1、3.1.4 空间向量的直角坐标运算一、选择题1在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知点 A 的坐标为(1,2,1)，点 B 的坐标为(1,3,4)，则( )A. (1,2,1) C. (1,3,4)AB AB B. (2,1,3) D. (2，1，3)AB AB 2已知 a(1,2， y)， b( x,1,2)，且( a2 b)(2 a b)，则( )A x ， y1 B x ， y413 12C x2， y D x1， y1143若 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则 是 ab 的( )a1b1 a2b2 a3b3A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既
2、不充分又不必要条件4已知向量 a(1,1,0)， b(1,0,2)，且 ka b 与 2a b 互相垂直，则 k 的值是( )A1 B. C. D.15 35 755已知 a(2，1,2)， b(2,2,1)，则以 a、 b 为邻边的平行四边形的面积为( )A. B. C4 D8656526已知 a(1 t,1 t， t)， b(2， t， t)，则| b a|的最小值是( )A. B. C. D.55 555 355 115题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7已知三个力 f1(1,2,3)， f2(1,3，1)， f3(3，4,5)，若 f1， f2， f3共同作用于同一物体上，
3、使物体从点 M1(1，2，1)移动到点 M2(3,1,2)，则合力所做的功是_8已知 A(4,1,3)， B(2,3,1)， C(3,7，5)，点 P(x，1,3)在平面 ABC 内，则 x_.9. 已知 A（1，-1,2） ，B（5，-6,2） ，C（1,3，-1） ，则 在 上的投影为_AB AC 三、解答题10设 a(1,5，1)， b(2,3,5)(1)若( ka b)( a3 b)，求 k；(2)若( ka b)( a3 b)，求 k.11在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AC BC1， BCA90， AA12, 并取 A1B1、 A1A 的中点分别为P、 Q.（1）求向量 的长；
4、BQ （2）cos ， ，cos ， ，并比较 ， 与 ， 的大小；BQ CB1 BA1 CB1 BQ CB1 BA1 CB1 (3)求证： AB1 C1P.能力提升12在长方体 OABCO1A1B1C1中，| OA|2，| AB|3，| AA1|2， E 是 BC 的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：(1)求直线 AO1与 B1E 所成角的余弦值；(2)作 O1D AC 于 D，求点 O1到点 D 的距离13在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，在棱 BB1上是否存在点M，使得 D1M平面 EFB1?31.4 空间向量的直
5、角坐标运算1C2B a2 b(12 x,4,4 y)，2 a b(2 x,3，2 y2)，且( a2 b)(2 a b)，3(12 x)4(2 x)且 3(4 y)4(2 y2)， x ， y4.123A 设 k，易知 ab ，即条件具有充分性又若 b0 时， b(0,0,0)，a1b1 a2b2 a3b3虽有 ab ，但条件 显然不成立，所以条件不具有必要性，故选 A.a1b1 a2b2 a3b34D ka b( k1， k,2)，2 a b(3,2，2)，3( k1)2 k40. k .755A 设向量 a、 b 的夹角为 ，于是 cos ，由此可得 sin .4 2 233 49 659
6、所以以 a、 b 为邻边的平行四边形的面积为S2 33 .12 659 656C716解析 合力 f f1 f2 f3(3,1,7)，位移 s (2,3,1)，M1M2 功 w fs(3,1,7)(2,3,1)63716.811解析 点 P 在平面 ABC 内，存在实数 k1， k2，使 k1 k2 ，AP AB AC 即( x4，2,0) k1(2,2，2) k2(1,6，8)，Error! 解得Error! x42 k1 k2817，即 x11.94解析 (5，6,2)(1，1,2)(4，5,0)AB (1,3，1)(1，1,2)(0,4，3)，AC cos ， AB AC 2220534
7、 ， 20541在 上的投影为| |cos ， AB AC AB AB AC 4.22( 20541)10解 ka b( k2,5 k3， k5)，a3 b(7，4，16)(1)若( ka b)( a3 b)，则 ，解得 k .k 27 5k 3 4 k 5 16 13(2)若( ka b)( a3 b)，则( k2)7(5 k3)(4)( k5)(16)0，解得 k .106311解 以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，则由已知，得 C(0,0,0)， A(1,0,0)， B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P ， Q(1,0,1)，(12， 12， 2)B1(0,1,
8、2)， A1(1,0,2) (1，1,1)， (0,1,2)，BQ CB1 (1，1,2)， (1,1,2)，BA1 AB1 .C1P (12， 12， 0)(1)| | .BQ 12 1 2 12 3(2) 0121，| | ， BQ CB1 BQ 3| | ，CB1 02 12 22 5cos ， .BQ CB1 135 1515又 0143，BA1 CB1 | | ，| | ，BA1 1 1 4 6 CB1 5cos ， .BA1 CB1 330 3010又 0 ， BQ CB1 BA1 CB1 (3)证明 (1,1,2) 0，AB1 C1P (12， 12， 0) .AB1 C1P 1
9、2解 建立如图所示的空间直角坐标系(1)由题意得 A(2,0,0)， O1(0，0,2)， B1(2,3,2)， E(1,3,0) (2,0,2)，AO1 (1,0，2)，B1E cos ， ，AO1 B1E 2210 1010 AO1与 B1E 所成角的余弦值为 .1010(2)由题意得 ， ，O1D AC AD AC C(0,3,0)，设 D(x， y,0)， ( x， y，2)， ( x2， y,0)， (2,3,0)，O1D AD AC Error! 解得Error! D ，(1813， 1213， 0) O1D| | .O1D (1813)2 (1213)2 4 228613即点 O1到点 D 的距离为 .22861313解 如图所示，分别以 ， ， 为单位正交基底，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D1(0,0,1)， B1(1,1,1)，DA DC DD1 E ， F ，设 M(1,1， m)， ，(1，12， 0) (12， 1， 0) EF ( 12， 12， 0) ， (1,1， m1)B1E (0， 12， 1) D1M 若 D1M平面 EFB1，则 D1M EF 且 D1M B1E.即 0， 0，D1M EF D1M B1E Error!， m ，12即存在点 M 且为 B1B 的中点，使 D1M平面 EFB1.高考 试 题库
