 ）求不等式 的解集；1f（2 ）若不等式 的解集非空，求 的取值2xm范围【答案】 （1） ；（ 2） x5-， 4【解析】试题分析：（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；（2）利用题意结合绝对值不等式的性质有，则 m 的取值范围是 xx2545-， 4试题解析：（1） 3 12,xf,当 时， 无解；x1fx当 时，由
5、 得， ，解得 ；1221x2x当 时，由 解得 x1fx所以 的解集为 f（2 ）由 得 ，而2xm2xx2235114且当 时， 故 的取值范围为3x254x54，III理论基础解题原理考点一 一元二次不等式我们把只含有一个未知数并且未知数的最高次项的次数是 2 的不等式叫做一元二次不等式当 时，0a（1 ）若方程 的两实根分别为 ，则不等式20xbc122,x的解集为 或 ，不等式 的解集为2xc1x0axbc；12（2）若方程 的两实根分别为 ，则不等式0axbc12xa的解集为 且 ，不等式 的解集为 ；xcxRb20xbc（3 ）若方程 无实数根，则不等式 的解集为 ，不等式20a
6、xbc2aR的解集为 2xc考点二 分式不等式（1 ） ；（2 ） ；00ffxggx00fxfxgg（3 ） （4 ）,.ffx,.ffxx考点三 简单的含绝对值不等式（1 ） ；20xaaa（2 ） 或 ；xx（3 ） ；xmmma （4 ） 或 或 0axaxxxIV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，一般难度中等或偏易，考查一元二次不等式、简单的分式不等式、简单的绝对值不等式的解法【技能方法】（1 ）利用一元二次方程和二次函数的图像是解一元二次不等式的根；（2 ）分式不等式的解法 化为整式不等式求解；（3 ）解含绝对值的不等式，去绝对值符号有
7、下列三种常用方法：定义法（又称零点分段法）： ,0.x公式法： ； 或 0xaaaxa平方法： ； 2x20解形如 的不等式，只需将“ ”看成一个整体，即可,xbccxb化成 型不等式求解,0【易错指导】（1 ）对一些表现形式上是一元二次不等式的问题，不要忽视其中的二次项的系数有可能为零的情况，这时可能是一元一次不等式，可能一次项系数也是零，要充分考虑这些可能性（2 ）分式不等式化为整式不等式时，应注意原不等式中的分母不为零这一条件（3 ）含绝对值的不等式去绝对值符号时易犯未判断绝对值里面式子的正负而直接去绝对值符号的错误在解含绝对值的不等式的变形过程中，应当保证是“同解”变形V举一反三触类旁
8、通考向 1 一元二次不等式的解法【例 1】 【2018 湖北重点高中联考协作体高一下学期期中考试】已知不等式的解集是 ，则不等式 的解集是（ ）20axb1,3220xbaA B C D,3,1,3,2【答案】D【名师点睛】 （1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集（2 ）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类【例 2】 【2018 安徽淮南高三一
9、模 】若 ，则 的取值范2|10, AxaxRa围是_【答案】 0,4【解析】当 时，显然成立；当 时， ，得 a0a240a4a综上， 的取值范围是 ,【例 3】 【2018 高三第三次联考全国名校大联考 】不等式 的解集223(0)x为_【答案】 3xa【解析】 ，因为 ， ，不等式的22030xaa3a解集为 ，故答案为 |x|【名师点睛】 （1）若方程 的两实根分别为 ，则不等式2axbc122,x的解集为 或 ，不等式 的解集为20axbc12x0abc；12（2 ）若方程 的两实根分别为 ，则不等式xc12xa的解集为 且 ，不等式 的解集为 ；0axbcxRb20xbc（3 ）若
10、方程 无实数根，则不等式 的解集为 ，不等式20axbc20axbcR的解集为 2xc【跟踪练习】1 【 2018 四川省绵阳高三三诊 】已知集合 ， ，集合2,0A2|30 Bx，则集合 的子集个数是（ ）PABPA1 B2 C3 D4【答案】B【名师点睛】本题为集合与集合的交集运算，它们往往和一元二次不等式结合在一起考查，注意如果一个有限集中元素的个数为 ，那么其子集的个数为 n2n2 【 2018 四川省雅安市高三下学期三诊 】已知集合 ，|1 Ax，则 （ ）2|0 BxABA B C D|2x|0x|10 x【答案】D【解析】由题得 =x|-2x0，所以 x|-2|0 |2 AB2x
