1、阶段质量评估( 一)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1A C ( )34 24A6 B12C18 D20解析：A C 432 18.34 244321答案：C23 位数学家，4 位物理学家，站成两排照像其中前排 3 人后排 4 人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有( )A5 040 种 B840 种C720 种 D432 种解析：第一类：3 位数学家相邻在前排有 A A ；第二类，三位数学家相邻在后排，先3 4从 4 位物理学家中选 3 位排在前排有 A ，将 3 位
2、数学家合一，与剩下的一名物理学家在后34排排列有 A ，3 位数学家再排有 A ，此类共有 A A A ，综上共有 A A A A A 4322 3 34 2 3 3 4 34 2 3种答案：D35 名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去” ，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )AC B2 525C5 2 DA 25解析：每名学生有两种情况， “去”或“不去” ，根据分步乘法计数原理不同情况的种数为 25.答案：B4从集合1,2,3，10中，选出 5 个数组成子集，使得这 5 个数中任何 2 个数的和不等于 11，则这样的子集共有( )A10 个 B16 个C
3、20 个 D32 个解析：和等于 11 的 2 个数有(1,10)，(2,9)，(3,8) ，(4,7)，(5,6)，符合题意的子集个数是 C C C C C 32.故选 D.12 12 12 12 12答案：D5若对于任意的实数 x，都有 x3a 0a 1(x2)a 2(x2) 2a 3(x2) 3，则 a2 的值是( )A3 B6C9 D12解析：先令 x2，得 a08，再令 x1，得 8a 1a 2a 31，最后令 x3，得8a 1a 2a 327，将相加，得 162a 228a 26.答案：B6若 xx 2x n 能被 7 整除，则 x，n 的值可能为( )Ax5，n5 Bx 5，n4
4、Cx 4，n 4 Dx4，n3解析：xx 2x n(1 x) n1，检验得 B 正确答案：B7若(x )7 的展开式中 x 项的系数为 280，则 a( )1axA2 B2C D.12 12解析：因为 Tr 1C x7r rC rx72r ，由 72r1，得 r3，所以r7 ( 1ax) r7( 1a)C 3280 ，解得 a .37( 1a) 12答案：C8设(x 1)(2x1) 10a 0a 1(x2)a 2(x2) 2a 11(x2) 11，则a1a 2a 3a 11 的值是( )A3 10 B0C3 10 D5 10解析：在所给的等式中，令 x2，可得 a03 10；再令 x1，可得a
5、0a 1a 2a 3a 110，所以 a1a 2a 3a 113 10.答案：C9. 8(nN *)的展开式中含有常数项为第 ( )项(3x 1x)A4 B5C6 D7解析：由于 8(nN *)的展开式的通项公式为 Tr1 C (3x)8r ( )(3x 1x) r8 1xr 3nr C x82r ，令 82r0 ，则 r4， 8(nN *)的展开式中含有常数项为第 5r8 (3x 1x)项答案：B10绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串 3 颗(如图)规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有( )A6
6、 种 B12 种C20 种 D40 种解析：法一：(树形图)如图所示，先吃 A 的情况，共有 10 种，如果先吃 D，也有 10 种情况，所以不同的吃法有 20 种方法二 依题意，本题属定序问题，所以有 20(种)A6A3A3答案：C11用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数，其中有且只有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数是( )A36 B48C72 D120解析：第一步选一个奇数夹在两个偶数之间，有 3 种选法，第二步把这三个数看成一个整体与另外两个奇数进行全排，有 A 种排法，第三步两个偶数再排，有 2 种方法，共3有 3A 236 种3答案：A12. 从 1、2、3、4、5
7、、6 这六个数中，每次取出两个不同数记为 a、b，则共可得到 3的不同数值的个数( )baA20 B22C24 D28解析：用 1,2,3,4,5,6 中取出两个不同的数组成 共有 A 30 个；其中 ， ，ba 26 12 24 36 13 26 且 ， ， ，共可得到 3021121122 个 3 的不同数值23 46 21 42 63 31 62 32 64 ba答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有_个解析：C 332，或 C C 332.37 36 26答案：
8、3214从 1,2,3,4,5,6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有_个(用数字作答)解析：先选后排，题中没有重复数字的三位数共有 C C A 54，答案为 54.13 23 3答案：5415若 n 的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(13x) na 0a 1xa 2x2a nxn，(x2 1x)则 a1a 2a n 的值为_解析：由二项式定理可得通项公式：T r1 C (x2)nk kC x2n2k (1) kxk (1)kn ( 1x) knkC x2n3k 因含 x 的项为第 6 项，故 k5,2n3k 1n8，令 x0(130)kn
