1、1.2.3 导数的四则运算法则,第一章 1.2 导数的运算,学习目标 1.能利用导数的四则运算法则求解导函数. 2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 导数的四则运算法则,f(x)，g(x)的导数分别是什么？,答案,思考2,答案,G(x)f(x)g(x)，H(x)f(x)g(x).,思考3,答案,导数的四则运算法则 (1)设f(x)，g(x)是可导的，则：,梳理,f(x)g(x),和(或差),第一个函数乘上第二个函数,的导数,分母的平方,特别提醒：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)可推广到任意有限个函数的和(或差
2、)的求导. (2)af(x)bg(x)af(x)bg(x).,Cf(x),知识点二 复合函数yf(u(x)的导数,题型探究,例1 求下列函数的导数. (1)yx3ex；,解答,类型一 利用导数的四则运算法则求导,解 y(x3)exx3(ex)3x2exx3ex x2(3x)ex.,(3)yx2log3x；,解答,求函数的导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.,反思与感悟,0,答案,解析,解析 f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)(xb)(xc) (xa)(
3、xb)(xc) (xb)(xc)(xa)(xc)(xa)(xb)， f(a)(ab)(ac)， f(b)(ba)(bc)(ab)(bc)， f(c)(ca)(cb)(ac)(bc).,解答,(2)求下列函数的导数.,解,解答,y(x1)(x3)(x5)；,解 方法一 y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5) (x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3) (2x4)(x5)(x1)(x3) 3x218x23. 方法二 y(x1)(x3)(x5) (x24x3)(x5) x39x223x15， y(x39x223x15) 3x218x23.,解答,解答,类型二 简单复合函数求
4、导,例2 求下列函数的导数. (1)yecos x1；,解答,解 设yeu，ucos x1， 则yxyuuxeu(sin x)ecos x1sin x.,(2)ylog2(2x1)；,解 设ylog2u，u2x1，,解答,解 设y ，u12x，,则yxyuux( )(12x),求复合函数导数的步骤 (1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yf(u)，ug(x). (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu，再求ux. (3)计算yuux，并把中间变量转化为自变量. 整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略
5、中间过程.,反思与感悟,跟踪训练2 (1)函数f(x)(2x1)5，则f(0)的值为_.,答案,10,解析,解析 f(x)5(2x1)4(2x1)10(2x1)4， f(0)10.,解答,(2)求下列函数的导数.,解答,ya12x(a0，a1).,解 令yau，u12x， 则yxyuuxauln a(2) a12xln a(2)2a12xln a.,类型三 导数运算法则的综合应用,例3 (1)已知函数f(x) 2xf(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；,解答,命题角度1 利用导数求函数解析式,解答,(2)设f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得
6、f(x)xcos x.,解 由已知得f (x)(axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x) asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x (acxd)sin x(axbc)cos x. 又f(x)xcos x，,解得ad1，bc0.,(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f(1)，注意f(1)是常数. (2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值. 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则.,反思与感悟,答案,解析,1,则f(1)1.
7、,例4 (1)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_.,命题角度2 与切线有关的问题,答案,解析,(e，e),解析 设P(x0，y0).yxln x，,又k2，1ln x02，x0e.y0eln ee. 点P的坐标是(e，e).,解答,(2)已知函数f(x)ax2bx3(a0)，其导函数为f(x)2x8. 求a，b的值；,解 因为f(x)ax2bx3(a0)， 所以f(x)2axb， 又知f(x)2x8， 所以a1，b8.,解答,设函数g(x)exsin xf(x)，求曲线g(x)在x0处的切线方程.,解 由可得g(x)exsin xx28x3， 所以g(x)e
8、xsin xexcos x2x8， 所以g(0)e0sin 0e0cos 02087. 又知g(0)3， 所以g(x)在x0处的切线方程为y37(x0)， 即7xy30.,(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.,反思与感悟,答案,解析,1,解答,(2)曲线yesin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程.,解 设usi
9、n x， 则y(esin x)(eu)(sin x)cos xesin x， 即y|x01， 则切线方程为y1x0，即xy10. 若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.,故直线l的方程为xy30或xy10.,当堂训练,1.设y2exsin x，则y等于 A.2excos x B.2exsin x C.2exsin x D.2ex(sin xcos x),答案,2,3,4,5,1,解析,解析 y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x).,答案,2,3,4,5,1,解析,3.曲线y 在点(1，1)处的切线方程为 A.y2x1 B.y2x1 C.y2x3 D.y2x
10、2,2,3,4,5,1,解析,答案,切线方程为y12(x1)，即y2x1.,4.设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.,2,3,4,5,1,答案,2,解析,解析 由题意知y|x0aeax|x0a2.,5.在曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线的方程为_.,答案,解析,2,3,4,5,1,3xy110,解析 y3x26x63(x22x2) 3(x1)233， 当x1时，斜率最小，此时切点坐标为(1，14)， 切线方程为y143(x1)，即3xy110.,规律与方法,1.应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错. 2.注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”.,3.求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)正确分析函数的复合层次. (2)中间变量应是基本初等函数结构. (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导. (4)善于把一部分表达式作为一个整体. (5)最后要把中间变量换成自变量的函数.,本课结束,
