1、2.4.1 抛物线及其标准方程课时演练促提升A 组1.抛物线 y=-x2 的焦点坐标为( )A. B.C. D.解析:把 y=-x2 化为标准方程 x2=-y,可知抛物线开口向下,且 2p=1,故焦点坐标为.答案:D2.一个动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点( )A.(0,2) B.(0,-2)C.(2,0) D.(4,0)解析: 抛物线为 y2=8x, 准线方程为 x=-2.来源 :学优高考网 gkstk由题意得,圆心到定点的距离与圆心到直线 x+2=0 的距离相等, 根据抛物线定义得圆必过抛物线 y2=8x的焦点(2,0).答案:C3.已知
2、抛物线 y2=2px(p0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( )A. B.1 C.2 D.4解析:由抛物线的标准方程,得准线方程为 x=-.由 x2+y2-6x-7=0,得( x-3)2+y2=16. 准线与圆相切, 3+=4,即 p=2.答案:C4.点 P 为抛物线 y2=2px 上任一点 ,F 为焦点,则以 P 为圆心,以|PF|为半径的圆与准线 l( )A.相交 B.相切C.相离 D.位置由 F 确定解析:由抛物线的定义可知点 P 到焦点 F 的距离等于到准线的距离,即圆心到准线的距离等于半径,故圆与准线相切.答案:B5.若抛物线 y2=8x 上一点 P 到其
3、焦点 F 的距离为 9,则点 P 的坐标为( )A.(7,) B.(14,)来源:学优高考网C.(7,2) D.(-7,2)解析:设 P(x0,y0), 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x=-2 的距离, 由|PF|= 9,得 x0+=9,即 x0=9-2=7. y0=2.故选 C.答案:C6.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值为 . 解析:将 y=ax2 化为 x2=y.因为准线方程为 y=2,所以抛物线开口向下,0)的焦点,点 P 在抛物线上,且其到 y 轴的距离与到点 F 的距离之比为 1 2,则|= .解析:由抛物线的定义,知点 P 到 y 轴的距离与其
4、到准线的距离之比为 1 2,设点 P(x,y).因为抛物线的准线为 x=-,则 x+=2x,x=,所以 P.又 F,所以|=.答案:9.已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离是 5.(1)求抛物线方程和 m 的值;(2)求抛物线的焦点和准线方程 .解:(1) 点(- 3,m)在 y 轴左侧,抛物线焦点在 x 轴上, 抛物线开口向左.设方程为 y2=-2px(p0). 点 M 到焦点的距离为 5, 3+=5, p=4. 抛物线的方程为 y2=-8x.把点 M(-3,m)代入抛物线方程,得 m2=24, m=2.(2)抛物线的焦点为 (-2,0),准线方程为 x=2
5、.10.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1 的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.解:设抛物线的方程为 y2=2px(p0),根据点在抛物线上可得=2p,解得 p=2.故所求抛物线方程为 y2=4x,抛物线的准线方程为 x=-1. 抛物线的准线过双曲线的一个焦点, c=1,即 a2+b2=1.故双曲线方程为=1. 点在双曲线上, =1,解得 a2=或 a2=9(舍去) .来源 :学优高考网 gkstk同时 b2=,故所求双曲线的方程为= 1.B 组1.已知动点 M 的坐标满足方程 5=|3x+4y-12|,则动点 M
6、的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.以上都不对解析:方程 5=|3x+4y-12|可化为, 动点 M 到原点的距离与到直线 3x+4y-12=0 的距离相等. 点 M 的轨迹是以原点为焦点,直线 3x+4y-12=0 为准线的抛物线.答案:C2.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点.若=- 4,则点 A 的坐标为( )A.(2,2) B.(1,2)C.(1,2) D.(2,2)解析:设点 A,则.由=- 4,得 =-4,解得=4.此时点 A 的坐标为(1,2) 或(1,-2).答案:B3.设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,点 A(0,
7、2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则点 B 到该抛物线准线的距离为 . 解析:如图,由已知,得点 B 的纵坐标为 1,横坐标为,即 B.将其代入 y2=2px,得 1=2p,解得 p=,故点 B 到准线的距离为 p=.答案:4.已知平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1,求动点 P 的轨迹方程.解:方法一:设点 P 的坐标为(x ,y),则有=|x|+1.两边平方并化简,得 y2=2x+2|x|.故 y2=即点 P 的轨迹方程为 y2=4x(x 0)或 y=0(x0),则点 B 的坐标为. 来源 :学优高考网 因为点 B 在抛物线上,所以=- 2p
8、,p=,所以抛物线方程为 x2=-ay.将点 E(0.8,y)代入抛物线方程,得 y=-.所以点 E 到拱底 AB 的距离为-|y|=3.解得 a12.21.因为 a 取整数,所以 a 的最小值为 13.6.定长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 在抛物线 y2=x 上移动,求 AB 中点到 y 轴距离的最小值,并求出此时 AB 中点的坐标.解:如图,F 是抛物线 y2=x 的焦点 ,A,B 两点到准线的垂线分别是 AC,BD,过 AB 的中点 M 作准线的垂线MN,C,D,N 为垂足 ,则|MN|= (|AC|+|BD|),来源:学优高考网 gkstk由抛物线定义知|AC|=|AF| ,|BD|=|BF|. |MN|=(|AF|+|BF|)|AB|=.设点 M 的横坐标为 x,|MN|=x+,则 x.当弦 AB 过点 F 时等号成立,此时,点 M 到 y 轴的最短距离为.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2x.当 x=时,y 1y2=-p2=-, (y1+y2)2=+2y1y2=2x-=2. y1+y2=,得 y=,即 M.