9、8a 0a 01，令 x1(1 31) 8(2)8a 0a 1a 8a 1a 2a 82561255.答案：25516甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_( 用数字作答) 解析：当每个台阶上各站 1 人时有 A C 种站法，当两个人站在同一个台阶上时有3 37C C C 种站法，因此不同的站法种数有 A C C C C 210126336(种) 23 17 16 3 37 23 17 16答案：336三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10
10、分)在杨辉三角中，每一个数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行如下：(1)利用杨辉三角展开(1x )6；(2)求 0.9986 的近似值，使误差小于 0.001；(3)在杨辉三角中的哪一行会出现相邻的数，它们的比是 345?解：(1)由杨辉三角知，第 6 行二项式系数为：1,6,15,20,15,6,1. 所以( ab)6a 66a 5b15a 4b220a 3b315a 2b46ab 5b 6.令其中 a1，bx，得(1x )616x15x 220x 315x 46x 5x 6.(2)0.9986(1 0.002)6160.002150.002 2200.002 3150.002
11、 460.002 50.002 6160.0020.988.(3)设在第 n 行出现，并设相邻的 3 个数分别是 C ，C ，C ，那么有 C Ck 1n kn k 1n k 1nC 345.解得 n62，k27，即第 62 行，此时 C C C 345.kn k 1n k 1n kn k 1n18(本小题满分 12 分)在 10 的展开式中，(x 23x)(1)写出展开式中含 x2 的项；(2)如果第 3r 项和第 r2 项的二项式系数相等，求 r 的值解析：(1)T k1 C x10k k(1) k2kC x10 k.令 10 k2，得 k6，k10 ( 23x) k10 43 43含 x
12、2的项是(1) 626C x10 62 6C x21 3440x 2.61043 610(2)C C ，3r1 r1 或 3r1r110， r1 或 r (舍去) ， r1.3r 110 r 1105219(本小题满分 12 分)五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：(1)甲必须在排头；(2)甲、乙相邻；(3)甲不在排头，并且乙不在排尾；(4)其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻解：(1)特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头” 不动，再排其它 4 个位置，有 A 种，所以共有：A 24 种；4 4(2)把甲、乙看成一个人来排有 A 种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相
13、邻排4法种数为 A A 48 种；4 2(3)甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：A 2A A 78 种；5 4 3(4)先将其余 3 个全排列 A 6，再将甲、乙插入 4 个空位 C 6，所以，一3 24432共有 A C 36 种不同排法3 2420(本小题满分 12 分)(1)求 9 的展开式中的常数项；(1x x2)(2)已知 x10a 0a 1(x2)a 2(x2) 2a 10(x2) 10，求 a1a 2a 3a 10 的值解：(1)展开式通项为 Tr1 C 9r r.由 9r ，可得 r6.因此展开式的常数r9(1x) ( x2) r2项为第 7 项：T 61 C 9 6 6
14、.69(1x) ( x2) 212(2)恒等式中赋值，分别令 x2 与 x1，得到Error!然后两式相减得到a1a 3a 1012 101023.21(本小题满分 12 分)已知 n(其中 n15)的展开式中第 9 项，第 10 项，第 11( x 3x)项的二项式系数成等差数列(1)求 n 的值；(2)写出它展开式中的所有有理项解：(1)( )x(其中 n15)的展开式中第 9 项，第 10 项，第 11 项的二项式系数分别x 3x是 C ，C ，C ，依题意得 C C 2C ，即 28n 9n 10n 8n 10n 9nn！8！ n 8！ n！10！ n 10！.化简得 90(n 9)(
15、n8)210( n8)，即 n237n3220.解得 n14 或n！9！ n 9！n23.因为 n15，所以 n14.(2)( )14展开式的通项 Tr1 C x x C x (r0,1,2，14)，当且仅当x 3x r1414-r2r3r1442-r2r 是 6 的倍数时，该项为有理项因为 r0,1,2，14，符合条件的只有 r0,6,12，所以展开式中的有理项共有 3 项，分别是 T1C x7x 7；T 7 C x63 014 614003x6；T 13C x591x 5.12422(本小题满分 12 分)把 4 个男同志和 4 个女同志均分成 4 组，到 4 辆公共汽车里参加售票劳动，如
16、果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况(1)有几种不同的分配方法？(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？(3)男同志和女同志分别分组，有几种不同的分配方法？解析：(1)男、女合在一起共有 8 人，每辆车上 2 人，可以分 4 个步骤完成，先安排 2人上第 1 辆车，共有 C 种，再上第 2 辆车共有 C 种，再上第 3 辆车共有 C 种，最后上28 26 24第 4 辆车共有 C 种这样按分步计数原理，不同的分配方法有 C C C C 2 520( 种)2 28 26 24 2(2)要求男、女各 1 人，因此先把男同志安排上车，共有 A 种不同方法同理，女同4志也有 A 种方法，由分步计数原理，有 A A 576( 种) 4 4 4(3)男、女分别分组，4 个男的平分成两组共有 3 种，4 个女的分成两组也有 3C242 C242种，这样分组方法就有 339 种，因而不同的分配方法为 9A 216( 种)4
