1、第 57 题 线性规划问题I题源探究 黄金母题【例 1】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 kg 的碳水化合0.75物， kg 的蛋白质， kg 的脂肪1kg 食物 A 含有 kg 碳水化合物，0.60.61kg 蛋白质， g 脂肪，花费 28 元；而 1kg 食物 B 含有 kg 碳水化合714 .物， kg 蛋白质， kg 脂肪，花费 21 元为了满足营养专家指出的日常7饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg？【解析】设每天食用 kg 实物 A， kg 实物 B，总成本xy为 元，则 z0.15.0.75,746.,0.xyy目标函数为 二元一次不
2、等式组等价于 281.zxy75,146,0,.xyy作出二元一次不等式组所表示的平面区域（如图） ，即可行域考虑 ，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 变化的281zxy4321zyx43z一族平行直线是直线在 轴上的截距，当 取得最小值时， 的值最小当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数 取得最小821zxy值由图可见，当直线 经过可行域上的点 时，截距 最小，281zxyMz精彩解读【试题来源】人教版 A 版必5P88 例 5【母题评析】本题考查线性规划问题，作为基础题，是历年来高考的一个常考点【思路方法】解决此类问题的关键是通过线性约束条件，准确作出可行域，再根据目标函数的几何意
3、义解题即 最小解方程组 得点 ，因此，当 时，z75,146xy14,7M14,7xy取最小值，最小值为 16由此可知每天食用食物 A 约 143 克，食28xy物 B 约 571 克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为 16 元II考场精彩真题回放【例 1】【2017 高考浙江 4】若 满足约束条件 ，则,xy032xy的取值范围是 yxz2（ ）A0，6 B0，4 C6， D4 ，)【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点 时取最小值 4，无最大(2,1)值，选 D xoy2xy02yx03y【例 2】【2017 高考新课标 1 文 7】设 满足约束条件 则,x
4、y3,10,xy的最大值为 （ zxy）A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】如图，目标函数 经过 时最大，故 ，故zxy(3,0)Amax03z【命题意图】这类题考查简单的线性规划问题【考试方 向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，为基础题【难点中心】1利用图解法解决线性规划问题的一般步骤一画二移三求：(1)作出可行域将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线( 等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果2常见的目标函数有：（1 ）截距型：形如求这类目标函zaxby数的最值常将函
5、 数转化为直线的斜z选 D【例 3】【2017 高考北京文 4】若 满足 则 的最大值为（ ,xy3,2,xy）A1 B3 C5 D9【答案】D【解析】如图，画出可行域， 表示斜率为 的一组平行线，当过点2zxy12时，目标函数取得最大值 ，故选 D3,Cma39【例 4】【2017 高考天津文 16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：截式： ，通过azyxb求直线的截距 的最值间接求出 的最值；z（2 ）距离型：形如；（322zxayb）斜率型：形如 ，zxa而本题属于截距形式；（4 ）
6、绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2倍分别用 ， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数xy（I）用 ， 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】() 见解析（）电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多【解析】试题分析：（）设
7、根据甲乙连续剧总的播放时间不多于 600 分钟，得到 ，根据广告时间不少于 30 分钟，得到 ，和7060xy530xy，同时注意次数，需满足 的条件，建立不等式组，画区域；20,xy（）求 的最值，同时注意是整数解25zxy试题解析：（）由已知， 满足的数学关系式为 即,xy7060,532,0,xyy该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分：760,2,0,xyy（）设总收视人次为 万，则目标函数为 z6025zxy考虑 ，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 变化6025zxy15y1z的一族平行直线 为直线在 轴上的截距，当 取得最大值时， 的值最z2z大又因为 满足约束条件
8、，所以由图 2 可知，当 直线 经过可,xy 6025xy行域上的点 M 时，截距 最大，即 最大25zz解方程组 得点 M 的坐标为 760,xy(6,3)所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多III理论基础解题原理1二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示直线 某一侧的所有点的平面,0AxByC 0AxByC区域对于在直线 同一侧的所有点 ，实数 的符号相同，故只需在此直线的某,xy一侧取一个特殊点 ，由实数 的符号，即可判断 表示直线哪一侧的平面区0,xy0AxBCxy域2 线性规划的有关概念：（1 ） 线性约束条件：在上述问
