1、2018-2019 学年度上学期期末考试高二数学（理科）试题本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。请在答题卷上作答。第 I 卷 选择题 （共 60 分）一、选择题（本大题共 12 题，每题 5 分，满分 60 分，每小题只有一个正确答案） 1.命题“若 x， y 都是偶数，则 x y 也是偶数”的否命题是( )A若 x， y 都是偶数，则 x y 不是偶数B若 x， y 都不是偶数，则 x y 不是偶数C若 x， y 都不是偶数，则 x y 是偶数D若 x， y 不都是偶数，则 x y 不是偶数2.设 x， y 是两个实数，命题：“ x， y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要
2、条件是( )A x y2 B x y2 C x2 y22 D xy13.已知： p：| x1|2， q： xZ，若 p q， q 同时为假命题，则满足条件的 x 的集合为( )A x|x1 或 x3， xZB x|1 x3， xZC x|x1 或 x3， xZD x|1 x3， xZ4.已知椭圆 = 1( ab0)上有一点 A，它关于原点的对称点为 B，点 F 为椭圆的右焦点，且满足 AF BF，设 ABF ，且 ， ，则该椭圆的离心率 e 的取值范围为( )A ， B ， C ， D ， 5.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆
3、的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆 C： 1( ab0)与双曲线C： 1( m0， n0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过 2k(kN *)次反射后回到左焦点所经过的路径长为( )A k(a m) B2 k(a m) C k(a m) D2 k(a m)6.已知 P 为抛物线 y24 x 上一动点，记点 P 到 y 轴的距离为 d，对于定点 A(4,5)，则|PA| d 的最小值为( )A4 B C 1 D 17.已知正方体 ABCD A B C D的棱长为 a，设 a， b， c，则
4、， 等于( )A30 B60 C90 D1208.如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， B1E1 A1B1，则 等于( )A B C D9.如图所示，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱，两两夹角都为 60，且 AB2， AD1， AA13， M、 N 分别为 BB1、 B1C1的中点，则 MN 与 AC 所成角的余弦值为( )A B C D10.已知曲线 C 的方程为 y xlnx，则 C 上点 x1 处的切线的倾斜角为( )A B C D11.设函数 f(x)cos( x )(0， b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距
5、离等于 ，过右焦点 F2的直线 l 交双曲线于 A， B 两点， F1为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若 F1AB 的面积等于 6 ，求直线 l 的方程21. （12 分）如下图所示，在三棱锥 P ABC 中， PA底面 ABC， PA AB， ABC60， BCA90，点 D， E 分别在棱 PB， PC 上，且 DE BC.(1)求证： BC平面 PAC；(2)当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值；(3)是否存在点 E，使得二面角 A DE P 为直二面角？并说明理由22. （12 分）已知直线 l1：4 x3 y60 和直线 l2： x .若拋物线
6、C： y22 px(p0)上的点到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值为 2.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若以拋物线上任意一点 M 为切点的直线 l 与直线 l2交于点 N，试问在 x 轴上是否存在定点 Q，使 Q 点在以 MN 为直径的圆上，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由答案1.D2.B3.D4.C5.D6.D7.D8.C9.B10.B11.B12.C13.6cos 3914.2x y15015.x216.17.解 (1) y 3 x23.则过点 P 且以 P(1，2)为切点的直线的斜率k1 f(1)0，所求直线方程为 y2.(2)设切点坐标为( x0， 3 x0
7、)，则直线 l 的斜率 k2 f( x0)3 3，直线 l 的方程为 y( 3 x0)(3 3)( x x0)，又直线 l 过点 P(1，2)，2( 3 x0)(3 3)(1 x0)， 3 x02(3 3)( x01)，解得 x01(舍去)或 x0 ，故所求直线斜率 k3 3 ，于是 y(2) (x1)，即 y x .18.若命题 p 为真，因为函数的对称轴为 x m，则 m2.若命题 q 为真，当 m0 时，原不等式为8 x40，显然不成立当 m0 时，则有 1 m4.因为 p q 为真， p q 为假，所以命题 p， q 一真一假故 或解得 m1 或 2 m4.所以 m 的取值范围为(，1
8、(2,4)19.(1)由 F1AB90及椭圆的对称性知 b c，则 e .(2)由已知得 a2 b21，设 B(x， y)， A(0， b)，则 (1， b)， ( x1， y)，由2 ，即(1， b)2( x1， y)，解得 x ， y ，则 1，得 a23，因此 b22，椭圆的方程为 1.20. 【解析】 (1)依题意， b ， 2 a1， c2，双曲线的方程为 x2 1.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由(1)知 F2(2,0)易验证当直线 l 斜率不存在时不满足题意故可设直线 l： y k(x2)，由 消元得( k23) x24 k2x4 k230，当 k 时， x
9、1 x2 ， x1x2 ， y1 y2 k(x1 x2)， F1AB 的面积S c|y1 y2|2| k|x1 x2|2| k| 12| k| 6，得 k48 k290，则 k1.所以直线 l 方程为 y x2 或 y x2.21.以 A 为原点， ， 分别为 y 轴、 z 轴的正方向，过 A 点且垂直于平面 PAB 的直线为 x轴，建立空间直角坐标系 Axyz，设 PA a，由已知可得： A(0,0,0)， B(0， a，0)， C ， P(0,0， a)(1) (0,0， a)， ， 0， ， BC AP，又 BCA90， BC AC， BC平面 PAC.(2) D 为 PB 的中点， D
10、E BC， E 为 PC 的中点， D ， E ，由(1)知， BC平面 PAC， DE平面 PAC，垂足为点 E， DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， ， ，cos DAE ， AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 .(3) DE BC，又由(1)知 BC平面 PAC， DE平面 PAC，又 AE平面 PAC， PE平面 PAC， DE AE， DE PE， AEP 为二面角 A DE P 的平面角 PA底面 ABC， PA AC， PAC90，在棱 PC 上存在一点 E，使得 AE PC，这时 AEP90，故存在点 E，使得二面角 A DE P 是直二面角22.(1)由定义知
11、 l2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标为 F由抛物线定义，知抛物线上点到直线 l2的距离等于其到焦点 F 的距离所以抛物线上的点到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值为焦点 F 到直线 l1的距离所以 2 ，则 p2，所以抛物线方程为 y24 x.(2)设 M(x0， y0)，由题意知直线 l 斜率存在，设斜率为 k，且 k0，所以直线 l 方程为 y y0 k(x x0)，代入 y24 x，消 x 得 ky24 y4 y0 k 0.由 164 k(4y0 k )0，得 k .所以直线 l 方程为 y y0 (x x0)，令 x1，又由 4 x0，得 N .设 Q(x1,0)，则 ( x0 x1， y0)， ，由题意知 0，即( x0 x1)(1 x1) 0，把 4 x0代入上式，得(1 x1)x0 x120.因为对任意的 x0，等式恒成立，所以解得 x11，即在 x 轴上，存在定点 Q(1,0)，在以 MN 为直径的圆上
