1、章末复习课,第一章 导数及其应用,学习目标 1.理解导数的几何意义，并能解决有关斜率、切线方程等问题. 2.掌握初等函数的求导公式. 3.熟练掌握利用导数判断函数单调性，会用导数求函数的极值与最值. 4.掌握微积分基本定理，能利用积分求不规则图形的面积.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.函数yf(x)在点x0处的导数 (1)定义式：f(x0)_.,(2)几何意义：曲线在点(x0，f(x0)处切线的 .,斜率,2.基本初等函数的导数公式,nxn1,0,x1,axln a,cos x,sin x,3.导数的四则运算法则,f(x)g(x)f(x)g(x),Cf(x),f(x)g
2、(x),4.复合函数的求导法则 (1)复合函数记法：yf(g(x). (2)中间变量代换：yf(u)，ug(x). (3)逐层求导法则：yx . 5.函数的单调性与其导数符号的关系 设函数yf(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在(a，b)内，f(x)0f(x)在此区间是 . (2)如果在(a，b)内，f(x)0f(x)在此区间是 .,增函数,减函数,yu ux,6.求函数yf(x)的极值的步骤 (1)求导数f(x). (2)求方程 的所有实数根. (3)考查在每个根x0附近，从 ，导函数f(x)的符号如何变化. 若f(x)的符号 ，则f(x0)是极大值； 若 ，则f(x0)是极小值；
3、若 ，则f(x0)不是极值.,左到右,由正变负,f(x)0,由负变正,符号不变,7.求函数yf(x)在a，b上的最值 函数的最值必在 或区间 取得. 因此把函数在区间端点的值与区间内的极值比较，最大者必为函数在a，b上的 ，最小者必为函数在a，b上的 .,端点,最大值,极值点,最小值,8.定积分,原函数,F(b)F(a),题型探究,类型一 导数与曲线的切线,解答,令ab(t)ln tt2t1，,当t(0,1)时，(t)0，(t)在(1，)上单调递增. 即当t1时，(t)取得极小值，也为最小值. 则ab(t)(1)1， 故ab的最小值为1.,利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.
4、常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由 f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型.,反思与感悟,跟踪训练1 已知曲线yx2aln x(a0)上任意一点处的切线的斜率为k，若k的最小值为4，则此时切点的坐标为 .,解析,答案,(1,1),解析 函数yx2aln x(a0)的定义域为x|x0，则a2，当且仅当x1时等号成立，此时y1， 所以切点的坐标为(1,1).,类型二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值,解答,例2
5、已知函数f(x)(4x24axa2) ，其中a0. (1)当a4时，求f(x)的单调增区间；,解答,(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8，求a的值.,f(x)在1,4上的最小值为f(1)， 由f(1)44aa28，,由f(4)2(6416aa2)8， 得a10或a6(舍去)， 当a10时，f(x)在(1,4)上单调递减， f(x)在1,4上的最小值为f(4)8，符合题意. 综上，a10.,本类题考查了分类讨论思想 (1)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要分类. (2)分类讨论
6、的基本原则是不重不漏.,反思与感悟,跟踪训练2 已知函数f(x)exax，a0. (1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；,解答,解 函数f(x)的定义域是(，)， f(x)exa， 令f(x)0，得xln a，所以f(x)的单调增区间是(ln a，)； 令f(x)0，g(a)在(0,1)上单调递增； 当a1时，g(a)0，g(a)在(1，)上单调递减， 所以a1是函数g(a)在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点， 所以g(a)maxg(1)1.,(2)若对任意实数x恒有f(x)0，求f(x)的取值范围.,解答,解 当x0时，a0，exax0恒成立，,当01时，h(x)0，
7、 故h(x)的最小值为h(1)e， 所以ae，故实数a的取值范围是(0，e. f(a)eaa2，a(0，e，f(a)ea2a，由上面可知ea2a0恒成立，故f(a)在(0，e上单调递增，所以f(0)1f(a)f(e)eee2， 即f(x)的取值范围是(1，eee2.,类型三 定积分及其应用,例3 如图，是由直线yx2，曲线y2x所围成的图形，试求其面积S.,解答,求两个曲线围成平面图形面积的方法 (1)画出两个曲线，先将两个方程联立方程组求解，得到两个曲线的交点的横坐标a，b(af2(x).,反思与感悟,跟踪训练3 求由曲线y2xx2及y2x24x所围成的图形的面积.,解答,解得x10，x22
8、. 如图，由于y2x24x与x轴围成图形的面积为负值，故应加绝对值符号.,方法二 同方法一，两曲线的交点为(0,0)，(2,0)，如图所示，所围成图形的面积,34234.,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,解析,2.已知函数f(x)ax3bx2cx的图象如图所示，则有 A.a0，c0，c0 C.a0,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 由函数f(x)的图象知f(x)先递增，再递减，再递增， f(x)先为正，再变为负，再变为正. f(x)3ax22bxc， a0， 0在递减区间内，f(0)0，即c0，故选A.,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 f(x)ax2c(a0)，,4.如图，yf(
9、x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3) .,解析,答案,解析 直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线， f(3)1.又点(3,1)在直线l上，,2,3,4,5,1,0,g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，,2,3,4,5,1,解答,5.设函数f(x)ln x ax2bx. (1)当a2，b3时，求函数f(x)的极值；,解 依题意，f(x)的定义域为(0，)， 当a2，b3时，f(x)ln xx23x(x0)，,f(x)的极小值为f(1)2.,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,解
10、答,(3)当a0，b1时，方程f(x)mx在区间1，e2内恰有两个实数解，求实数m的取值范围.,解 当a0，b1时， f(x)ln xxmx(x1，e2)，,规律与方法,1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围.这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围. 2.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域.(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f(x)0(或f(x)0)，且f(x)不恒为零.(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可.,本课结束,
