1、排列组合定义及公式排列的定义及其计算公式：从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示。 A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定 0!=1 组合的定义及其计算公式：从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同
2、元素中取出 m 个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)； C(n,m)=C(n,n-m)。其他排列与组合公式 从 n 个元素中取出 m 个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n 个元素被分成 k 类，每类的个数分别是 n1,n2,.nk 这 n 个元素的全排列数为 n!/(n1!n2!.nk!). k 类元素，每类的个数无限，从中取出 m 个元素的组合数为 C(m+k-1,m)。符号常见的一道题目 C-Combination 组合数A-Arrangement 排列数（在旧教材为 P-Permutatio
3、n）N- 元素的总个数M-参与选择的元素个数!-阶乘 组合恒等式 排列组合常见公式基本计数原理(1)加法原理和分类计数法1加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法， ，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同方法。2第一类办法的方法属于集合 A1，第二类办法的方法属于集合 A2，第 n 类办法的方法属于集合 An，那么完成这件事的方法属于集合 A1UA2UUAn。3分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即
4、分类不重 )；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类 (即分类不漏) 。(2)乘法原理和分步计数法1. 乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法， ，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法。2合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。二项式定理(a+b)n= (0-n)C(in)a(n-i)bi1通项公式：a_(i+1)=C(in)a(n-i)b
5、i二项式系数：C(in) 杨辉三角杨辉三角：右图。两端是 1，除 1 外的每个数是肩上两数之和。系数性质：（1）和首末两端等距离的系数相等；（2）当幂指数是奇数时，中间两项最大且相等；（3）当幂指数是偶数时，中间一项最大。（4）奇数项和偶数项总和相同，都是 2(n-1)；（5）所有系数总和是 2n。组合数的奇偶奇偶定义：对组合数 C(n,k) (n=k)：将 n,k 分别化为二进制，若某二进制位对应的 n为 0，而 k 为 1 ，则 C(n,k)为偶数；否则为奇数。下面是判定方法：结论：对于 C(n,k),若 n对应于杨辉三角：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1可以验证前面几层
6、及 k = 0 时满足结论，下面证明在 C(n-1,k)和 C(n-1,k-1) (k 0) 满足结论的情况下，C(n,k)满足结论。1).假设 C(n-1,k)和 C(n-1,k-1)为奇数：则有：(n-1)(n-1)由于 k 和 k-1 的最后一位 (在这里的位指的是二进制的位，下同 )必然是不同的，所以n-1 的最后一位必然是 1。现假设 n(n-1)现假设 n 代表任意个 0。相应的，n 对应的部分为： 1*; *代表 0 或 1。而若 n 对应的*中只要有一个为 1，则(n-1)(n-1)显然，k 的最后一位只能是 0，否则由(n-1)相应的，n-1 的对应部分为： 1*;相应的，k
7、-1 的对应部分为： 01;则若要使得(n-1) (不会因为进位变 1 为 0)所以 n(n-1)分两种情况：当 k-1 的最后一位为 0 时 :则 k-1 的末尾必有一部分形如： 10;相应的，k 的对应部分为 : 11;相应的，n-1 的对应部分为 : 1*0; (若为 1*1,则(n-1)所以 n (前面的 0 可以是附加上去的)相应的，k 的对应部分为 : 10;相应的，n-1 的对应部分为 : 01; (若为 11，则(n-1)所以 n&k = k。由 3),4)得出当 C(n,k)为奇数时， n&k = k。综上，结论得证。例题分析难点(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数
8、学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词( 特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。1明确任务的意义例 1. 从 1、2、3、20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设 a,b,c 成等差， 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 决定，又 2b 是偶数， a,c 同奇或同偶，
9、即：分别从 1，3，5，19 或2，4，6，8，20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2 ，因而本题为 180。例 2. 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从 M 到 N 有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入：（一）从 M 到 N 必须向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。 本题答案为：C
10、(8,3)=56。2分析分析是分类还是分步，是排列还是组合注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。例 3在一块并排的 10 垄田地中，选择二垄分别种植 A，B 两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求 A， B 两种作物的间隔不少于 6 垄，不同的选法共有多少种？分析：条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A 在第一垄，B 有 3 种选择；第二类：A 在第二垄，B 有 2 种选择；第三类：A 在第三垄，B 有 1 种选择，同理 A、B 位置互换 ，共 12 种。例 4从
