湖南省2019年中考数学总复习 专题课件+练习（打包16套）.zip

专题（一）与函数图象有关的问题题型解读 在每年的数学考试中 ,函数的图象在考题中占有重要的地位 ,考查包括函数图象的分析、函数图象中参数的求法 ,函数图象中点的运动规律探究等问题 ,考查知识涉及坐标系中图形的表示、一次函数、反比例函数、二次函数、几何动点问题、三角形全等与相似、圆的性质、解直角三角形等知识 ,它要求我们不仅要学会看懂图形 ,更重要的在于运用数形结合思想 ,以变化发展的眼光去全面、认真、仔细地分析和考虑整个问题 . 例 1 [2018·内江 ] 在物理实验课上 ,老师用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中 ,然后匀速向上提起 ,直到铁块完全露出水面一定高度 ,则图Z1-1能反映弹簧秤的读数 y(单位 :N)与铁块被提起的高度 x(单位 :cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )图 Z1-1图 Z1-2题型一 根据实际问题判断函数图象【 答案 】 C【 解析 】 物体完全在水中时 ,排开水的体积不变 ,故此物体完全在水中时 ,浮力不变 ,读数 y不变 ;当物体逐渐浮出水面的过程中 ,排开水的体积逐渐变小 ,浮力逐渐减小 ,重力变大 ,读数 y变大 ;当物体保持一定高度不动时 ,排开水的体积不变 ,重力不变 ,浮力不变 ,此时读数 y不变 .故选 C.题型一 根据实际问题判断函数图象【方法点析】 函数 图 象与 实际问题 一般涉及 动 点与 图 象 问题 ,在解 题 中要注意点的不同运 动 状 态 ,正确列出每段 间 的函数表达式是解 题 的关 键 . 题型一 根据实际问题判断函数图象拓展 1 初夏 ,把一个温度计放在一杯冰水中 ,后拿出放在室温中 ,下列可以近似表示所述过程中温度计的读数与时间的关系的图象是 ( )图 Z1-3D题型一 根据实际问题判断函数图象拓展 2 已知 A,B两地相距 180 km,甲、乙两车分别从 A,B两地同时出发 ,匀速开往对方所在地 . 甲车的速度是 90 km/h,乙车的速度是 60 km/h,甲、乙两车之间的距离 y(km)与时间 x(h)的函数图象是 ( )图 Z1-4题型一 根据实际问题判断函数图象题型二 根据函数性质判断函数图象【 答案 】 D【 解析 】 由二次函数的图象可知 ,a0,b0时 ,函数 y=ax2与 y=ax+b的图象大致是 ( )图 Z1-9【 答案 】 D【 解析 】 根据题意知 ,ab0,即 a,b同号 .当 a0时 ,b0,函数 y=ax2的图象开口向上 ,过原点 ,函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限 ,此时 ,没有选项符合 ;当 a0,b0 B. k0,b0 D. k0 C. 2a-b=0 D. a-b+c=0图 Z1-14D题型三 分析函数图象获取信息拓展 3 [2018·滨州 ] 如图 Z1-15,若二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线 x=1,与 y轴交于点 C,与 x轴交于点 A,点 B(-1,0),则① 二次函数的最大值为 a+b+c;② a-b+c0时 ,-10,故 ③ 错误 ;④∵ 图象的对称轴为直线 x=1,与 x轴交于点 A,点 B(-1,0),∴ A(3,0),∴ 当 y0时 ,-1x3,故④ 正确 .故选 B.题型四 分析动点问题判断函数图象例 4 [2018·葫芦岛 ] 如图 Z1-16,在 ▱ABCD中 ,AB=6,BC=10,AB⊥ AC,点 P从点 B出发沿着 B→ A→ C的路径运动 ,同时点 Q从点 A出发沿着 A→ C→ D的路径以相同的速度运动 ,当点 P到达点 C时 ,点 Q随之停止运动 . 设点P运动的路程为 x,y=PQ2,下列图象能大致反映 y与 x的函数关系的是 ( )题型四 分析动点问题判断函数图象【 答案 】 B【 解析 】 当点 P在 AB上时 ,∵ BP=x,∴ AP=6-x.∵ AB⊥ AC,AQ=x,∴ y=PQ2=AP2+AQ2=(6-x)2+x2=2x2-12x+36.