11、0= ，故选 D|1 x3 【 2018 湖南张家界市高三三模 】已知集合 ，|1Mx，若 ，则 的值为（ ）2|0Nxm|0NxmA1 B-1 C D21【答案】A【解析】由 ， ，且 ，|Mx2|0x|01MNx得 ，又由 ，则必有 ，且 ，所以 故|01N20mm选 A考向 2 简单分式不等式的解法【例 4】 【2018 河南省平顶山高二第一学期期末调研 】解不等式 283x【答案】 7,3,12,2【例 5】 【2018 衡水金卷高三信息卷 （四） 】设 ： ， ：p3402xq，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围为（ 2210xmxqm）A B C D,3,2,0,12,1
12、0,【答案】D【解析】设 ： 的解集为 A，所以 A=x|-2x0 或 0x2，设 ：p3402x q的解集为 B，所以 B=x|mxm+1，由题知 p 是 q 的必要不充21xm分条件，即得 B是 A 的真子集，所以有010 21.12m或综合得 m ，故选 D,【例 6】 【2018 湖南省（长郡中学、衡阳八中） 、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知不等式 的解集为 ，则二项式 展开式的常数项是201xa2,1621ax（ ）A B C D155【答案】B【名师点睛】先将分式不等式右边化零，化为以下四种类型之一再等价转化为整式不等式求解：（1 ） ；（2 ） ；00fxfxgg
13、00fxfxgg（3 ） ；（4 ）,ffxx,.ffx【跟踪练习】1 【 2018 江西新余市第四中学高二下学期第一次月考 】若不等式 成立的充分不10x必要条件是 ，则 的取值范围是 xa【答案】 ,【解析】由 ，根据分手不等式的解法解得 或100xx1x，若不等式 成立的充分不必要条件是 ，则 ，故答案为1 xa,2 【 2018 江西新余市第四中学高二下学期开学考试 】设关于 的不等式 的解集为 +0，则关 于 的不等式 的解集为_|0 |3 21, (2,1(3,+) (2,1(3,+)3 【 2018 江西南昌第二中学高一下学期第一次月考 】求下列不等式的解集：（1 ） ；251x
14、（2 ） 320x【答案】(1) ；(2) 1,2,31,2（1 ）原不等式等价于 0 0 23x0, 1.x由数轴穿根法可知原不等式解集为 1,2,3（2 ）不等式即 ，注意到奇穿偶不穿，利用数轴穿根法可知不320xx等式解集为 ,1,1,考向 3 简单的绝对值不等式的解法【例 7】解下列不等式：（1 ） ；（ 2） 210x312xx【解】 （1）解法一：原不等式可化为 ，两边平方得，解得 ，所以原不等式的解集为 2244xx4x1,4解法二：原不等式 或 或1,20x1,20x，1,20x解得 ，所以原不等式的解集为 41,4（2）当 时，原不等式化为 ，解得 ，3x321xx0,3x当
15、 时，原不等式化为 ，解得12122,355xx当 时，原不等式化为 ，解得 1312xx2,x综上可知，原不等式的解集为 ,5【名师点睛】1去绝对值符号的常用方法（1）基本性质法： 或 ；xaxa,xa0（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号；（3）零点分段法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组) 求解2形如 （或 ）绝对值不等式的三种解法xabc,03六类绝对值不等式的解法（1） (aR )型：fxa,f或 （等价命题x,ffxafxa0法） ；（2） 型： ；fxg22fgfg（3） 型：或 ；f fx,fx
16、fxfxg（4） 型： 或afxba0bab0；b（5） 型： 无解； ；fffxffxffx0（6） 型：xgh；fxghx,fxgh或 f ffgxh【例 8】 【2018 陕西省高三教学质量检测（二） 】已知不等式 23a（1 ）当 ，解该不等式；0a（2 ） 取何值时，该不等式成立【答案】 （1） ；（2 ） |1x,2a试题解析：(1)当 时，原不等式为 ， ，0a230x23x，2249xx， 该不等式的解集为 011|2x(2)令 ，依题意，得 23FxxmaxF当且仅当 时，上述不22 0x等式等号同时成立 当 时，该不等式成立max,【例 9】 【2018 四川资阳高三 4
17、月模拟考试（三诊） 】已知函数 2fx（1 ） 解不等式 ；fx（2 ）若正实数 a，b 满足 ，试比较 与 的大小，并说明理由524ba3fx【答案】(1) x| x3 或 x1 ；(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2）先根据绝对值三角不等式得 最大值，再根据基本不等式可得 最小fx24ba值，最后根据两者关系确定大小关系试题解析：（1）由题知 ，24x当 时，2x 24，解得 x3；当 时，24，矛盾，无解；0当 时，2x 24，x1；所以该不等式的解集为x| x3 或 x1 （2 ）因为 ，当且仅当 时，取“=”，220
