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类型2018年数学同步优化指导(人教版选修4-5)练习:第4讲 1 课时 数学归纳法 Word版含解析.doc

  • 上传人:HR专家
  • 文档编号:5265415
  • 上传时间:2019-02-16
  • 格式:DOC
  • 页数:6
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    2018年数学同步优化指导(人教版选修4-5)练习:第4讲 1 课时 数学归纳法 Word版含解析.doc
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    1、第四讲 一 数学归纳法一、选择题1某个命题:(1)当 n1 时,命题成立(2)假设 nk( k 1,kN *)时成立,可以推出 nk2 时也成立则命题对_成立( )A正整数 B正奇数C正偶数 D奇数解析:由题意知,k1 时,k23;k 3 时,k25,依此类推知,命题对所有正奇数成立,故选 B.答案:B2设 f(n) (nN *),在利用数学归纳法证明时,从 nk1n 1 1n 2 1n 3 12n到 nk1 需添的项为( )A. B.12k 1 12k 2C. D. 12k 1 12k 2 12k 1 12k 2解析:因为 f(k) ,1k 1 1k 2 12k所以 f(k1) .1k 2

    2、1k 3 12k 12k 1 12k 2故需添的项为 .12k 1 12k 2 1k 1 12k 1 12k 2答案:D3记凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸 k1 边形的内角和 f(k1)f(k) A,则 A ( )A. B 2C2 D. 32解析:从 nk 到 nk 1 时,内角和增加 .答案:B4在数列a n中,a 1 1,前 n 项和 Sn 1,先算出数列的前 4 项的值,2 n 1再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是( )Aa n 1 Ba nn 1n 1 n 1Ca n Da n 2n n n 1 n解析:因为 a1 1,2S2 1 1,2 1 3所以 a2( 1)( 1) .

    3、3 2 3 2则 a3S 3S 2( 1)( 1) ,3 1 2 1 4 3a4S 4S 3( 1)( 1) ,4 1 3 1 5 4故猜想 an .n 1 n答案:D5已知 f(n) (2n7)3 n9,存在自然数 m,使得对任意 nN *,都能使 m 整除 f(n),则最大的 m 的值为( )A30 B26 C36 D6解析:因为 f(1)36,f(2) 108336,f (3)36010 36,所以 f (1),f(2),f(3) 能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除证明:n1,2 时,由上得证,设 nk(k2)时,f(k)(2 k7)3 k9 能被 36 整除,则f(k 1

    4、)f(k) (2k 9)3 k1 (2k7)3 k(6k 27)3k(2 k7)3 k(4k 20)3k36( k5)3 k2 ,故 f(k 1)能被 36 整除因为 f(1)不能被大于 36 的数整除,所以所求最大的 m 值等于36.答案:C6在数列a n中,a 1 ,且 Snn(2n1) an,通过求 a2,a 3,a 4,猜想 an的表达式为( )13A. B.1n 1n 1 12n2n 1C. D.12n 12n 1 12n 12n 2解析:因为 a1 ,13由 Snn(2n1)a n,得 a1a 22(221) a2,解得 a2 ,a 1a 2a 33(231) a3,115 135

    5、解得 a3 ,a 1a 2a 3a 44(241) a4,135 157解得 a4 .猜想 an .163 179 12n 12n 1答案:C二、填空题7用数学归纳法证明关于 n 的恒等式,当 nk 时,表达式为1427k(3 k1) k(k1) 2,则当 nk 1 时,表达式为_解析:当 nk1 时,左边增加项(k1)(3 k4),右边变为(k1)(k2) 2.表达式为 1427k(3k1)( k1)(3 k4) (k1)(k 2) 2.答案:1427k(3k1)( k1)(3 k4) (k1)(k2) 28用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x ny n能被 x y 整除” ,当第二步假

    6、设n2k1( kN *,k1)命题为真时,进而需证 n_时,命题亦真解析:因为 n 为正奇数,假设 n2k1 成立后,需证明的应为 n2k1 时成立答案:2k19设平面内有 n 条直线(n 2),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4) _;当 n4 时,f(n)_(用 n 表示)解析:f(2)0,f(3) 2,f(4)5,f(5)9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数所以 f(3)f(2)2,f(4) f(3)3,f(5)f (4)4,f(n)f(n1)n1.累加,得 f(n)f (2)234(n1) (n2)

    7、 2 n 12所以 f(n) (n 1)(n2)12答案:5 (n1)( n2)12三、解答题10用数学归纳法证明:若 nN *,则 cos cos cos cos .2 22 23 2n sin 2nsin2n证明:(1)n1 时,左边cos ,2右边 cos ,sin 2sin2 2左边右边,等式成立(2)假设 nk(k1,kN *)时,等式成立,即 cos cos cos cos ,2 22 23 2k sin 2ksin2k当 nk1 时, .(cos2cos22cos23cos2k)cos cos2k 1 sin 2ksin2k 2k 1 cossin 2k 1sin 2k 1cos

    8、 2k 1 2k 1 ,sin 2k 1sin 2k 1即当 nk1 时,等式也成立由(1)(2)知,等式对 nN *均成立11已知数列a n满足 a10,a 21,当 nN *时,a n2 a n1 a n,求证:数列a n的第 4m1 项(mN *)能被 3 整除证明:(1)当 m1 时,a4m1 a 5a 4a 3(a 3a 2) (a2a 1)(a 2a 1)2a 2a 13a 22a 1303.即当 m1 时,第 4m1 项能被 3 整除(2)假设当 m k(k1)时,a 4k1 能被 3 整除,则当 mk1 时,a4(k1) 1a 4k5 a 4k4 a 4k3 2a 4k3 a

    9、4k2 2(a4k2 a 4k1 )a 4k2 3a 4k2 2a 4k1 .显然,3a 4k2 能被 3 整除,又由假设知 a4k1 能被 3 整除,所以 3a4k2 2 a4k1 能被 3 整除 即当 mk1 时,a 4(k1)1 也能被 3 整除由(1)和(2)知,对于 nN *,数列a n中的第 4m1 项能被 3 整除12(能力挑战)平面上有 n(nN *,n2)条直线,其中任意两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,求证:这 n 条直线共有 f(n) 个交点nn 12证明:(1)当 n2 时,因为符合条件时两直线只有 1 个交点,又 f(2) 1,22 12所以当 n2 时,命题成

    10、立(2)假设当 nk(k2,且 kN *)时命题成立,就是该平面内满足题设的任何 k 条直线的交点个数为 f(k) .kk 12则当 nk1 时,任取其中一条直线记为 l,如图,剩下的 k 条直线为 l1,l 2,l k.由归纳假设知,它们之间的交点个数为 f(k) .kk 12 nn 12由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点,所以直线 l 与 l1,l 2,l 3,l k的交点共有 k 个f(k 1)f(k) k k,kk 12所以 f(k1) kk 12 2k2 kk 1 2k2 .kk 1 22 k 1k 1 12所以当 nk1 时命题成立由(1)(2)可知,命题对一切 nN *且 n2 都成立1数学归纳法的两个步骤缺一不可,第一步中验证 n 的初始值至关重要,它是递推的基础,但 n 的初始值不一定是 1,而是 n 的取值范围内的最小值2第二步证明的关键是运用归纳假设在利用归纳假设时,应分析 p(k)与 p(k1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从 p(k1) 中分离出p(k)再进行局部调整

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