当 x=0时 ,y=PQ2=36,即图象的起点是 (0,36),当 0x≤6时 ,图象是抛物线 .当点 P在 AC上时 ,① 当6x≤8时 ,AP=x-6,AQ=x,∴ y=PQ2=(AQ-AP)2=36,图象是一条平行于 x轴的线 ;② 当 8x≤14时 ,PC=14-x,CQ=x-8,∴ y=PQ2=PC2+CQ2=(14-x)2+(x-8)2=2x2-44x+260,图象也是抛物线 .故选 B.题型四 分析动点问题判断函数图象拓展 1 [2018·东莞 ] 如图 Z1-18,点 P是菱形 ABCD边上的一动点 ,它从点 A出发沿着 A→ B→ C→ D的路径匀速运动到点 D,设 △ PAD的面积为 y,点 P的运动时间为 x,则 y关于 x的函数图象大致为 ( )图 Z1-18B题型四 分析动点问题判断函数图象拓展 2 [2018·潍坊 ] 如图 Z1-20,菱形 ABCD的边长是 4厘米 ,∠ B=60°,动点 P以 1厘米 /秒的速度自点 A出发沿AB方向运动至点 B停止 ,动点 Q以 2厘米 /秒的速度自点 B出发沿折线 BCD运动至点 D停止 . 若点 P,Q同时出发运动了 t秒 ,记 △ BPQ的面积为 S厘米 2,下面图象能表示 S与 t之间的函数关系的是 ( )题型四 分析动点问题判断函数图象题型四 分析动点问题判断函数图象题型四 分析动点问题判断函数图象题型四 分析动点问题判断函数图象专题（二）实际应用题题型解读 实际应用题在湖南的各地中考中 ,一般都呈现在第 3大题或第 4大题中 ,所占的分值在 8~12分之间 ,考查的形式多与方程 (组 )、不等式、函数及图象、最值相结合 ,利用二次函数的最值的考查也是中考常结合的考查内容 . 例 1 [2018·济宁 ] “绿水青山就是金山银山 ”,为了保护生态环境 ,A,B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱 ,每村参加清理人数及总开支如下表 :(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样 ,求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用分别是多少元 . (2)在人均支出费用不变的情况下 ,为了节约开支 ,两村准备抽调 40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱 ,要使总支出不超过 102000元 ,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数 ,则有哪几种分配清理人员的方案 ?题型一 购买分配类问题村庄清理养鱼网箱人数清理捕鱼网箱人数总支出 /元A 15 9 57000B 10 16 68000题型一 根据实际问题判断函数图象【分层分析】 (1)设清理养鱼网箱的人均支出费用为 x元 ,清理捕鱼网箱的人均支出费用为 y元 ,根据 A,B两村庄的总支出列出关于 x,y的方程组 ,解之可得 ;(2)设 m人清理养鱼网箱 ,则 (40-m)人清理捕鱼网箱 ,根据 “总支出不超过 102 000元 ,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数 ”列不等式组求解可得 . 题型一 根据实际问题判断函数图象例 1 [2018·济宁 ] “绿水青山就是金山银山 ”,为了保护生态环境 ,A,B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱 ,每村参加清理人数及总开支如下表 :(2)在人均支出费用不变的情况下 ,为了节约开支 ,两村准备抽调 40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱 ,要使总支出不超过 102000元 ,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数 ,则有哪几种分配清理人员的方案 ?题型一 购买分配类问题村庄清理养鱼网箱人数清理捕鱼网箱人数总支出 /元A 15 9 57000B 10 16 68000题型一 根据实际问题判断函数图象题型一 根据实际问题判断函数图象拓展 1 某橱具店购进电饭煲和电压力锅两种电器进行销售 ,其进价与售价如下表 :(1)第一季度 ,橱具店购进这两种电器共 30台 ,用去了 5600元 ,并且全部售完 ,问 :橱具店在该买卖中赚了多少钱 ?