1、第二章 单元综合检测(二)(时间 120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1已知 A(0， 5)，B(0,5)，|PA |PB |2a，当 a3 和 5 时，点 P 的轨迹为( )A双曲线和一条直线B双曲线和两条射线C双曲线的一支和一条直线D双曲线的一支和一条射线解析：当 2ab0)的 c ，又椭圆的离心率 e ，5 5x2a2 y2b2 5 ca 15则 a5，a 225，b 2a 2c 220，故椭圆的标准方程为 1.x225 y220答案：B 4若 P(x0，y 0)是抛物线 y232x 上一点，点 F 为抛物线的焦点，则|PF|(
2、 )Ax 08 Bx 08C8x 0 Dx 0 16解析：由题意可知抛物线开口向左，且 p 16，因此抛物线的准线方程为 x8，322因此| PF|8 x0.答案：C 52014贵州遵义一模椭圆 1 中，以点 M(1,2)为中点的弦所在的直线斜率x216 y29为( )A. B. 916 932C. D. 964 932解析：设弦的两个端点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则Error!得 0，x1 x2x1 x216 y1 y2y1 y29又弦中点为 M(1,2) ，x 1x 22，y 1y 24， 0 ， 2x1 x216 4y1 y29k .y1 y2x1 x2 932答案：
3、B 6椭圆 1 与双曲线 y2 1 有公共点 P，则 P 与双曲线两焦点连线构成三y249 x224 x224角形的面积为( )A. 48 B. 24C. 24 D. 123 3解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1(0,5)和 F2(0，5)，又由椭圆与双曲线的定义可得Error!所以Error!或Error!又|F 1F2|10，PF 1F2 为直角三角形， F 1PF290.所以PF 1F2 的面积 S |PF1|PF2| 6824.12 12答案：B 72014清华附中月考如图，南北方向的公路 L，A 地在公路正东 2 km 处，B 地在A 北偏东 60方向 2 km 处，河流
4、沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 L 和到 A 地距离相3等现要在曲线 PQ 上某处建一座码头，向 A，B 两地运货物，经测算，从 M 到 A，B 修建公路的费用都为 a 万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是 ( )A. (2 )a 万元3B. (2 1)a 万元3C. 5a 万元D. 6a万元解析：本题主要考查抛物线的实际应用依题意知曲线 PQ 是以 A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从 M 到 A，B 修建公路的费用最低，只需求出 B 到直线 L 的距离即可B 地在 A 地北偏东 60方向 2 km 处，B 到点 A 的水平距离为 3 3km，B 到直线 L
5、 的距离为 325(km) ，那么，修建这两条公路的总费用最低为 5a 万元，故选 C.答案：C 82014湖北省黄冈中学月考 已知 F 是双曲线 1(a0，b0)的左焦点，E 是x2a2 y2b2双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( )A. (1,2) B. (1， )2C. (1,3) D. (1， )3解析：本题考查双曲线离心率的求法和数形结合思想的应用ABE 为等腰三角形，可知只需AEF1， 10，b0)左支上的一点，x2a2 y2b2F1、F 2 分别是左、右焦点，且焦距为 2c，则
6、PF 1F2 的内切圆 C 的圆心的横坐标为( )A. a B. bC. c D. abc解析：本题考查双曲线中基本量之间的关系和三角形内切圆的性质设PF 1F2 的内切圆 C 与三边 PF1，PF 2，F 1F2 分别切于点 A，B，D ，由双曲线定义有|PF 2| PF1|2a，即|PB| |BF2| (|PA|AF 1|) 2a，由圆的切线性质知|PA| PB|，|AF 1|DF 1|，| BF2|DF 2|，所以|DF 2| DF1|2a，又|DF 2|DF 1|2c ，故|DF2|ac，圆心 C 的横坐标为 x0a，故选 A.答案：A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，
7、共 20 分)13直线 x2y 20 经过椭圆 1(ab0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆x2a2 y2b2的离心率等于_解析：由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，又直线 x2y 2 0 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以 b1，c2，从而 a ，e .5ca 255答案：25514已知点(2,3)与抛物线 y22px (p0)的焦点的距离是 5，则 p_.解析：抛物线 y22px (p0)的焦点坐标是( ，0) ，由两点间距离公式，得 p25.解得 p4.p2 22 32答案：4152014福建省厦门一中期末考试 已知双曲线 1 的左焦点为 F
8、，点 P 为双x216 y225曲线右支上一点，且 PF 与圆 x2y 216 相切于点 N，M 为线段 PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN | |MO|_.解析：本题综合考查直线、双曲线与圆设 F是双曲线的右焦点，连接 PF(图略) ，因为 M，O 分别是 FP，FF 的中点，所以|MO | |PF| ，所以| FN| 5，12 |OF|2 |ON|2由双曲线的定义知|PF| PF |8，故|MN| MO| |PF| |MF| FN| (|PF| PF|)12 12|FN | 8 51.12答案：116已知点 P(a,0)，对于抛物线 y24x 上任意一点 Q，都满足|PQ| a|，则
9、a 的取值范围是_解析：设 Q ，(t24，t)由|PQ |a| 得 2t 2a 2，(t24 a)即 t2(t2168a)0，所以 t2168a0，t 28a16 恒成立，则 8a160，即 a2.应填(，2答案：(，2三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分) 2014厦门高二检测求与椭圆 1 有共同焦点，且过点(0,2) 的双x2144 y2169曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程解：椭圆 1 的焦点是(0，5) 、(0,5)，焦点在 y 轴上，于是设双曲线方程是x2144 y2169 1( a0，b0)，y2a2 x2b2又双曲线过点(