11、6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？(A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：显然本题应分步解决。（一）从 6 双中选出一双同色的手套，有 6 种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有 10 种方法。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有 8 种方法；（四）由于选取与顺序无关，因（二） （三）中的选法重复一次，因而共 240 种。或分步（1）从 6 双中选出一双同色的手套，有 C(6,1)=6 种方法（2）从剩下的 5 双手套中任选两双，有 C(5,2)=10 种方法（3）从两双中手套中分别拿两只手套，有 C(2,1)C(
12、2,1)=4 种方法。同样得出共(1)(2) (3)=240 种。例 5身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_。分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有 C(6,2)C(4,2)C(2,2)=90 种。例 6在 11 名工人中，有 5 人只能当钳工，4 人只能当车工，另外 2 人能当钳工也能当车工。现从 11 人中选出 4 人当钳工，4 人当车工，问共有多少种不同的选法?分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准
13、必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，C(2,2)C(5,2) C(4,4)=10 种；第二类：这两个人都去当车工，C(5,4)C(2,2) C(4,2)=30 种；第三类：这两人都不去当钳工，C(5,4)C(4,4)=5 种。第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，C(2,1)C(5,3) C(2,1)C(4,3)=160种；第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，C(2,1)C(5,3) C(4,4)=20 种；第六类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，C(5,4)C(2,1) C(4,3)=40
14、种；因而共有 265 种。例 7现有印着 0，1，3，5，7，9 的六张卡片，如果允许 9 可以作 6 用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?分析：有同学认为只要把 0，1，3，5，7，9 的排法数乘以 2 即为所求，但实际上抽出的三个数中有 9 的话才可能用 6 替换，因而必须分类。抽出的三数含 0，含 9，有 32 种方法；抽出的三数含 0 不含 9，有 24 种方法；抽出的三数含 9 不含 0，有 72 种方法；抽出的三数不含 9 也不含 0，有 24 种方法。因此共有 32+24+72+24=152 种方法。例 8停车场划一排 12 个停车位置，今有 8 辆车需要停放，要
15、求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种?分析：把空车位看成一个元素，和 8 辆车共九个元素排列，因而共有 A(9,8)=362880 种停车方法。3特殊优先特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 。例 9六人站成一排，求(1)甲、乙即不再排头也不在排尾的排法数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数分析：（1）按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数第一类：排出首尾和末尾、因为甲乙不再首尾和末尾，那么首尾和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有 A(4,2)=12 种；第二类：由于六个元素中已经有两位排在首尾和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行顺序排列，共 A(4,4)=
16、24 种；根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共 1224=288 种。(2)第一类：甲在排尾，乙在排头，有 A(4,4)种方法。第二类：甲在排尾，乙不在排头，有 3A(4,4)种方法。第三类：乙在排头，甲不在排尾，有 3A(4,4)种方法。第四类：甲不在排尾也不再排头，乙不在排头也不再排尾，有 6A(4,4)种方法（排除相邻） 。共 A(4,4)+3A(4,4)+3A(4,4)+6A(4,4)=312 种。例 10对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?分析：本题意指第五次测试的产
17、品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的有 C(4,1)种可能；第二步：前四次有一件正品有 C(6,1)中可能。第三步：前四次有 A(4,4)种可能。 共有 576 种可能。4捆绑与插空例 11. 8 人排成一队(1)甲乙必须相邻(2)甲乙不相邻(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻分析：（1）甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑(甲乙可交换) 和 7 人排列 A(7,7)2（2）甲乙不相邻，A(8,8)-A(7,7)2。（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻 A(6,6)