(2)为了满足市场需求 ,第二季度橱具店决定用不超过 9000元的资金采购电饭煲和电压力锅共 50台 ,且电饭煲的数量不少于电压力锅的 ,问 :橱具店有哪几种进货方案 ?请说明理由 . (3)在 (2)的条件下 ,请你通过计算判断 ,哪种进货方案橱具店赚钱最多 ?进价 /(元 /台 ) 售价 /(元 /台 )电饭煲 200 250电压力锅 160 200题型一 根据实际问题判断函数图象题型一 根据实际问题判断函数图象拓展 1 某橱具店购进电饭煲和电压力锅两种电器进行销售 ,其进价与售价如下表 :(2)为了满足市场需求 ,第二季度橱具店决定用不超过 9000元的资金采购电饭煲和电压力锅共 50台 ,且电饭煲的数量不少于电压力锅的 ,问 :橱具店有哪几种进货方案 ?请说明理由 . 进价 /(元 /台 ) 售价 /(元 /台 )电饭煲 200 250电压力锅 160 200题型一 根据实际问题判断函数图象题型一 根据实际问题判断函数图象拓展 1 某橱具店购进电饭煲和电压力锅两种电器进行销售 ,其进价与售价如下表 :(3)在 (2)的条件下 ,请你通过计算判断 ,哪种进货方案橱具店赚钱最多 ?进价 /(元 /台 ) 售价 /(元 /台 )电饭煲 200 250电压力锅 160 200(3)设橱具店赚钱数额为 W元 .当 a=23时 ,W=23×(250-200)+27×(200-160)=2230;当 a=24时 ,W=24×(250-200)+26×(200-160)=2240;当 a=25时 ,W=25×(250-200)+25×(200-160)=2250.综上所述 ,当 a=25时 ,W最大 ,此时购进电饭煲、电压力锅均为 25台 .题型一 根据实际问题判断函数图象拓展 2 如下表是某电信公司制定的 A,B,C三种上网收费方式明细表 ,设月上网时间为 x/h,三种收费金额分别为 yA/元、 yB/元、 yC/元 . (1)若月上网时间不超过 25 h,问 :应选择哪种方式更划算 ?(2)若月上网时间超过 25 h,但不超过 50 h,问 :应选择哪种方式更划算 ?(3)当月上网时间超过多少时 ,选择方式 C更划算 ?收费方式 月固定使用费 免费上网时间 /h 超时费 /(元 /h)A 30 25 3B 50 50 3C 120 不限时解 :由题意可知 ,收费方式A:y=30(0≤x≤25),y=30+3(x-25)=3x-45(x25);收费方式B:y=50(0≤x≤50),y=50+3(x-50)=3x-100(x50);收费方式 C:y=120(x≥0).题型一 根据实际问题判断函数图象题型二 工程、行程类问题例 2 某工程队承包了某标段全长 1800米的过江隧道施工任务 ,甲、乙两个组分别从东、西两端同时掘进 . 已知甲组比乙组平均每天多掘进 2米 ,经过 5天施工 ,两组共掘进了 60米 . (1)求甲、乙两组平均每天分别掘进多少米 . (2)为了加快工程进度 ,通过改进施工技术 ,在剩余的工程中 ,甲组平均每天能比原来多掘进 2米 ,乙组平均每天能比原来多掘进 1米 . 按此施工进度 ,能够比原来少用多少天完成任务 ?题型二 工程、行程类问题例 2 某工程队承包了某标段全长 1800米的过江隧道施工任务 ,甲、乙两个组分别从东、西两端同时掘进 . 已知甲组比乙组平均每天多掘进 2米 ,经过 5天施工 ,两组共掘进了 60米 . (2)为了加快工程进度 ,通过改进施工技术 ,在剩余的工程中 ,甲组平均每天能比原来多掘进 2米 ,乙组平均每天能比原来多掘进 1米 . 按此施工进度 ,能够比原来少用多少天完成任务 ?(2)按原来的施工进程需要的时间为 (1800-60)÷(7+5)=145(天 ),改进施工技术后还需要的时间为 (1800-60)÷(7+2+5+1)=116(天 ),节省时间为 145-116=29(天 ).答 :改进施工技术后 ,能够比原来少用 29天完成任务 .