10、0,2)，c5，a2，b 2c 2a 225421，双曲线的标准方程是 1，实轴长为 4，焦距为 10，离心率 e ，y24 x221 ca 52渐近线方程是 y x.2212118(12 分) 已知直线 xy m0 与双曲线 C：x 2 1 交于不同的两点 A，B，且线y22段 AB 的中点在圆 x2y 25 上，求 m 的值解：设 A，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，( x2，y 2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y 0)，由Error!得 x22mxm 220(判别式 0)，x 0 m，y 0x 0m 2m ，x1 x22点 M(x0，y 0)在圆 x2y 25 上，m 2(
11、2m )25，m1.19(12 分) 2014陕西省西工大附中月考已知 F(1,0)，直线 l：x 1，P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且 .QP QF FP FQ (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)设动直线 ykxm 与曲线 C 相切于点 M，且与直线 x1 相交于点 N，试问：在x 轴上是否存在一个定点 E，使得以 MN 为直径的圆恒过此定点 E？若存在，求出定点 E 的坐标；若不存在，说明理由解：(1)设点 P(x，y)，则 Q(1，y)，由 ，得(x1,0)(2，y)QP QF FP FQ (x1 ，y)(2，y )，化简得轨迹 C：y 24x.(
12、2)由Error!，得 k2x2(2 km 4)xm 20，由 0 ，得 km1，从而有 M(m2,2m)，N (1， m)，1m设点 E(x,0)，使得 MENE，则 0，即( xm 2)(x1)( 2m)( m )0，即ME NE 1m(1x)m 2x 2 x20，得 x1，所以存在一个定点 E(1,0)符合题意20(12 分) 2014安徽师大附中月考已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为( ，0)3(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l：ykx 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2，其中 O2 OA OB 为原点，求 k 的取值范围解：(1)设
13、双曲线方程为 1( a0，b0)，x2a2 y2b2由已知得 a ，c 2.又因为 a2b 2c 2，所以 b21，3故双曲线 C 的方程为 y 21.x23(2)将 ykx 代入 y 212x23得(13k 2)x2 6 kx90，2由直线 l 与双曲线交于不同的两点得Error!，即 k2 且 k22 得 xAxBy AyB2，62k1 3k2 91 3k2 OA OB 而 xAxBy AyBx AxB(kx A )(kxB )2 2(k 2 1)xAxB k(xAx B) 22(k 2 1) k 2 ， 91 3k2 2 62k1 3k2 3k2 73k2 1于是 2，即 0，解此不等式
14、得 b0)的两个焦点，Ox2a2 y2b2为坐标原点，点P(1， )在椭圆上，且 0，O 是以 F1F2 为直径的圆，直线22 PF1 F1F2 l：ykxm 与 O 相切，并且与椭圆交于不同的两点 A，B.(1)求椭圆的标准方程；(2)当 ，求 k 的值OA OB 23解：(1)依题意，可知 PF1F 1F2，c1， 1，a 2b 2c 2，解得 a22，b 21，c 21.1a2 12b2椭圆的标准方程为 y 21.x22(2)直线 l：ykxm 与O：x 2y 21 相切，则 1，即 m2k 21，|m|k2 1由Error!，得(12k 2)x24kmx2m 220，直线 l 与椭圆交
15、于不同的两点 A，B.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)0k 20k 0，x1x 2 ，x 1x2 ，4km1 2k2 2m2 21 2k2 2k21 2k2y1y2(kx 1m)( kx2m )k 2x1x2km( x1x 2)m 2 ，m2 2k21 2k2 1 k21 2k2 x 1x2y 1y2 ，OA OB 1 k21 2k2 23k1.22(12 分) 已知抛物线 C1：x 2y，圆 C2：x 2( y4) 21 的圆心为点 M. (1)求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离；(2)已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) 过点 P 作圆 C2 的两条切线，交抛物线
16、 C1于 A，B 两点若过 M，P 两点的直线 l 垂直于直线 AB，求直线 l 的方程解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y ，所以圆心14M(0,4)到准线的距离是 .174(2)设 P(x0，x )，A(x 1，x )，B(x 2，x )，由题意得20 21 2x00，x 01，x 1x 2.设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 yx k(xx 0)，20即 ykxkx 0x .20则 1，即(x 1)k 22x 0(4x )k(x 4) 210.|kx0 4 x20|1 k2 20 20 20设 PA，PB 的斜率为 k1，k 2(k1k 2)，则 k1，k 2 是上述方程的两根，所以 k1k 2，k 1k2 .2x0x20 4x20 1 x20 42 1x20 1将代入 yx 2 得 x2kxkx 0x 0，20由于 x0 是此方程的根，故 x1k 1x 0，x 2k 2x 0，所以kAB x1x 2k 1k 22x 0 2x 0，k MP .x21 x2x1 x2 2x0x20 4x20 1 x20 4x0由 MPAB，得 kABkMP 2x 0 1，解得 x .2x0x20 4x20 1 x20 4x0 20 235即点 P 的坐标为( ， )，所以直线 l 的方程为 y x4.235 235 3115115