9、题中，不等式组是一组变量 的约束条件，这组约束条件都是关于 的一次,xy ,xy不等式，故又称线性约束条件（2 ）线性目标函数：关于 的一次式 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 的解析式，叫线,xy2z,性目标函数（3 ）线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称 为线性规划问题（4 ） 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解 叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行,xy域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，属于基础题【技能方法】
10、1判断二元一次不等式 表示的平面区域的方法：,0AxByC（1 ）特殊点法（线定界，点定域） ；（2）符号判断法（同上异下） 2求解线性规划问题的一般步骤：（1 ）列出线性约束条件及线性目标函数；（2 ）作图 画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线；（3）平移 将 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；（4）l求值解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值【易错指导】（1 ）画不等式表示的平面区域，若含等号，则边界线画成实线；否则边界线画成虚线（2 ）线性目标函数 的几何意义： 是直线 在 轴上的截距0zaxbyzb0ax
11、yz（3 ）整点可行解就是可行域中横坐标和纵坐标都是整数的点；最优解一定是可行解；但可行解不一定是最优解；最优解可能唯一，也可能有无穷多个或者无最优解在实际问题中变量 除了受题目中已知的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件，如在涉及以人数为变量,xy的实 际应用题中，人数必须是自然数，在解题中不要忽视这些隐含的制约条件V举一反三触类旁通考向 1 简单的线性规划问题【例 1】 【2018 浙江省高三模拟 】若 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）,xy201 3xy2zxyA B C D7301【答案】B【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题求目标函数最值的一般
12、步骤是“一画、二移、三求” ：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2 ）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值【例 2】 【2018 天津滨海新区七所重点学校高三毕业班联考】若实数 ， 满足 ，则 的xy10 xy23zxy最小值是（ ）A B C D1230【答案】C【名师点睛】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可得结果【例 3】 【2018 天津市 9 校联考高三联考】若实数 ， 满足 ，则 的最小值 xy10 2xy21zxy（ ）A1 B3
13、C4 D9【答案】B【解析】作出可行域如图所示：作直线 ，再将其平移至 时，直线的纵截距最小， 最大为 3，故选：B21yxz1,2Az【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围【跟踪练习】1 【 2018 甘肃张掖高三备考质量检测第三次诊断 】设变量 ， 满足约束条件 则目标函数xy2, 36,yx的最大值为（ ）4zxyA2 B8 C28 D22【答案】C将其平移至 时，纵截距最大， 最大由 得 所以
14、的最大值 ，故4yxAz362yx ， 4A（ ， ） z4628选 C2 【 2018 衡水金卷信息卷（二） 】已知变量 满足不等式组 ，则目标函数 的最,xy10352 4xy23zxy大值是 （ ）A-3 B-5 C D519【答案】B3 【 2018 陕西省高三教学质量检测（二） 】在由不等式组 所确定的三角形区域内随机取一点，2140,3 ,xy则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是 ( )A B C D92998【答案】D【解析】画出关于 的不等式组 所构成的三角形区域，如图所示， 的面积为xy，2140,3 ,xy ABC离三个顶点距离都不大于 1 的地方的面积为
15、 其恰在离三个顶点距离都不小于 1 的13692S ， 21S，地方的概率为 ，故选 C128P4 【 2018 上海市徐汇区高三下学期学习能力诊断（二模） 】已知实数 满足 则目标函数xy，01x， 的最小值为_zxy【答案】 1【名师点睛】此题主要考查简单线性规划问题中的最优解，以及数形结合法在解决实际问题中的应用等有关方面的知识与基本技能，属于中低档题型，也是常考题此类问题一般流程是：首先根据约束条件画出可行域区域图；第二步是将目标函数进行转化，常转化为直线的斜截式；第三步，通过平移该直线（在区域范围内） ，找到直线在轴上截距的最值从而得到问题的最优解y5 【 2018 河北保定高三一模
16、 】已知实数 满足 ，若 取得最小值时的最优解,xy20 yx32zxy满足 ，则 的最小值为_ ,xy20aby4ab【答案】9【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”( 不等式的另一边必须为定值) 、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误考向 2 线性规划应用题【例 4】 【2018 广东汕头市高三三模 】某中学计划派出 名女生， 名男生去参加某项活动，若实数 ， 满足约xyxy束条件 则该中学最多派_5,27,xy【答案】 1【解析】实数 ， 满足约束条件如图所示，由已知该中学
17、派出的学生为 ，即 ，表示的几何xy zxyxz意义为斜率为-1 的平行直线系，由题可知当直线经过右上顶点(6 ，7)时，纵截距最大，此时 z=13，又最值无法取到，所以该中学最多派 12 人，故填 12【名师点睛】本题考查简单的线性规划应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值【例 5】 【2016 高考新课标 1】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料
18、生产一件产品 A 需要甲材料 15kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0 5kg，乙材料 03kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元【答案】 2160目标函数 二元一次不等式组等价于 2109zxy30,1956,0.xyy作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图） ，即可行域将 变形，得 ，平行直线 ，当直线 经过点 时， 2109zxy7390zx73yx7390z
19、yxMz取得最大值解方程组 ，得 的坐标 1056yxM(6,10)所以当 ， 时， 6xyma2092z故生产产品 、产品 的利润之和的最大值为 元AB16【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，解决此类问题常利用数形结合本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误【例 6】 【2018 广东中山市高二上学期期末模拟试题 3】络同时提供 A、B 两套校本选修课程A 套选修课播 40 分钟，课后研讨 20 分钟，可获得学分 5 分 B 套选修课播 32 分钟，课后研讨
20、 40 分钟，可获学分 4 分全络每周开播两次，每次均为独立内容学校规定学生每学期收看选修课不超过 1400 分钟，研讨时间不得少于 1000 分钟两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？【答案】答案见解析试题解析：设选择 A、B 两套课程分别为 X、Y 次，z 为学分，则 目标函数 xy40321N、，由方程组解得点 A(15，25) ，B(25，125)，由于目标函数的斜率与直线 AB 的斜率相等，因此在图z5x4y中阴影线段 AB 上的整数点 A（15，25） 、C（19 ，20） 、D（23 ，15）都符合题意，使得学分最高为 17 5 分【跟踪练习】1 【 2018 河北省衡水
21、中学高三上学期七调 】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每 周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于 ，广告 的总播放时长不少于 ，且甲连续剧播60min30min放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍，分别用 ， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总xy收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）A6 ，3 B5，2 C4 ，5 D2，7【答案】A2 【 2016 高考天津文数】某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要原料生产 1
22、车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元分别用 x，y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数()用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润【答案】 （）详见解析；（）生产甲种肥料 车皮，乙种肥料 车皮时利润最大，且最大利润为 万元202412【解析】 （）根据生产原料不能超过 A
23、 种原料 200 吨， B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（）目标函数为利润 ，根据直线平移及截距变化规律确定最大yxz3利润试题解析：（）由已知 满足的数学关系式为 ，该二元一次不等式组所表示的区域为图 1yx, 031658204yx中的阴影部分（）设利润为 万元，则目标函数 ，这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线 为直线在 轴zxz3232z3zy上的截距，当 取最大值时， 的值最大又因为 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 经过3zzyx, yxz32可行域中的点 时，截距 的值最大，即 的值最大解方程组 得点 的坐
24、标为 ，Mz30154yxM)4,0(所以 124320maxz答：生产甲种肥料 车皮，乙种肥料 车皮时利润最大，且最大利润为 万元42 M2x+3y=z2x+3y=0(2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4) 作答而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定