题型二 根据函数性质判断函数图象【分层分析】 (1)设甲组平均每天掘进 x米 ,乙组平均每天掘进 y米 ,根据 “甲组比乙组平均每天多掘进 2米 ,经过 5天施工 ,两组共掘进了 60米 ”,即可得出关于 x,y的二元一次方程组 ,解之即可得出结论 ;(2)根据工作时间 =工作总量 ÷工作效率 ,分别求出按原来施工进程及改进施工技术后完成剩余工程所需时间 ,作差后即可得出结论 . 【方法点析】 解决工程、行程 类问题时 ,我 们 一般采用方程的思想 ,重点通 过 列方程去解决 问题 ,在解方程中要用到 “工程 总 量 ”与 “工作效率 ”两个公式 ,通 过对应 的等量关系 (等式或差 值 )去正确列出方程是解 题 的关 键 . 题型二 根据函数性质判断函数图象【分层分析】 (1)设甲组平均每天掘进 x米 ,乙组平均每天掘进 y米 ,根据 “甲组比乙组平均每天多掘进 2米 ,经过 5天施工 ,两组共掘进了 60米 ”,即可得出关于 x,y的二元一次方程组 ,解之即可得出结论 ;(2)根据工作时间 =工作总量 ÷工作效率 ,分别求出按原来施工进程及改进施工技术后完成剩余工程所需时间 ,作差后即可得出结论 . 【方法点析】 解决工程、行程 类问题时 ,我 们 一般采用方程的思想 ,重点通 过 列方程去解决 问题 ,在解方程中要用到 “工程 总 量 ”与 “工作效率 ”两个公式 ,通 过对应 的等量关系 (等式或差 值 )去正确列出方程是解 题 的关 键 . 题型二 根据函数性质判断函数图象拓展 1 [2018·徐州 ] 徐州至北京的高铁里程约为 700 km,甲、乙两人从徐州出发 ,分别乘坐 “徐州号 ”高铁 A与 “复兴号 ”高铁 B前往北京 . 已知 A车的平均速度比 B车的平均速度慢 80 km/h,A车的行驶时间比 B车的行驶时间多 40%,两车的行驶时间分别为多少 ?题型二 根据函数性质判断函数图象题型三 增长率问题例 3 [2018·安顺 ] 某地 2015年为了做好 “精准扶贫 ”,投入资金 1280万元用于异地安置 ,并规划投入资金逐年增加 ,2017年在 2015年的基础上增加投入资金 1600万元 . (1)从 2015年到 2017年 ,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少 ?(2)在 2017年异地安置的具体实施中 ,该地计划投入资金不低于 500万元用于优先搬迁租房奖励 ,规定前1000户 (含第 1000户 )每户每天奖励 8元 ,1000户以后每户每天奖励 5元 ,按租房 400天计算 ,求 2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励 . 解 :(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x.根据题意 ,得 1280(1+x)2=1280+1600,解得 x=0.5或 x=-2.5(舍去 ).答 :从 2015年到 2017年 ,该地投入异地安置资金的年平均增长率为 50%.(2)设 2017年该地有 a户享受到优先搬迁租房奖励 .∵ 8×1000×400=32000001000.根据题意 ,得 1000×8×400+(a-1000)×5×400≥5000000,解得 a≥1900.答 :2017年该地至少有 1900户享受到优先搬迁租房奖励 .题型三 增长率问题【分层分析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x,根据 2015年及 2017年该地投入异地安置资金 ,即可得出关于 x的一元二次方程 ,解之取其正值即可得出结论 ;(2)设 2017年该地有 a户享受到优先搬迁租房奖励 ,根据投入的总资金 =前 1000户奖励的资金 +超出 1000户奖励的资金 ,结合该地投入的奖励资金不低于 500万元 ,即可得出关于 a的一元一次不等式 ,解之取其中的最小值即可得出结论 . 【方法点析】 在列方程中找准等量关系 ,正确使用 “a(1±x)2=p”列方程和解方程即可 . 