1、一方法综述 对于创新型问题，包括：（）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决） 。（）创新性问题以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.二解题策略类型一 实际应用问题【例 1】 【北京市石景山区
2、2018 届第一学期期末】小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步，他从点 出发，A沿箭头方向经过点 跑到点 ，共用时 ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小BC30s明跑步的时间为 ，他与教练间的距离为 ，表示 与 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这tsymyt个固定位置可能是图 1 中的（ ）A 点 B 点 C 点 D 点MNPQ【答案】D【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型【举一反三】 【辽宁省沈阳市郊联体 2017-2018 上学期期末】2016 年 1
3、月 14 日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 变轨进入月球球 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，PF之后卫星在 点第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道 II 绕月飞行，若用 和 分别表示椭圆PF12c2轨道 I 和 II 的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴长，给出下列式子： 12a2 12ac12c12ca12ca其中正确的式子的序号是（ ）A B C D 【答案】B类型二 创新性问题【例 2】设 D 是函数 y f(x)定义域内的一个区间，
4、若存在 x0 D，使得 f(x0) x0，则称 x0是 f(x)的一个“次不动点” ，也称 f(x)在区间 D 上存在“次不动点” 若函数 f(x) ax23 x a 在区间1,4上存在52“次不动点” ，则实数 a 的取值范围是( )A(，0 B.(0，12)C. D.( ，12 12， )【答案】C【解析】由题意，方程 ax23 x a x 在区间1,4上有解，显然 x1，所以方程52ax23 x a x 在区间(1,4上有解，即求函数 a 在区间(1,4上的值域，52 2x 52x2 1令 t4 x5，则 t(1,11， a ，当 t(1,0时， a0；8tt2 10t 9当 t(0,1
5、1时，0 a ，当且仅当 t3 时取等号8t 9t 1082t9t 10 12综上，实数 a 的取值范围是 .( ，12【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略【例 3】定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公
6、差已知向量列 an是以 a1(1,3)为首项，公差为 d(1,0)的等差向量列，若向量 an与非零向量 bn( xn， xn1 )(nN *)垂直，则 _.x10x1【答案】4 480243【解析】易知 an(1,3)( n1,0)( n,3)，因为向量 an与非零向量 bn( xn， xn1 )(nN *)垂直，所以 ，所以xn 1xn n3 x10x1 x2x1 x3x2 x4x3 x5x4 x6x5 x7x6 x8x7 x9x8 x10x9 ( 13) ( 23) ( 33) ( 43) ( 53) ( 63) ( 73) ( 83) .(93) 4 480243【指点迷津】 “新定义”
7、主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题” ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。【举一反三】 【2017青岛一模】如果对定义在 R 上的函数 f(x)，对任意两个不相等的实数 x1， x2，都有x1f(x1) x2f(x2) x1f(x2) x2f(x1)，则称函数 f(x)为“ H 函数” 给出下列函数： y x2； ye x1； y2 xsin x
8、； f(x)Error!以上函数是“ H 函数”的所有序号为_【答案】显然，函数 f(x)为偶函数，而偶函数在 y 轴两侧的单调性相反，故不合题意综上，为“ H 函数” 3.如图，在平面斜坐标系 xOy 中， xOy ，平面上任意一点 P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若 xe1 ye2(其中 e1， e2分别是 x 轴， y 轴正方向上的单位向量)，则点 P 的斜坐标为( x， y)，向量OP 的斜坐标为 ( x， y)OP 给出以下结论：若 60， P(2，1)，则| | ；OP 3若 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 ( x1 x2， y1 y2)；OP OQ 若 ( x1，
9、 y1)， ( x2， y2)，则 x1x2 y1y2；OP OQ OP OQ 若 60，以 O 为圆心、1 为半径的圆的斜坐标方程为 x2 y2 xy10.其中所有正确结论的序号是_【答案】三强化训练1 【北京市朝阳区 2018 届第一学期期末】伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：的一种“图形证明” 222acbdcd证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为 ，右图中，设 ，右图阴影区域的面积可表示为acbdBAD_（用含 ， 的式子表示）