18、x所以 ，即 fx3fx又 当且仅当2554bab2285414bb时取等号5，所以 234bafx【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向【跟踪练习】1解不等式： 23x2已知函数 25fxx（1）证明： ；3（2）求不等式 的解集281f【解】 （1）证明： 3,22575,.xfxx当 时， 25x37,f（2）由（1）可知，当 时， 即为 ，解集为空集；2815f
19、x2810x当 时， 即为 ，解集为 ；5x 253,当 时， 即为 ，解集为 2f 2,6综上，不等式 的解集为 815x3,63 【 2018 贵州凯里市第一中学高三下学期 黄金卷第三套】设函数， ，其中 3fxaxgx0a（）求不等式 的解集；5（）若对任意 ，都存在 ，使得 ，求实数 的取值范围1xR2x12fxga【答案】(1) ；(2) 3|8,试题解析：（I ）不等式 ，则5gx13|5x1|53x，解得： 或11 53x或 或 2x，即 ，所以不等式 的解集为 25gx3|x（II）设 的值域为 ， 的值域为 对任意 ，都存在 ，使得fxNM1R2x等价于： ，而 12fg3,
20、gx当 时， 不满足题意；9a3=4|0fxa当 时， ，由 得 ，得 ，09a3|3|afxx NM|3|a0a不满足题意；当 时， ，由 得 ，得 ，|fa |18满足题意；综上所述，实数 的取值范围是： 18,考向 4 简单的指数不等式、对数不等式的解法【例 10】 【2018 北京海淀模拟】函数 的定义域为_()2xf【答案】 1,)【解析】要使原式有意义需满足 ，即 ，故函数 的定义域为20x1x()fx,)【方法点拨】通常根据表达式中含有的分式、对数式、根式建立不等式组后，再利用指数函数的单调性解不等式即可【例 11】求满足 的 的取值集合是_2814xx【答案】(-2，4) 【解
21、析】解：因为22882144824xxxxx【例 12】 【2018 河北阜城中学高一上学期第五次月考】已知指数函数 ，1xya时，有 0,x1y（1 ）求 的取值范围；a（2 ） 解关于 的不等式 x2logl6aaxx试题解析：（1）指数函数 在 时，有 ， 又 ，1xya0,1ya， 0解得 ，01a实数 的取值范围为 0,（2 ）由（1 ）得 ， ， ，解1a2log1l6aaxx216 0x得 ，5x不等式的解集为 |25x【名师点睛】1利用对数函数的单调性解得问题的注意点：（1 ）确定函数的定义域，所有问题必须在定义域内讨论；（2 ）分析底数与 1 的大小关系，底数大于 1 与底数
22、小于 1 的两个函数的性质截然不同（3 ）根据函数单调性将问题化为方程（或不等式）的问题解决2简单的指数不等式（对数不等式）可以利用指数函数（对数函数）的单调性求解（1 ）当 时，a；,logl 0fxgx aafxfgxfgx（2 ）当 时，01,ll0fxgx aaaff f 【跟踪练习】1已知 是定义域为 的偶函数，且 时， ，则不等式 的)(xfRxxf)21(21)(xf解集为（ ）A B C D)4,()21,()2,(),(【答案】D2不等式 的解集为 22150.3.xx【答案】 1,3【解析】由于 ， ，整理得 ，解得.0xx521201432x，因此解集为 13x,3【名师
23、点睛】简单的指数不等式（对数不等式）可以利用指数函数（对数函数）的单调性求解（1 ） 当 时，a；,logl 0fxgx aafxfgxfgx（2 ） 当 时，01,ll0fxgx aaaff f 3若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为()R1,2(lg)x_【答案】 10xx|或4 函数 （ ）满足 且 在 上的导数 满足 ，则)(xfR2)1(f)(xfR)(xf03)(f不等式 的解集为 log3lx【答案】 ),0(5 【 2018 浙江宁波模拟】若指数函数 的图象过点 ，则 _；不()fx(2,4)(3)f等式 的解集为_5()2fx【答案】 ，18(,)【解析】设指数函数为 且 ， ，(0xfa1)214a，则 ，即31()28f55)(212xxf x不等式的解集是 (,【名师点睛】因为指数函数的解析式 中只含有一个参数 ，因此只须(0,1)xyaa一个条件发即可求解，如知指数函数的图象经过一个点