18、22甲乙必须相邻且与丙不相邻 A(7,7)2-A(6,6)22（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 A(6,6)22（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻，A(8,8)-A(7,7)22+A(6,6)22例 12. 某人射击 8 枪，命中 4 枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?分析： 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的 5 个空中选出 2 个的排列，即A(5,2)。例 13. 马路上有编号为 l，2，3，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不
19、能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7 盏亮着的灯形成的不包含两端的 6 个空中选出 3 个空放置熄灭的灯。 共 C(6,3)=20 种方法。5间接计数法(1)排除法例 14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的方法数=任意三个点的组合数- 共线三点的方法数， 共 76 种。例 15正方体 8 个顶点中取出 4 个，可组成多少个四面体?分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数- 共面四点的方法数， 共 C(8,4)-12=70
20、-12=58 个。例 16. 1，2，3，9 中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?分析：由于底数不能为 1。（1）当 1 选上时，1 必为真数， 有一种情况。（2）当不选 1 时，从 2-9 中任取两个分别作为底数，真数，共 A(8,2)=56，其中 log2为底 4=log3 为底 9，log4 为底 2=log9 为底 3, log2 为底 3=log4 为底 9, log3 为底 2=log9 为底 4.因而一共有 56-4+1=53 个。例 17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，( 不一定相邻)，共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
21、分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360 种。（二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种， 共=120 种。例 185 男 4 女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?分析：首先不考虑男生的站位要求，共 A(9,9)种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9876=3024 种。若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有 3024 种，综上，有6048 种。例 19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不
22、同的方法?分析：先认为三个红球互不相同，共 A(5,5)=120 种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共 A(3,3)=6 变化，因而共 A(5,5)/A(3,3)=20种。公式 P 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列( 即排序)。(P 是旧用法，现在教材上多用 A，Arrangement)公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个，不进行排列（即不排序） 。6挡板的使用例 2010 个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?分析：把 10 个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因
23、而共 36 种。7区别与联系所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。例 21. 用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，(1)可组成多少个不同的四位数?(2)可组成多少个不同的四位偶数?(3)可组成多少个能被 3 整除的四位数?分析：(1)有 A(6,4)-A(5,4)=240 个。(2)分为两类：0 在末位，则有 A(5,3)=60 种：0 不在末位，则有 C(2,1)A(5,3)-C(2,1)A(4,2)=96 种。 共 60+96=156 种。(3)先把四个相加能被 3 整除的四个数从小到大列举出来，即先选0，1，2
24、，30，1，3，50，2，3，40，3，4，51，2，4，5它们排列出来的数一定可以被 3 整除，再排列，有：4A(4,4)-A(3,3)+A(4,4)=96 种。8分组问题例 22. 5 名学生分配到 4 个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有多少种？分析：（一）先把 5 个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。其中涉及到平均分成四组，有 C(5,3)=10 种分组方法。 可以看成 4 个板三个板不空的隔板法。（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有 A(4,4)=24 种，由（一） （二）可知，共 1024=240 种。9.几何问题例 23.某区有 7 条
25、南北向街道，5 条东西向街道（如右图）（1）图中共有多少个矩形？（2）从 A 点到 B 点最近的走法有多少种？分析：（1）在 7 条竖线中任选 2 条，5 条横线中任选 2 条，这样 4 条线可组成 1 个矩形，故可组成矩形 C（7,2）C （5,2） =210 个（2）每条东西向的街道被分成 4 段，每条南北向的街道被分成 6 段，从 A 到 B 最短的走法，无论怎样走，一定包括 10 段，其中 6 段方向相同，另外 4 段方向相同，每种走法，即是从 10 段中选出 6 段，这 6 段是走东西方向的，共有 C(10,6）=C（10,4）=210 种走法（同样可以从 10 段中选出 4 段走南北方向，每一种选法即是 1 种走法） 。所以共有 210 种走法。
