1、四 渐开线与摆线,第二讲 参数方程,学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程. 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程. 3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 渐开线,答案 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.,思考 把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状.若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数.,设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y).显然，点M由角惟一确定.,梳理 圆的渐开线及其参数方程 (1)定义 把线绕在圆周上，假设
2、线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的 叫做渐开线的基圆. (2)参数方程 设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是_.,定圆,知识点二 摆线,答案 摆线.,思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？,梳理 摆线及其参数方程 (1)定义 当一个圆沿着一条定直线 滚动时，圆周上的 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做 . (2)参数方程 设圆的半径为r，圆滚动的角为，那么摆线的参数方程是 _,无滑动地,一个定点,旋轮线,题型探究,例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.,类型一 圆的渐开线,解答,设渐开线上的任意点M(
3、x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OAAM，,则|AM| 4. 作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，,(4(cos sin )，4(sin cos ).,反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.,跟踪训练1 已知圆的渐开线方程为 (为参数)，则该基圆半径为_，当圆心角时，曲线上点A的直角坐标为_.,答案,解析,类型二 平摆线,答案,解析,圆的方程为x2y29， 圆的圆心为(0,0)，半径r3，,反思与感悟 (1)摆线的参数方程 摆线的参数方程为 (为参数)，其中r：生成圆的半径，：圆在直线上滚动时
4、，点M绕圆心作圆周运动转过的角度ABM.,(2)将参数的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.,跟踪训练2 已知一个圆的摆线的参数方程是 (为参数)，则该摆线一个拱的高度是_；一个拱的跨度为_.,6,6,解析 当时，y33cos 6为拱高； 当2时，x323sin 26为跨度.,答案,解析,达标检测,答案,1.圆 (为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是 A. B.3 C.6 D.10,1,2,3,4,2.当2时，圆的渐开线 (为参数)上的点是 A.(6,0) B.(6,6) C.(6，12) D.(，12),答案,1,2,3,4
5、,答案,解析,3.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是 A.3 B.4 C.5 D.6,1,2,3,4,所以曲线AEFGH的长是5.,1,2,3,4,4.已知一个圆的摆线方程是 (为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.,1,2,3,4,解答,解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4， 所以面积为16，,1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角. 2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程. 3.由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示.,规律与方法,本课结束,
