1、课题：11.1 正弦定理教学目标：(1)掌握正弦定理及其证明,会初步运用正弦定理解斜三角形 ,培养数学应用意识;(2)在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力;(3)提供适当的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣;在合作学习中,学会学习,学会交流,相互评价,提高学生的合作意识与交流能力.教学重点：正弦定理及其证明过程教学难点：正弦定理的推导与证明授课类型：新授课课时安排：1 课时教 具：几何画板 教学过程：一.问题情境引言：从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造,人们都离不开对几何图形的测量,设计和计算.测量河流两岸码头
2、之间的距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等等问题,都可以转化为求三角形的边与角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系.探索 1:在 Rt ABC,C=900,那么边角之间有哪些关系?sinA= ,sinB= ,sinC= =1, cabc即 c= ,c= ,c= AsinBiCsin = =aibii探索 2:在任意三角形里, = = 还成立吗?AasinBbiCcsin(几何画板演示)二.学生活动数学实验:分组一:对于锐角三角形验证结论是否成立 ?分组二:对于钝角三角形验证结论是否成立 ?c baDBAC bac DAB C数学猜想: = = ;AasinBbiCcsin
3、三.建构数学:正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = = =2R（R 为ABC 外接圆半径）AasinBbiCcsin数学证明:证法一:证明二：（等积法）在任意斜ABC 当中 SABC = AbcBacCbsin21sisin21两边同除以 即得： = =abc21AasinBbiCcsin证明三：（外接圆法）如图所示， RCDA2sini同理 =2R， 2RBbci证明四：（向量法）abcOBCA Dbac中中中sinB=ADc中sinC=sin中1800-C中=ADb中中csinB=bsinC中中bsinB=csinC中中中中中 asinA=csinC中中asinA
4、=bsinB=csinC 中中asinA=bsinB=csinC中中中中中 asinA=csinC中bsinB=csinC中csinB=bsinC中sinB=ADc中sinC=ADb中中中中c baD DBACB C探索活动 3:观察正弦定理的结构,看它有什么特点?你能用语言把它叙述出来吗?定理中的正弦改成余弦,结论还成立吗?正弦定理具有结构和谐,对称,体现了数学的和谐美与对称美;若改成余弦,除正三角形外,其余三角形都不成立.探索活动 4:这个式子包含了哪些等式?每个等式有几个量?它可以解决斜三角形中的哪些类型的问题?三个等式: = , = , = ;AasinBbisinCciAasinci
5、每个式子中有四个量,如果知道其中三个可以求出第四个?正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 奎 屯王 新 敞新 疆 （见图示）已知 a, b和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:(原因是三角形全等的判定定理)若 A 为锐角时:)( ba ,sin i锐 角一 解 一 钝一 锐二 解 直 角一 解无 解中ABC中,中BC=BA+ACBCAD=(BA+AC)AD =BAAD+ACAD0=BAADcos(90+B)+ACADcos中C中中中中中中中中,=90-C;中C中中中中,=C-90.中
6、中中 csinB=bsinC中bsinB=csinC,中中asinA=csinC,中中asinA=bsinB=csinC.abcDAB Cb a b a ba b aa一一一a,b一A一一一一一一一一一一一一一一一一 abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1A BACB2CH H H若 A 为直角或钝角时: )( a锐 角一 解无 解四.数学运用：例 1 :在ABC 中,A=30 0,C=1000,a=10,求 b,c注:这是已知两角以及其中一角的对边,求另一角对边,方法:直接用正弦定理.例 2:在ABC 中:(1)已知 a=16,b=26,A=300,求
7、B,C,c;(2)已知 a=30,b=26,A=300,求 B,C,c;(3)已知 a=25,b=11,B=300,解这个三角形;注:这是已知两边以及其中一边的对角,求另一边对角,方法:直接用正弦定理,注意比较确定几解.五.巩固练习：1 奎 屯王 新 敞新 疆 P9 练习2 奎 屯王 新 敞新 疆 在ABC 中， ,则 k 为( )CcBbAasinisinA 奎 屯王 新 敞新 疆 2R B 奎 屯王 新 敞新 疆 R C 奎 屯王 新 敞新 疆 4R D 奎 屯王 新 敞新 疆 (R 为ABC 外接圆半径)213 奎 屯王 新 敞新 疆 ABC 中，sin 2A=sin2B+sin2C，则ABC 为( )A 奎 屯王 新 敞新 疆 直角三角形 B奎 屯王 新 敞新 疆 等腰直角三角形C 奎 屯王 新 敞新 疆 等边三角形 D 奎 屯王 新 敞新 疆 等腰三角形 P六.回顾小结 本节课通过自己的努力发现并证明了正弦定理，我们经历了数学实验数学猜想数学证明的科学治学历程,得到了正弦定理,其表达式具有和谐性,对称性的特点.通过本节课的学习,我们应该感受到数学的确是一个神奇的世界,不同的人可以用不同的方法去解决相同的问题,一个人也可以用不同的方法解决同一个问题,只要你肯探索并善于探索,总会有丰厚的回报.七.课后作业八.教后感:
