1、第三讲 三 排序不等式一、选择题1设 a1，a 2，a n都是正数，b 1，b 2，b n是 a1，a 2，a n的任意一个排列，则 a1b a 2b a nb 的最小值是( ) 11 12 1nA1 Bn Cn 2 D无法确定解析：设 a1a 2a n0.可知 a a a ，由排序原理，得 1n 1n 11a1b a 2b a nb a 1a a 2a a na n. 11 12 1n 11 12 1n答案：B2已知 a，b，c 为正数，且 m，n，p 是 a，b，c 的一个排列，pa 2b 2c 2， Qmanb pc，则 P，Q 的大小关系是( )AP Q BPQCPbc0，由排序原理：
2、顺序和乱序和，得a2b 2c 2ma nbpc，即 PQ.答案：B3设 a1，a 2，a 3 为正数，E ，Fa 1a 2a 3，则 E，F 的关系是( )a1a2a3 a2a3a1 a1a3a2AE F解析：不妨设 a1a 2a 30，于是 ，a 2a3a 3a1a 1a2，由排序不等式：顺1a1 1a2 1a3序和乱序和得， a1a2a3 a2a3a1 a1a3a2 a1a2a3 a1a3a2 a2a3a1 a1a3 a2a3 a1a21a3 1a2 1a1a 1a 3a 2，即 a 1a 2a 3.a1a2a3 a2a3a1 a1a3a2答案：B4(11) 的取值范围是( )(1 14)
3、 (1 13n 2) (1 161)A(21，) B(61，)C(4，) D(3 n2 ，)解析：令 A(11) (1 14) (1 13n 2) ，21 54 87 3n 13n 2B ，32 65 98 3n3n 1C .43 76 109 3n 13n由于 ， ， ，213243 546576 8798109 0，3n 13n 2 3n3n 13n 13n所以 ABC0.所以 A3ABC.由题意知 3n261，所以 n21.又因为 ABC3n164.所以 A4.答案：C5一组实数为 a1，a 2，a 3，设 c1，c 2，c 3 是另一组数 b1， b2，b 3 的任意一个排列，则a1c
4、1a 2c2a 3c3 的( )A最大值为 a1b1a 2b2a 3b3，最小值为 a1b3a 2b2a 3b1B最大值为 a1b2a 2b3a 3b1，最小值为 a1b3a 2b1a 3b2C最大值与最小值相等，为 a1b1a 2b2a 3b3D以上答案都不对解析：a 1，a 2，a 3与 b1，b 2，b 3的大小顺序不知，无法确定其最值答案：D6若 00 BFcos cos 0. 根据排序不等式：乱序和反序和，则 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)12答案：A二、填空题7已知 a，b，c 为正
5、实数，则 a2(a2bc)b 2(b2ac )c 2(c2ab)_0.(填，0，所以 a3b 3c 3.根据排序原理，得a3ab 3bc 3ca 3b b3cc 3a.又知 abacbc ，a 2b 2c 2，所以 a3bb 3cc 3aa 2bcb 2cac 2ab.所以 a4b 4c 4a 2bcb 2cac 2ab.即 a2(a2bc) b 2(b2ac )c 2(c2ab)0.答案：8设 a，b 都是正数，若 P 2 2，Q ，则二者的关系是 _(ab) (ba) ab ba解析：由题意不妨设 ab0.由不等式的性质，知 a2b 2， .所以 .1b 1a a2b b2a根据排序原理，
6、知 .a2b 1b b2a 1a a2b 1a b2a 1b即 2 2 .(ab) (ba) ab ba答案：PQ9设正数 a，b，c 的乘积 abc1， 的最小值为1a2b c 1b2c a 1c2a b_解析：设 a ，b ，c ，则 xyz1，且 可化为1x 1y 1z 1a2b c 1b2c a 1c2a b ，不妨设 xy z，则 ，据排序不等式得xy z yz x zx y 1y z 1z x 1x y z x y ，xy z yz x zx y 1y z 1z x 1x y及 y z x ，xy z yz x zx y 1y z 1z x 1x y两式相加并化简可得 2 3.(x
7、y z yz x zx y)即 .xy z yz x zx y 32即 .1a2b c 1b2c a 1c2a b 32所以 的最小值为 .1a2b c 1b2c a 1c2a b 32答案：32三、解答题10设 A，B ，C 表示ABC 的三个内角的弧度数，a，b，c 表示其对边，求证： .aA bB cCa b c 3证明：方法一：不妨设 ABC ，则有 abc，由排序原理：顺序和乱序和，aAbB cCaBbCcA，aAbBcC aCbA cB ，aAbBcC aAbBcC.上述三式相加得3(aAbB cC)(AB C )(abc )( abc) .aA bB cCa b c 3方法二：不
8、妨设 ABC，则有 abc，由排序不等式得 ，aA bB cC3 A B C3 a b c3即 aAbB cC (abc) ，3 .aA bB cCa b c 311已知 a，b，cR ，求证：abc .a2 b22c b2 c22a c2 a22b a3bc b3ca c3ab证明：不妨设 abc0，则 a2b 2c 2， .1c 1b 1a由排序不等式，可得a2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 ，1c 1a 1b 1a 1b 1ca2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 .1b 1c 1a 1a 1b 1c由()2，可得 abc .a2 b22c b2 c22a c2 a22b
9、又因为 abc0，所以 a3b 3c 3， .1bc 1ac 1ab由排序不等式，得a3 b3 c3 a 3 b3 c 3 .1bc 1ca 1ab 1ac 1ab 1bca3 b3 c3 a 3 b 3 c 3 .1bc 1ca 1ab 1ab 1bc 1ca由()2，可得 .a3bc b3ca c3ab a2 b22c b2 c22a c2 a22b综上可知原式成立12(能力挑战)利用排序原理证明切比雪夫不等式：若 a1a 2a n且 b1b 2b n，则ibi .1nni 1a (1nni 1ai)(1nni 1bi)证明：由排序不等式有：a1b1a 2b2a nbna 1b1a 2b2
10、a nbn，a1b1a 2b2a nbna 1b2a 2b3a nb1，a1b1a 2b2a nbna 1b3a 2b4a nb2，a1b1a 2b2a nbna 1bna 2b1a nbn1 .将以上式子相加得n(a1b1a 2b2a nbn)a 1(b1b 2b n)a 2(b1b 2b n)a n(b1b 2b n)，所以 ibi .1nni 1a (1nni 1ai)(1nni 1bi)1使用排序不等式，必须出现有大小顺序的两列数(或者代数式) 来探求对应项的乘积的和的大小关系2本质含义：两列数序列同方向单调(同时增或同时减) 时所得两两乘积之和最大，反方向单调( 一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列