25、目标函数最值取法3 【 2018 天津河北区高三数学二模 】某颜料公司生产 A， B 两种产品，其中生产每吨 A 产品，需要甲染料 1 吨，乙染料 4 吨，丙染料 2 吨，生产每吨 B 产品，需要甲染料 1 吨，乙染料 0 吨，丙染料 5 吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过 50 吨，160 吨和 200 吨，如果 A 产品的利润为 300 元/吨，B 产品的利润为 200元/吨，设公司计划一天内安排生产 A 产品 x 吨，B 产品 y 吨（I）用 x，y 列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中画出相应的平面区域；（II）该公司每天需生产 A，B 产品各多少吨可获得最
26、大利润，最大利润是多少?【答案】 （）见解析；（）该公司每天需生产甲产品 40 吨，乙产品 10 吨可获得最大利润，最大利润为 14000元（II）设利润为 z 元，由题意得 z=300x+200y，可得 ，平移直线 ，结合图形可得当直线=32+200 =32+200经过可行域上的点 A 时，截距 最大，此时 z 页最大解方程组 得 ，即=32+200 200 =40,+=50, =40=10 =300x+200y=14000(40,10) 答：该公司每天需生产甲产品 40 吨，乙产品 10 吨时可获得最大利润，且最大利润为 14000 元【名师点睛】解线性规划应用题的步骤（1 ）转化设元，写
27、出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；（2 ）求解解这个纯数学的线性规划问题；（3 ）作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案考向 3 线性规划中的参数问题【例 7】 【2018 湖北省高三 4 月调研】记不等式组 的解集为 ，若 ，则20,1 xyD,1xyax实数 的最小值是( )aA0 B1 C2 D4【答案】C【名师点睛】线性规划问题有三类：（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（ 3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题【例 8】 【20
28、18 新疆维吾尔自治区高三二模 】已知实数 ， 满足 ，则使不等式 恒xy10 3xy1kxy成立的实数 的取值集合是（ ）kA B C D1,21,4,1,2【答案】A【例 9】 【2018 湖南张家界高三三模 】已知变量 ， 满足 ，若方程 有解，xy20 4xy260xyk则实数 的最小值为（ ）kA B C D45295453165【答案】B【解析】由题意，可作出约束条件的区域图，如图所示，由方程 ，得 ，260xyk2239xyk由此问题可转化为求区域图内的点到定点 的距离最小时实数 的值，结合图形，点 到直线03C， C的距离 为所求，则有 ，解得 故选 B20xy245d2495
29、k295k【名师点睛】此题主要考查简单线性规划问题，以及点到直线距离公式的应用、数形结合法的应用等方面知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题型解决此类问题中主要有两个关键环节，一是根据约束条件作出可行域图；二是善于将目标函数进行转化，一般可从斜率、两点间的距离、点到直线的距离等方向去考虑，寻找问题的突破口【跟踪练习】1 【 2018 北京市建华实验学校零模 】设不等式组 表示的平面区域为 ，若函数310 6xyD的图象上存在区域上的点，则实数 的取值范围是log(1)ayxaA B C D,3,1,2,【答案】B2 【 2018 佛山高三教学质量检测（二） 】已知 ，设 满足约束条件 ，且
30、的最小0a,xy01 3xya2zxy值为-4，则 ( )aA1 B2 C3 D4【答案】C3 【 2018 江西高三毕业班新课程教学质量监测 】实数对 满足不等式组 ，则目标函数 z=kx-y,xy205 xy当且仅当 ， 时取最大值，设此时 的取值范围为 ，则函数 在 上的值域是x1ykI21, 0xfI（ ）A B C D1,270,40,231,2【答案】A【解析】不等式组所表示的区域如图所示，直线 z kxy ykx z 过(3，1) 时 z 取最大值，即直线 ykx z 在 y 轴上的截距z 最小，由图可得直线ykxz 的斜率 k = ， 在 的值域为 ，故选 A12， I21,0
31、 (xf12， 1,24 【 2018 四川雅安市高三下学期三诊 】已知实数 ， 满足条件 ，若目标函数xy0 1xy取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数 的值为（ ）0zmxy mA B C D121【答案】A考向 4 线性规划与解析几何【例 10】 【2016 高考浙江文数】若平面区域 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直30,2xy线间的距离的最小值是（ ）A B C D 352325【答案】B【名师点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误【例 11】 【2018 衡水金
32、卷调研卷五】已知 表示的区域为 ，不等式组210xyab1D表示的区域为 ，其中 ，记 与 的公共区域为 ，且 的面积 为0, ,bxcy2D22c12 S，圆 内切于区域 的边界，则椭圆 的离心率为_23234xy 2:0xyCab【答案】 或1长分别为 的菱形及内部，而 ，所以区域 表示对角线长分别为 的菱形及内部，面积2,bc,abcD2,bc，由圆 内切于区域 D 的边界有 ，解得 ，1=223,Sbcbc234xy23bc2a又 ，所以 或 ，故离心率 或 22,a1,1bc1eae【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，以及直线与椭圆，直线与圆的位置关系，线性规划的应用等，属于
