1、恒成立或有解问题的解决策略恒成立与有解问题的解决策略大致分四类：构造函数，分类讨论；部分分离，化为切线；完全分离，函数最值；换元分离，简化运算；在求解过程中，力求“脑中有形，心中有数”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点【考点突破】命题角度 2 可化为恒成立或有解问题【典例 1】（成都市 2018 届高三毕
2、业班三诊）已知函数 .若函数 图ln,1fxgxfx象上任意一点 关于直线 的对称点 恰好在函数 的图象上.PyxQh（1）证明： ；gh（2）若函数 在 上存在极值，求 的最大值.1fxF*,kNk【解析】 （1）因为函数 图象上任意一点 关于直线 的对称点 恰好在函数 的图象fPyxQhx上，所以函数 与 互为反函数， ，易证 （证明略）；fxhxhe1e（2）由已知 ，得 ，所以 ，1fxFgln02Fx2lnxFx因为函数 在 上存在极值，fx*,kN所以 在 上有解，即 在 上有解，0Fx*,kN21ln0x*,kN理解题意，转化为超越方程有解问题令 ，则 ，21lnux22uxx所
3、以 在 上单调递减，0,由 ，应用零点存在性定理求解333311.74lnlln6lln02226eue，77557 85lllll53所以函数 的零点 ，ux04,因为函数 在 上存在极值，1fFg*,kN所以 ， 的最大值为 4.4k【审题点津】函数 存在极值点，转化为 存在零点的问题，亦即 有解问题，然fxfx 0fx后借助于导数刻画函数 的图象，应用零点存在性定理求解问题.【典例 2】（河北衡水 2018 届高三第一学期八模）已知函数.ln,xfeaxaR（1）当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；f0x（2）函数 在定义域上为单调函数，求 的最大整数值.fxa【解析】 （1）当 时
4、， ， ，a1lnxfexln1xfe所以 ，0,1ff所以函数 的图象在 处的切线方程 ；x00xy（2）思路一：函数 在定义域上为单调函数，则 恒成立.f fx由于 ， ，lnxfeaxlnfxea令 ，则 ，h1hea设 的解为 ，即 ， 导数零点不可求，虚拟设根0hx0x01xea当 时， ，当 时， ，0,ah0,0hx所以 在 上单调递减，在 上单调递增，hxf0,x,所以 ，0mininlnxfea因为 ， 虚拟设根，整体代换00011llxexaa所以 ，0 00min01l 2xf xxa因为 恒成立，所以 ，即 .f2a2故 的最大整数值为 2.a【审题点津】确定函数具有零
5、点但又无法求解或求解相对比较繁杂的情况下，引入虚拟零点，通过形式化的合理代换或推理，达到化简并求解问题的目标.这种方法感受数学思维“柳暗花明又一村”的奇妙诗意！思路二：函数 在定义域上为单调函数，则 恒成立.fx0fx先证明 （证明略）；1e再证明 （证明略）； 借助于重要不等式，投石问路lnx所以 ，21x所以 ， 合理放缩，转换视角1lxe当 时， ， 恒成立；aln2lxxaln0xfea当 时， 不恒成立；30fe故 的最大整数值为 2.【审题点津】遇到含有 的超越函数时，不妨运用 进行放缩，遇到含有 的超越函数时，x 1xelnx不妨运用 进行放缩，往往有出其不意的效果，这是放缩法的重要途径.ln1x