10、；,b（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式 当且仅当 满足222acbdcd,abcd条件_时，等号成立【答案】 22sinabcdc2若直角坐标平面内不同两点 P， Q 满足条件： P， Q 都在函数 y f(x)的图象上； P， Q 关于原点对称，则称( P， Q)是函数 y f(x)的一个“伙伴点组”(点组( P， Q)与( Q， P)可看成同一个“伙伴点组”)已知函数 f(x) 有两个“伙伴点组” ，则实数 k 的取值范围是21,0 kx_【答案】 2,【解析】设点 是函数 的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点0mnyfx必在该函数图象上，故 ，消去 ，整理得 若函数
11、,21 nmkn210mk有两个“伙伴点组” ，则该方程有两个不等的正实数根，得 ，解得fx24 10k，即实数 的取值范围是 ，故答案为 2kk2,2,3 【湖北省襄阳市 2018 届 1 月调研统测】若函数 对定义域 D 内的每一个 x1，都存在唯一的yfxx2D，使得 成立，则称 f (x)为“自倒函数” 给出下列命题：12fx 是自倒函数；sinf ，自倒函数 f (x)可以是奇函数；自倒函数 f (x)的值域可以是 R；若 都是自倒函数，且定义域相同，则 也是自倒函数yxg， yfxg则以上命题正确的是_(写出所有正确命题的序号)【答案】4已知函数 f(x) alog2|x|1( a
12、0)，定义函数 给出下列命题：,0 fxF F(x)| f(x)|；函数 F(x)是奇函数；当 a0 时，若 x1x20，则 F(x1) F(x2)0 成立；当 a0)及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 运用类比推理，若对 nN *， 12ad恒成立，则实数 A_1122Annn 【答案】 ln2【解析】令 ，1211,2nAAnn依据类比推理可得 A1 dxln( n1)ln n， A2 dxln( n2)ln( n1)，n1n， An dxln(2 n)ln(2 n1)，所以 A A1 A2 Anln( n1)ln nln( n2)ln( n1)21ln(2
13、 n)ln(2 n1)ln(2 n)ln nln 210在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图 325 所示现给出下列说法：图 325前 5min 温度增加的速度越来越快；前 5min 温度增加的速度越来越慢；5min 以后温度保持匀速增加；5min 以后温度保持不变其中正确的说法是_(填序号)【答案】【解析】由图像可知前 5min 中温度增加，但是增加速度越来越慢，所以对，错。5min 以后温度图像是一条水平线，所以温度保持不变，对，错，选。11 【湖北省枣阳市高级中学 2018 届上学期 10 月份月考】如图，多边形 由一个矩形ABCEFGD和一个去
14、掉一个角的正方形组成， 现有距离为 且与 边平行的ABCD4,3ADEF2AB两条直线 截取该多边形所得图形（阴影部分）的面积为 ，其中表示 与 间的距离，当12,l St1l时， =_34tSt【答案】 24t12 【湖南省株洲市 2018 届质量统测】如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列， 表示位于第 行第 列的数则 112 在这“等差数阵”中出现的次数为_ijaij【答案】713 【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2017-2018 上学期期末考试】一个容器装有细沙 ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出， 后剩余的细沙量为3acm
15、mint，经过 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ） ，容器中的沙子只有开3btyae8in始时的八分之一A B C D 816243【答案】B【解析】依题意有 = ,即 ，两边取对数得 8bae28be12ln281l8lnl2tbbyae当容器中只有开始时的八分之一，则有 两边取对数得lnln288t tae，所以再经过的时间为 24-8=16 故选 Bln213ln248ttmi14 【河北衡水金卷 2018 届高考模拟一】若函数 ， ，对于给定的非零实数 ，总存在非yfxMa零常数 ，使得定义域 内的任意实数 ，都有 恒成立，此时 为 的类周期，TMxafxfTTfx函数 是 上
16、的 级类周期函数若函数 是定义在区间 内的 2 级类周期函数，yfxay0,且 ，当 时， 函数 若2T0,21,01, xff21lngxxm， ，使 成立，则实数 的取值范围是（ ）16,8x2,x21gxmA B C D 5,13,3,13,2【答案】B15 【江西省赣州市寻乌中学 2018 届上学期期末考试】若直线 与曲线 满足下列两个条件：lC（i)直线 在点 处与曲线 相切；（ii)曲线 在点 附近位于直线 的两侧则称直线 在点l0,PxyCPll处“切过”曲线 下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线 在点 处“切过”曲线 ；:0ly,P3:yx直线 在点 处“切过”曲线 ；1x,021C直线 在点 处“切过”曲线 ；:lyx0,P:sinCyx直线 在点 处“切过”曲线 ；ta直线 在点 处“切过”曲线 :1lyx, :lyx【答案】【解析】对于，由于 ，得 ，则 ，直线 是过点 曲线 的切线，又3yx2x0|x0y,0PC当 时， ，当 时， ，满足曲线 在 附近位于直线 两侧， 命题0x0yC,Py正确；对于，由 ，得 ，则 ，而直线 斜率不存在，在点21yx1x1|xy:1lx处不与曲线 相切， 命题错误；对于，由 ，得 ，则 ，直线1,PCsincosy0|1xy是过点yx
