1、2019 年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题十 选修内容考向一 坐标系与参数方程【高考改编回顾基础】1 【直角坐标与极坐标的互化、直线与圆的位置关系】 【2018 年理北京卷】在极坐标系中，直线与圆 相切， 则 a=_【答案】【解析】因为 ，由 ，得 ，由 ，得 ，即 ，即 ，因为直线与圆相切，所以2.【参数方程与普通方程的互化、直线与圆锥曲线的位置关系】 【2017 课标 1，文理】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos,inxy（ 为参数），直线 l 的参数方程为. （1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值
2、为 17，求 a.（2）直线 l的普通方程为 ，故 C上的点 到 l的距离为.当 4a时， d的最大值为 917a.由题设得 917a，所以 8a；当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 16.综上， 8a或 16.3. 【极坐标方程与参数方程相互交 汇】【2017 课标 II，文理】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C的极坐标方程为 cos4.（1）M 为曲线 1C上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ,求点 P 的轨迹 2C的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为 (2,)3，点 B 在曲线 2C上，求 OAB 面积的最大值.【
3、答案】(1) ；(2) 23.【解析】（2）设点 B 的极坐标为 ,由题设知 ,于是 OAB 面积当 12时，S 取得最大值 23.所以 OAB 面积的最大值为 .【命题预测看准方向】综观各种类型的高考试卷，独立考查坐标系、参数方程有之，也有二者综合考查的题目，较多的是考查极坐标、参数方程与普通方程的互化，转化成普通方程下曲线位置关系的研究，求点的坐标、两点间的距离、距离的范围或最值、求动点的轨迹方程等.预测 2019 年不会有太大的变化.【典例分析提升能力】【例 1】 【2018 届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一） 】设过原点 O的直线与圆 的一个交点为 P， M点为线段 OP的中点，以原
4、点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求点 的轨迹 C的极坐标方程；（）设点 A的极坐标为 3,，点 B在曲线 C上，求 AB面积的最大值.【答案】 （） 4cos， 2k， Z（） 32.【解析】（）设 ,M，则 ,P又点 P的轨迹的极坐标方程为 8cos 28cos， 4s， 2k， Z.（）直线 OA的直角坐标方程为 3yx点 ,0到直线的距离为 d.【趁热打铁】 【2018 届辽宁省丹东市高三上学期期末】在直角坐标系 xOy中，点 1,2P在倾 斜角为 的直线 l上以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的方程为 6sin（1）写出 的参数方程及 C的直角
5、坐标方程；（2 ）设 l与 相交于 A， B两点，求 1PAB的最小值【答案】 （1） （ t为参数） ， （2 ） 7 【解析】（1 ） l的参数方程为 （ t为参数） 由 6sin得 ， C的直角坐标方程是 （2）将 l的参数方程代入 的直角坐标方程得 因为 ， ， 1270t，所以 所以 1PAB ，当 45时等号成立因此取最小值 27 【例 2】 【四川省绵阳市 2019 届高三 1 月诊断】在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程是（ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线
6、与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，已知OMOPOQ）10，求 t 的值.【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程为 ，即 ， ，故曲线 C 的极坐标方程为 （2）将 代入 中，得 ，则 | OM|= 将 代入 中，得 设点 P 的极径为 ，点 Q 的极径为 ，则 所以| OP| |OQ|=5又| OM| |OP| |OQ|=10，则 5=10 t= 或【趁热打铁】 【2018 届广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 】在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 为参数， 0） ，曲线 C的参数方程为 为参数）
7、 ，以坐标原点 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 C的极坐标方程；（2）设 与 l交于 ,MN两点（异于原点） ，求 OMN的最大值.【答案】 （1）曲线 C的极坐标方程为 ；（2） 4.【解析】（1）曲线 的普通方程为 ，化简得 ，则 ，所以曲线 C的极坐标方程为 .（2）由直线 l的参数方程可知，直线 l必过点 0,2，也就是圆 的圆心，则 ，不妨设 ，其中 ,，则 ，所以当 4 ， OMN取得最大值为 42.【例 3】 【2018 届华大新高考联盟高三 1 月】以平面坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知圆 1C的
8、参数方程为 为参数） ，圆 2C的极坐标方程为 .（1）分别 12,C写出的直角坐标方程；（2）已知点 MN分别是圆 12,C上的动点，点 P的坐标为 2,，求 PNM的最大值.【答案】(1) (2) 35【解析】（1）由圆 1C的参数方程 为参数） ，得 ，由圆 2的极坐标方程为 ，得 ，整理得 .（2） .【趁热打铁】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 (t 为参数，t0)，其中 0 ，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 : sin,C3 : (1)求 C2与 C3交点的直角坐标； (2)若 C1与 C2相交于点 A，C 1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大
9、值【答案】(1) (2)4【解析】 (1)(2) 当 56时， max|4AB【例 4】将圆 21y上每个点的横坐标变为原来的 4 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 C，以坐标原点为极点， x轴的非负轴分别交于 ,AB半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为：，且直线 l在直角坐标系中与 ,xy轴分别交于 ,AB两点.（1）写出曲线 C的参数方程，直线 的普通方程；（2）问在曲线 上是否存在点 P，使得 AB的面积 3ABPS，若存在，求出点 P的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）曲线 C的参数方程为 ，直线 l的普通方程为 .（2）点P的坐标为 69,5.【解析】（1）曲
10、线 ，故曲线 C的 参数方程为 (为参数) 直线 l的普通方程为： .（2）设曲线 C上点 ，点 P到直线 l的距离为 d，则，又 62AB ，故 ，当时取等号，即 ，此时 19,5P，故在曲线 C上存在点 P，使得ABP的面积 3ABPS，点 的坐标为 169,5.【趁热打铁】已知在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 tyx3， （ 为参数） ，以坐标原点为 极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 （）求直线 l的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（）设点 P是曲线 C上的一个动点， 求它到直线 l的距离 d的取值范围【答案】 （）直线 l的普通方程为： ，曲线
11、 的直角坐标方程为：；（）【解析】 （）直线 l的普通方程为： ； 2 分 曲线 C的直角坐标方 程为： 5 分（）设点 )(R，则所以 d的取值范围是 10 分【方法总结全面提升】(1)在将直角坐标化为极坐标求极角 时，易忽视判断点所在的象限(即角 的终边的位置)(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视 【反思提升】证明绝对值不等式|a|b|ab|a|b|.主要的三种方法：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明（2）利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明（3）转化为函数问题，数形结合进行证明【误区警示】当 x的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如 的函数的最小值，以及解析式形如 的函数的最小值和最大值，否则去绝对 号，利用分段函数的图象求最值利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标
