1、活页作业(八) “杨辉三角”与二项式系数的性质1(1x) 13 的展开式中系数最小的项为 ( )A第 6 项 B第 7 项C第 8 项 D第 9 项解析：展开式中共有 14 项，中间两项(第 7,8 项) 的二项式系数最大由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数故系数最小的项为第8 项，系数最大的项为第 7 项答案：C2(1x) n(3x )的展开式中各项系数的和为 1 024，则 n 的值为( )A8 B9C10 D11解析： 由题意知(11) n(31) 1 024，即 2n1 1 024，n9.答案：B3设(1x) (1x )2(1x) 3(1x) na
2、0a 1xa 2x2a nxn，当a0a 1a 2a n254 时 n 等于( )A5 B6C7 D8解析：令 x1，则 a0a 1a n22 22 32 n， 254，n7.21 2n1 2答案：C4(2015北京卷)在(2x) 5 的展开式中，x 3 的系数为_ (用数字作答)解析：(2x) 5的展开式中第 r1 项 Tr1 C 25r xr，令 r3，得r5T4C 22x340x 3x3的系数为 40.35答案：405(2015全国卷)( ax )(1x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则a_.解析：(1x) 414x 6x 24x 3x 4故(ax)(1x) 4的
3、展开式中 x 的奇次幂的项分别为4ax,4ax3，x,6x 3，x 5，其系数和 4a4a16132，解得 a3.答案：36设(2 x)100a 0a 1xa 2x2a 100x100，求下列各式的值3(1)a0；(2)a1a 2a 3a 4a 100；(3)a1a 3a 5a 99；(4)(a0 a2 a 100)2(a 1 a3a 99)2；(5)|a0|a 1|a 100|.解：(1)令 x0，则展开式为 a02 100.(2)令 x1，可得 a0a 1a 2a 100(2 )100(*)，所以 a1a 2a 100(2 )3 31002 100.(3)令 x1，可得 a0a 1a 2a
4、 3a 100(2 )100.与(2)中(*)式联立相减得 a1a 3a 99 .32 3100 2 31002(4)原式(a 0a 2a 100)(a 1a 3a 99)(a0a 2 a 100)(a 1a 3a 99)(a 0 a1a 2a 100)(a0a 1a 2a 3a 98a 99a 100)(2 )(2 )3 31001 1001.(5)Tr1 ( 1) rC 2100r ( )rxr，r100 3a2k1 0(kN)原式a 0a 1a 2a 3a 100(2 )100.37若(x 3y) n展开式的系数和等于(7 ab) 10 展开式中的二项式系数之和，则 n 的值为( )A5
5、 B8C10 D15解析： (7ab) 10展开式的二项式系数之和为 210，令 x1，y 1，则由题意知，4n2 10，解得 n5.答案：A8若(12x) 2 017a 0a 1xa 2 013x2 017(xR )，则 的值为( )a12 a222 a2 01722 017A2 B0C1 D2解析：令 x ，可得 a0 0，所以 a 0，12 a12 a222 a2 01722 017 a12 a222 a2 01722 017再令 x0，可得 a01，所以 1.a12 a222 a2 01722 017答案：C9如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b 是某行的前两个数，当 a7
6、时，b 等于 ( )A20 B21C22 D23解析：由 a7，可知 b 左肩上的数为 6，右肩上的数为(115) 即 16，所以b61622.答案：C10杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关如图是一个 7 阶的杨辉三角给出下列四个命题：记第 i(iN *)行中从左到右的第 j(jN *)个数为 aij，则数列a ij的通项公式为 C ；ji第 k 行各数的和是 2k；n 阶杨辉三角中共有 个数；n 122n 阶杨辉三角的所有数的和是 2n1 1.其中正确命题的序号为_解
7、析：据第 i 行各个数是(ab) i的展开式的二项式系数，故数列 aij的通项公式为 C，故错；各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和，第 k 行各数的和是 2k，故j 1i正确；第 k 行共有 k1 个数，从而 n 阶杨辉三角中共有 12( n1)个数，故错；n 阶杨辉三角的所有数的和是 122 22 n2 n1 1，故n 1n 22正确答案：11已知(1x) n展开式的第五、六、七项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项解：在(1x) n的展开式中，第五、六、七项的系数就是它们的二项式系数，即分别是C ，C ，C .有 C C 2C ，即 n221n980，解得 n14 或 n7.4n
8、5n 6n 6n 4n 5n当 n14 时，(1x) n展开式的系数最大的项为 T8C x73 432x 7；714当 n7 时，(1x) n展开式中系数最大的项为 T4C x3 35x3或 T5C x435x 4.37 4712已知(1mx )n(mR，nN *)的展开式的二项式系数之和为 32，且展开式中含 x3项的系数为 80.(1)求 m，n 的值；(2)求(1 mx)n(1x )6 展开式中含 x2 项的系数解：(1)由题意，2 n32，则 n5；由通项 Tr1 C mrxr(r0,1，5) ，则 r3，所r5以 C m380，所以 m2；35(2)即求(1 2x) 5(1x) 6展开式中含 x2项的系数，(12x) 5(1x) 6C C (2x)1C (2x)2(C C x C x2)05 15 25 06 16 26(110x40x 2)(16x15x 2)，所以展开式中含 x2项的系数为11510(6)4015.