33、中档题利用数形结合是解决本题的基本数学思想【例 12】设不等式组 表示的平面区域为 ，区域 内的动点 到直线 和直线 的距离0xyDP0xy0xy之积为 2，记点 的轨迹为曲线 是否存在过点 的直线 l，使之与曲线 交于相异两点 、 ，且以线PC(20)F， CAB段 为直径的圆与 y 轴相切？若存在，求出直线 l 的斜率；若不存在，说明理由AB【答案】 k 21【解析】由题意可知，平面区域 如图阴影所示设动点为 ，则 ，即 D(,)Pxy2yx24xyxyO由 知 ，xy 0，即 x2y 20所以 y2x 24(y 0)，即曲线 的方程为 1( y0) 设PD0 C24yx， ，则以线段 为
34、直径的圆的圆心为 1(,)Axy2(,)BAB1212()xyQ，因为以线段 为直径的圆 与 轴相切，所以半径 ，即 Ly 12rAB12ABx因为直线 AB 过点 F(2 ，0)，当 AB x 轴时，不合题意所以设直线 AB 的方程为 yk (x2 )代入双曲线方2程 1(y 0)得：k 2(x2 )2x 24，即(k 21) x24 k2x(8 k24)024yx因为直线与双曲线交于 A，B 两点，所以 k1 于是 x1x 2 ，x 1x2 84故|AB| |x 1x 2| |，(12)xy(2)42x24k() k1化简得：k 42k 21 0，解得：k 2 1 （k 2 1 不合题意，
35、舍去） 由(4 k2)24( k21)(8k 24)3k 21 0，又由于 y0，所以1k 所以，k 321【跟踪练习】1 【 2018 辽宁沈阳市高三教学质量监测（三） 】已知点 ，点 是圆 上的两4,2 3xyPy满 足 ,AB2xy个点，则 的最大值为_APB【答案】60【名师点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得2 【 2018 上海崇明区高三
36、 4 月模拟（二模） 】已知 R，且满足 ，若存在 R 使得,xy340 xy成立，则点 构成的区域面积为 cosin10xy,Pxy【答案】 436，存在 R 使得 成立，21sinxy10xcosyin ，即 x2+y21，则对应的区域为单位圆的外部，由 ，解得 ，即2 34 0xy2 3xy，A(4 ，0)，则三角形 OAB 的面积 ，直线 的倾斜角为 ，则,3B142S，即扇形的面积为 ，则 P(x，y) 构成的区域面积为 6O6436S考向 5 线性规划与平面向量【例 13】 【2018 湖南省（长郡中学、衡阳八中） 、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知点 ，4,0A，点
37、 的坐标 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）0,4B,Pxyxy0 3412xyAPBA B C D1962502548【答案】A【例 14】 【2018 吉林四平市高三质量检测】若 满足约束条件 且向量 ，则,xy21 xy3,2,abxy的取值范围是( )abA B C D54， 752， 742， 5，【答案】D【解析】向量 ，设 ，作出不等式组对于的平面区域如图，由3,2,32abxyabxy32zxy，得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 ，经过点 时，直线zxyz32zyxB的截距最大，此时 最大，由 ，解得 ，即 ，此时 ，2z 21xy1 xy,Bmax125经过点 时，直线 的截
38、距最小，此时 最小，由 ，解得 ，即 ，此A32zyxz 21xy4 1y,4A时 ，则 ， 的取值范围是 ，故选 Dmin1534z54zab54，【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求” ：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2 ）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值【例 15】 【2018 四川省蓉城名校高中高三 4 月联考】已知点 ，点 满足 ，则 在1,2P,Mxy02 1xyOM方向上的投
39、影的最大值是_OP【答案】 35【名师点睛】本题主要考查的知识点是线性规划求最值问题，其中条件里的“ 在 方向上的投影” 要能够运OMP用向量知识进行化简，转化为一次函数问题，然后结合线性规划求出最大值，本题只要理解题目意思还是较为基础【跟踪练习】1 【 2018 北京朝阳区高三一模 】在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，动点 满足 xOy3,0A1,2BPO，其中 ，则所有点 构成的图形面积为( )OAB,0,1,2PA B C D123【答案】C【名师点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想属于难题转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数
40、学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键2 【 2018 陕西西安市一中高三第二学期开学考 】在平面直角坐标系 中， ，点 在圆 (12,0),(0,6) 上，若 ，则点 的横坐标的取值范围是_:2+2=50 20 【答案】 52,13 【 2018 湖南省长郡中学高三下学期一模 】如图，在 中， 、 分别是 、 的中点，若 （ ， ） ，且点 落在四边形 内（含边界） ，则 的取值范围是（ ）=+ +1+2A B C D13,23 13,34 14,34 14,23【答案】C【解析】由题意，当 在线段 上时， ，当 点在线段 上时， ，当 在四边形 内（含 +=1 +=2 边界）时， （） ，又 ，作出不等式组（）表示的可行域，如图，+1+200 +1+2= 1+1+1+1
