1、 3.1 空间向量及其运算（练习）学习目标 1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.学习过程 一、课前准备：（阅读课本 p115）复习：1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模 ； 叫零向量，记着 ； 具有 叫单位向量.2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.3.实数 与向量 a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|a| .(2)当 0 时，a 与 A. ；当 0 时，a 与 A. ；当 0 时，a .4. 向量加法和
2、数乘向量运算律：交换律：ab 结合律：(ab) c 数乘分配律：(ab) 5. 表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.空间向量共线定理：对空间任意两个向量 （ ） ， 的充要条件是存在唯一,ab0/ab实数 ， 使得 ； 推论： l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 的直线，对空间的任意一点 O，点P 在直线 l 上的充要条件是 6. 空间向量共面：共面向量： 同一平面的向量. 定理：对空间两个不共线向量 ，向量 与向量 共面的充要条件是存在 ,abp,ab， 使得 .推论：空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是： 存在 ，
3、使 对空间任意一点 O，有 7. 向量的数量积： .ab8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j ,k表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a，且设 i、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 ，使得 ，则称有序,xyzxyz实数组 为向量 a 的坐标，记着 .,xzp10. 设 A ，B ，则 .1(,)y2(,)xyzAB11. 向量的直角坐标运算：设 a ，b ，则123(,)123(,)ab ； ab ；a ； ab 动手试试1在下列命题中：若 a、b
4、 共线，则 a、b 所在的直线平行；若 a、b 所在的直线是异面直线，则 a、b 一定不共面；若 a、b、c 三向量两两共面，则 a、b、c 三向量一定也共面；已知三向量 a、b、c，则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为pxaybzc 其中正确命题的个数为（ ）A0 B. 1 C. 2 D. 32在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，向量 、 、 是（ ）1ADC1A有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量3已知 a（2，1，3） ，b（1，4，2） ，c（7，5，） ，若 a、b、c 三向量共面，则实数 =（ ）A. B. C. D. 676574若 a、b 均为非
5、零向量，则 是 a 与 b 共线的（ ）|A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件5已知ABC 的三个顶点为 A（3，3，2） ，B （4，3，7） ，C（0，5，1） ，则 BC 边上的中线长为（ ）A2 B3 C4 D56. 则 （ ）,aijkbijkabA15 B5 C3 D1 典型例题例 1 如图，空间四边形 OABC 中， ， ，点 M 在,OAaBbCcOA 上，且 OM=2MA,点 为 的中点，则 .NMN变式：如图，平行六面体 中， ， ,点 分别是ABCD,ABaDbAc,PMN的中点，点 Q 在 上，且 ,用基底 表示下列向量：,C
6、AD 41, ; ; ; .PMN例 2 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，,点 是 的中点，求证：190,2,6ABCAM1C.1M变式：正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长为 2，底面边长为 1，点 M 是 的中点，在直线BC上求一点 N，使得1CM学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 ， ， ， 则 （ ）AaCBb1c1ABA. B. abcabcC. D. 2. 、 （ ）,m(,nR向 量 且 0)则A B 与 不平行也不垂直/mC. ， D以上情况都可能.3. 已知 + + ，| |2，| |3，| | ，则向量 与 之间的夹角 为（ abc0abc19ab,ab）A30 B45 C60 D以上都不对4.已知 且 与 互相垂直，则 的值是（ ）1,k2akA. .1 B. C. D. 53755. 若 A(m1，n1,3) ， B. (2m,n,m2n) ，C(m3,n3,9)三点共线，则 m+n= 课后作业 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 分别是 的中点.1ABCD,EFG11,DB 求证： ；EF 求 与 所成角的余弦；G 求 的长.C