题型三 增长率问题拓展 1 [2018·眉山 ] 我市某楼盘准备以每平方米 6000元的均价对外销售 ,由于国务院有关房地产的新政策出台后 ,购房者持币观望 ,为了加快资金周转 ,房地产开发商对价格经过连续两次下调 ,决定以每平方米4860元的均价开盘销售 ,则平均每次下调的百分率是 ( )A. 8% B. 9% C. 10% D. 11%拓展 2 某文具店 10月份销售铅笔 100支 ,11,12两个月销售量连续增长 ,若月平均增长率为 x,则该文具店 12月份销售铅笔的支数是 ( )A. 100(1+x) B. 100(1+x)2C. 100(1+x2) D. 100(1+2x)CB题型三 增长率问题拓展 3 [2018·沈阳 ] 某公司今年 1月份的生产成本是 400万元 ,由于改进技术 ,生产成本逐月下降 ,3月份的生产成本是 361万元 . 假设该公司 2,3,4月每个月生产成本的下降率都相同 . (1)求每个月生产成本的下降率 ;(2)请你预测 4月份该公司的生产成本 . 解 :(1)设每个月生产成本的下降率为 x.根据题意 ,得 400(1-x)2=361,解得 x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意 ,舍去 ).答 :每个月生产成本的下降率为 5%.(2)361×(1-5%)=342.95(万元 ).答 :预测 4月份该公司的生产成本为 342.95万元 .题型四 利润最值问题例 4 [2018·毕节 ] 某商店销售一款进价为每件 40元的护肤品 ,调查发现 ,当销售单价不低于 40元且不高于 80元时 ,该商品的日销售量 y(件 )与销售单价 x(元 /件 )之间存在一次函数关系 ,当销售单价为 44元 /件时 ,日销售量为 72件 ;当销售单价为 48元 /件时 ,日销售量为 64件 . (1)求 y与 x之间的函数关系式 . (2)设该护肤品的日销售利润为 w(元 ),当销售单价 x为多少时 ,日销售利润 w最大 ,最大日销售利润是多少 ?题型四 利润最值问题【分层分析】(1)设 y与 x之间的函数关系式为 y=kx+b(k≠0),将 (44,72),(48,64)代入 ,利用待定系数法即可求出一次函数的表达式 ;(2)根据 (1)的函数关系式 ,利用求二次函数最值的方法便可解出答案 . 【方法点析】 最值的应用关键在于将所列的式子转化为不等式或二次函数的形式 ,再通过求满足条件的不等式的整数解去求最值 ,或通过二次函数图象的顶点坐标公式 (或函数图象 )去求最值 . 题型四 利润最值问题拓展 1 [2018·曲靖 ] 某公司计划购买 A,B两种型号的电脑 ,已知购买一台 A型电脑需 0. 6万元 ,购买一台 B型电脑需 0. 4万元 ,该公司准备投入资金 y万元 ,全部用于购进 35台这两种型号的电脑 ,设购进 A型电脑 x台 . (1)求 y关于 x的函数表达式 . (2)若购进 B型电脑的数量不超过 A型电脑数量的 2倍 ,则该公司至少需要投入资金多少万元 ?题型四 利润最值问题题型四 利润最值问题题型四 利润最值问题专题（三）解直角三角形应用问题题型解读 解直角三角形是中考必考的内容 ,考查的方式一般都以大题形式呈现 ,有时还结合三角形相似 ,主要考查在一个直角三角形或两个共边的直角三角形之间进行线段的求解与应用 . 例 1 [2018·安徽 ] 为了测量竖直旗杆 AB的高度 ,某综合实践小组在地面 D处竖直放置标杆 CD,并在地面上水平放置一个平面镜 E,使得 B,E,D在同一水平线上 ,如图 Z3-1所示 . 该小组在标杆的 F处通过平面镜 E恰好观测到旗杆顶 A(此时 ∠ AEB=∠ FED). 在 F处测得旗杆顶 A的仰角为 39. 3°,平面镜 E的俯角为 45°,FD=1. 8米 . 问旗杆 AB的高度约为多少米 ?(结果保留整数 ,参考数据 :tan39. 3°≈0. 82,tan84. 3° ≈10. 02)题型一 俯角、仰角问题题型一 俯角、仰角问题拓展 1 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为 30°,那么从乙处看甲处 ,甲在乙的 ( )A. 俯角 30°方向 B. 俯角 60°方向C. 仰角 30°方向 D. 仰角 60°方向C题型一 俯角、仰角问题拓展 2 [2018·梧州 ] 随着人们生活水平的不断提高 ,旅游已成为人们的一种生活时尚 . 为开发新的旅游项目 ,我市对某山区进行调查 ,发现一瀑布 . 为测量它的高度 ,测量人员在瀑布的对面山上 D点处测得瀑布顶端 A点的仰角是 30°,测得瀑布底端 B点的俯角是 10°,AB与水平面垂直 (如图 Z3-2). 