1、第一章 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式,1.3.1 推出与充分条件、必要条件,1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义. 2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 充分条件与必要条件,梳理,(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的 条件，q是p的 条件. 这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已. (2)若pq，但qp，称p是q的 条件，若qp，但pq，称
2、p是q的 条件.,充分,必要,充分而不必要,必要而不充分,知识点二 充要条件,思考,在ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B60”的什么条件？,答案,因为A、B、C成等差数列，故2BAC，又因为ABC180，故B60，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B60”的充要条件.,梳理,(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq，此时，我们说，p是q的 条件，简称充要条件.p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价. (2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如
3、果pq，那么p与q互为充要条件.,充分必要,(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.,其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.,题型探究,类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件,解答,ab0a2b20； a2b20ab0， p是q的必要不充分条件.,命题角度1 在常见数学问题中的判断 例1 下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：ab0，q：a2b20；,解答,四边形的对角线相等四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线相等， p是q的必要不充分条件.,(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；,解答,解答,若方程x2xm0无实根，则14m0，p是q的充分不必
4、要条件.,(4)p：m1，q：x2xm0无实根；,解答,由ab0，即a0且b0，此时直线方程axbyc0与两坐标轴都相交；又当axbyc0与两坐标轴都相交时，a0且b0，即ab0，故p是q的充要条件.,(5)p：ab0，q：直线方程axbyc0与两坐标轴都相交.,判断充分条件和必要条件的方法： 一、定义法； 二、集合法，P是Q的充分不必要条件集合PQ，P是Q的必要不充分条件集合PQ，P是Q的充要条件集合PQ，P是Q的既不充分也不必要条件集合PQ，且PQ； 三、传递法，对于较复杂的关系，常用，等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.,反思与感悟,跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的
5、什么条件？ (1)p：ax2ax10的解集是R，q：0a4；,解答,当a0时，10满足题意；故p是q的必要不充分条件.,易知 p：1x5，q：1x5， 所以 p是 q的充要条件.,因为ABAABB，所以p是q的充要条件.,(3)p：ABA，q：ABB；,解答,解答,解答,所以qp，所以p是q的充分不必要条件.,解答,命题角度2 在实际问题中的判断 例2 如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？,如图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件. 如图(2)，闭合开关A而不闭合开关
6、C，灯泡B不亮.反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.,如图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件. 如图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.,反思与感悟,“充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻.,跟踪训
7、练2 俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的 A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.无法判断,结合该俗语的文化背景，易得选项A符合人们的认识实际.,答案,解析,类型二 充要条件的探求与证明,命题角度1 充要条件的探求 例3 求ax22x10至少有一个负实根的充要条件.,解答,(1)当a0时，原方程变为2x10，即x ，符合要求. (2)当a0时，ax22x10为一元二次方程，它有实根的充要条件是0，即44a0，a1. 方程ax22x10只有一个负实根的充要条件是方程ax22x10有两个负实根的充要条件是,综上所述，ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.,反思
8、与感悟,探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.,跟踪训练3 已知数列an的前n项和Sn(n1)2t(t为常数)，试问 t1是否为数列an是等差数列的充要条件？请说明理由.,解答,是充要条件. (充分性)当t1时，Sn(n1)21n22n. a1S13， 当n2时，anSnSn12n1. 又a13适合上式， an2n1(nN)， 又an1an2(常数)， 数列an是以3为首项，2为公差的等差数列. 故t1是an为等差数列的充分条件.,(必要性)an为等差数列， 则2a
9、2a1a3，解得t1， 故t1是an为等差数列的必要条件. 综上，t1是数列an为等差数列的充要条件.,命题角度2 充要条件的证明 例4 已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要条件是 ，其中x，yR，且xy1.,证明,反思与感悟,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”“结论”，必要性需要证明“结论”“条件”.,跟踪训练4 已知ab0，求证：ab1是a3b3aba2b20的充要条件.,证明,充分性：ab1，b1a， a3b3aba2b2a3(1a)3a(1a)a2(1a)2
10、a313a3a2a3aa2a212aa20， 即a3b3aba2b20. 必要性：a3b3aba2b20， (ab)(a2abb2)(a2abb2)0， (a2abb2)(ab1)0. ab0，a0且b0， a2abb20. ab10，ab1. 综上可知，当ab0时，ab1是a3b3aba2b20的充要条件.,类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围),例5 已知函数f(x) 的定义域为A，g(x)lg(xa1) (2ax)(a1)的定义域为B. (1)求A；,解答,要使f(x)有意义，则3(x2)(2x)0， 化简整理得(x1)(x1)0， 解得x1或x1， Ax|x1或x1.,解答
11、,要使g(x)有意义，则(xa1)(2ax)0， 即(xa1)(x2a)2a， Bx|2axa1. p是q的必要不充分条件， BA， 2a1或a11，,(2)记p：xA，q：xB，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.,反思与感悟,在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围. 根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤： (1)记集合Mx|p(x)，Nx|q(x)； (2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则MN； (3)根据集合的关系列不
12、等式(组)； (4)求出参数的范围.,跟踪训练5 设Ay|y ，xR，By|y xm，x1,1，记命题p：“yA”，命题q：“yB”，若p是q的必要不充分条件， 则m的取值范围为_.,解析,依题意，得BA，,答案,当堂训练,无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄.显然“受禄”是“有功”的充分不必要条件，因为有功不一定受禄.,1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,2.设命题p：x23x20，q： 0，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条
13、件 D.既不充分也不必要条件,命题 p：1x2；命题q：1x2，故 p是 q的充分不必要条件.,答案,解析,5,1,2,3,4,3.“x24x50”是“x5”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,根据方程得x24x50，解得x1或x5，故“x24x50”是“x5”的必要不充分条件，故选B.,答案,解析,5,4.记不等式x2x60的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为_.,1,2,3,4,5,由于Ax|x2x6a，而“xA”是“xB”的充分条件，则有AB，则有a3.,答案,解析,(，3
14、,5.“a0”是“直线l1：x2ay10与l2：2x2ay10平行” 的_条件.,(1)a0，l1：x10，l2：2x10， l1l2，即a0l1l2. (2)若l1l2，当a0时，当a0时，l1：x10，l2：2x10，显然l1l2. a0是直线l1与l2平行的充要条件.,充要,2,3,4,5,1,答案,解析,规律与方法,充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法： (1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“pq”及“qp”的真假，根据定义下结论. (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题. (3)集合法：写出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断.,本课结束,
