1、活页作业 (七) 二项式定理1(x 2y)7 的展开式中的第 4 项为( )A280x 4y3 B280x 4y3C35x 4y3 D35x 4y3解析：(x2y) 7的展开式中的第 4 项为 T4C x4(2y) 3( 2) 3C x4y3280x 4y3.37 37答案：A2在二项式 5 的展开式中，含 x4 的项的系数是( )(x2 1x)A10 B10C5 D20解析：由二项式定理可知，展开式的通项为 C (1) rx10 3r，则 103r4 得 r2，所r5以含 x4项的系数为 C (1) 210.25答案：A3若 6 的展开式中 x3 项的系数为 20，则 a2b 2 的最小值为
2、 ( )(ax2 bx)A1 B2C3 D4解析：由二项式定理的展开公式可得：T r1 C (ax2)6r rC a6r brx123r ，x 3项为r6 (bx) r6123r 3r 3，因为 6的展开式中 x3项的系数为 20，所以(ax2 bx)C a3b3 20a 3b31ab1 ，由基本不等式可得 a2b 22ab2，当且仅当 ab 时等号36成立答案：B4设常数 aR，若 5 的二项展开式中 x7 项的系数为10，则 a_.(x2 ax)解析：T r1 C (x2)5r r,2(5r)r7r1，故 C a 10a2.r5 (ax) 15答案：25在 x(1 )6 的展开式中，含 x
3、3 项系数是_( 用数字作答 )x解析：(1 )6展开式中通项 Tr1 C ( )r，令 r4 可得，T 5C ( )415x 2， (1x r6 x 46 x)6展开式中 x2项的系数为 15，在 x(1 )6的展开式中，含 x3项的系数为 15.x x答案：156设 m，nN，f(x )(1x) m(1x) n，(1)当 mn7 时，f(x )a 7x7a 6x6a 1xa 0，求 a0a 2a 4a 6.(2)当 mn 时， f(x)展开式中 x2 的系数是 20，求 n 的值(3)f(x)展开式中 x 的系数是 19，当 m，n 变化时，求 x2 系数的最小值解： (1)赋值法：分别令
4、 x1，x1，得 a0a 2a 4a 6128.(2)T32C x220x 2，n5.2n(3)mn19， x2的系数为：C C m(m1) n(n1) (mn) 22mn( mn)2m 2n12 12 12171mn171(19n)n 2(n 192) 3234所以，当 n10 或 n9 时，f(x)展开式中 x2的系数最小值为 81.7若直线 3x( a1)y 10 与直线 ax2y10 互相垂直，则 5 展开式( 1x ax2)中 x 的系数为( )A40 B10C10 D40解析：由题意可得 1，解得 a2.则 5 5的通项公式为a2( 3a 1) (ax2 1x) (2x2 1x)T
5、r1 C 25r (1) rx103r ，令 103r1，求得 r3，故 5展开式中 x 的系数为r5 (2x2 1x)10440.答案：D8如果 n的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为( )(3x2 2x3)A3 B5C6 D10解析： n展开式的通项为 C (3x2)nr rC 3nr (2) rx2n5r .(3x2 2x3) rn ( 2x3) rn若 C (3x2)nr rC 3nr (2) rx2n5r 为非零常数项，必有 2n5r0，n r，n 的rn ( 2x3) rn 52最小值为 5.答案：B9(2015新课标卷)( x2xy) 5 的展开式中，x 5y2 的
6、系数为 ( )A10 B20C30 D60解析：(x 2xy )5x(x1)y 5，T 3C x(x1) 3y2C x3(x1) 3y2，25 25所以 x5y2的系数为 C C 30. 25 13答案：C10在(1x) 6(1y )4 的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m，n)，则 f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)_.解析：(1x) 6(1y )4的展开式中，含 x3y0的系数是：C C 20.f(3, 0)20；含 x2y1的36 04系数是：C C 60.f(2,1)60；含 x1y2的系数是 C C 36.f (1,2)36；含 x0y3的系数是26 14 16
7、24C C 4.f(0,3)4；06 34f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)120.答案：12011已知(a 21) n展开式中的各项系数之和等于 5 的展开式的常数项，而(165x2 1x)(a21) n的展开式的系数最大的项等于 54，求 a 的值解：由 5，得 Tr1 C 5r ( )r 5r C x ，令 Tr1 为常数项，(165x2 1x) r5(165x2) 1x (165) r5 20 5r2则 205r 0，r4，常数项 T5C 16.45165又(a 21) n展开式的各项系数之和等于 2n，由题意得 2n 16， n4.由二项式系数的性质知，(a 2 1)n
8、展开式中系数最大的项是中间项T3， C a454 ， a .24 312已知 n的展开式的各项依次记为 a1(x)，a 2(x)，a n(x)，a n1 (x)设函数(1 12x)F(x)a 1(x)2a 2(x)3a 3(x)na n(x)(n1)a n1 (x)若 a1(x)，a 2(x)，a 3(x)的系数依次成等差数列(1)求正整数 n 的值(2)求证：任意 x1，x 20,2，恒有 |F(x1)F (x2)|2 n1 (n 2)1.(1)解：由题意知 ak(x)C k1 ，k1,2,3，n1.k 1n (12x)a1(x)，a 2(x)，a 3(x)的系数依次为 C 1，C ，C 2
9、 ， 2 10n 1n12 n2 2n(12) nn 18 n2.解得 n8 或 n1(不合题意，舍去 )n8.nn 18(2)证明：F( x) a1(x)2a 2(x)3a 3(x)na n(x)(n1)a n1 (x)C 2C 3C0n 1n(12x) 2n2nC n1 (n1)C n.(12x) n 1n (12x) n(12x)令 x2，F(2)C 2C 3C nC ( n1)C ；0n 1n 2n n 1n n令 x0，F(0)1.设 SnC 2C 3C nC ( n1)C ，0n 1n 2n n 1n n则 Sn(n1)C nC 3C 2C C ，考虑到 C C ，将以上两式相n n 1n 2n 1n 0n kn n kn加得 2Sn( n2)(C C C C C )0n 1n 2n n 1n nSn( n2)2 n 1.又当 x0,2时，F(x) 0 恒成立，从而 F(x)是0,2 上的单调增函数任意 x1，x 20,2，|F(x 1)F(x 2)|F(2)F(0)(n 2)2 n1 1.
