1、1.2 一般形式的柯西不等式,第二章 1 柯西不等式,学习目标 1.理解并掌握三维形式的柯西不等式. 2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程. 3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 三维形式的柯西不等式,思考1 类比平面向量，在空间向量中，如何用|推导三维形式的柯西不等式？,答案 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，,|，,思考2 三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？,答案 当且仅当，共线时，即0或存在实数k，使a1kb1，a2kb2，a3kb3时，等号成立.,梳理 三维
2、形式的柯西不等式,(a1b1a2b2a3b3)2,知识点二 一般形式的柯西不等式,1.一般形式的柯西不等式,(a1b1a2b2anbn)2,2.柯西不等式等号成立的条件 当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个实数k，使得_(i1,2，n)时等号成立.当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立.,aikbi,题型探究,类型一 利用柯西不等式证明不等式,命题角度1 三维形式的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等.,证明,因为题设中a，b，c不全相等，故中等号不成立，,反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西
3、不等式的形式及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.,证明 由柯西不等式知，,证明,原不等式成立.,命题角度2 一般形式的柯西不等式的应用,证明,反思与感悟 一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式.,跟踪训练2 已知a1，a2，anR，且a1a2an1，求证：,证明,(a1a2an)21，,类型二 利用柯西不等式求函数的最值,例3 (1)若实数
4、x，y，z满足x2y3za(a为常数)，则x2y2z2的最小值为_.,答案,解析,即14(x2y2z2)a2，,解 xyz1，,解答,(123)236.,反思与感悟 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件.,跟踪训练3 已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4. (1)求abc的值；,解答,解 因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c， 当且仅当axb时，等号成立. 又a0，b0，所以|ab|ab， 所以f(x)的最小值为abc， 又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.,解 由(1)知abc4，由柯西不等式，得,解答,达标检测,1,2,4,3,答案,解析,1,2,4,3,a2b3c的最小值为9.,答案,解析,1,2,4,3,答案,解析,16,当且仅当abcd时取等号.,1,2,4,3,证明,规律与方法,2.要求axbyz的最大值，利用柯西不等式(axbyz)2(a2b212)(x2y2z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧.对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它.,本课结束,