又在瀑布下的水平面测得 CG=27 m,GF=17. 6 m(注 :C,G,F三点在同一直线上 ,CF⊥ AB于点 F). 斜坡 CD=20 m,坡角 ∠ ECD=40°. 求瀑布 AB的高度 . (参考数据 :≈1. 73,sin40°≈0. 64,cos40°≈0. 77,tan40°≈0. 84, sin10°≈0. 17,cos10°≈0. 98,tan10°≈0. 18)解 :过点 D作 DM⊥ CE,交 CE于点 M,作 DN⊥ AB,交 AB于点 N.在 Rt△ CMD中 ,CD=20m,∠ DCM=40°,∠ CMD=90°,∴ CM=CD·cos40°≈15.4 m,DM=CD·sin40°≈12.8 m.∴ DN=MF=CM+CG+GF=60 m.在 Rt△ BD中 ,∠ BDN=10°,∠ BND=90°,DN=60m,∴ BN=DN·tan10°≈10.8 m.在 Rt△ ADN中 ,∠ ADN=30°,∠ AND=90°,DN=60 m,∴ AN=DN·tan30°≈34.6 m.∴ AB=AN+BN=45.4 m.答 :瀑布 AB的高度约为 45.4米 .题型二 坡角问题例 2 [2017·海南 ] 为做好防汛工作 ,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固 ,专家提供的方案是 :如图 Z3-3,水坝加高 2米 (即 CD=2米 ),背水坡 DE的坡度i=1∶1(即 DB∶EB=1∶1). 已知 AE=4米 ,∠ EAC=130°,求水坝原来的高度 BC. (参考数据 :sin50°≈0. 77,cos50°≈0. 64, tan50°≈1. 2)图 Z3-3题型二 坡角问题【分层分析】 设 BC=x米 ,则在 Rt△ ABC中 ,根据三角函数的性质 ,可以用 x表示出 AB的长 ;利用坡度的定义得到 BD=BE,根据 CD+BC=AE+AB,从而列出方程即可求出 x的值 . 【方法点析】 利用坡度、坡角解直角三角形 ,关键要利用坡角去添辅助线 ,构造出直角三角形 . 题型二 坡角问题AC题型二 坡角问题拓展 3 [2018·安顺 ] 如图 Z3-6,是某市一座人行天桥的示意图 ,天桥离地面的高 BC是 10米 ,坡面 AC的倾斜角∠ CAB=45°,在距 A点 10米处有一建筑物 HQ. 为了方便行人推车过天桥 ,市政府部门决定降低坡度 ,使新坡面 DC的倾斜角 ∠ BDC=30°. 若新坡面下 D处与建筑物之间需留下至少 3米宽的人行道 ,问该建筑物是否需要拆除 ?(计算最后结果保留一位小数 ,参考数据 :≈1. 414,≈1. 732)题型三 方位角问题例 3 [2017·连云港 ] 如图 Z3-7,湿地景区岸边有三个观景台 A,B,C. 已知 AB=1400米 ,AC=1000米 ,B点位于 A点的南偏西 60. 7°方向 ,C点位于 A点的南偏东 66. 1°方向 . (1)求 △ ABC的面积 ;(2)景区规划在线段 BC的中点 D处修建一个湖心亭 ,并修建观景栈道 AD,试求 A,D间的距离 . (结果精确到0. 1米 ,参考数据 :sin53. 2°≈0. 80,cos53. 2°≈0. 60,sin60. 7°≈0. 87,cos60. 7°≈0. 49,sin66. 1° ≈0. 91,cos66. 1°≈0. 41,≈1. 414)题型三 方位角问题例 3 [2017·连云港 ] 如图 Z3-7,湿地景区岸边有三个观景台 A,B,C. 已知 AB=1400米 ,AC=1000米 ,B点位于 A点的南偏西 60. 7°方向 ,C点位于 A点的南偏东 66. 1°方向 . (2)景区规划在线段 BC的中点 D处修建一个湖心亭 ,并修建观景栈道 AD,试求 A,D间的距离 . (结果精确到0. 1米 ,参考数据 :sin53. 2°≈0. 80,cos53. 2°≈0. 60,sin60. 7°≈0. 87,cos60. 7°≈0. 49,sin66. 1° ≈0. 91,cos66. 1°≈0. 41,≈1. 414)题型三 方位角问题题型三 方位角问题【分层分析】 (1)过点 C作 CE⊥ AB,交 BA的延长线于点 E,然后根据平角的定义求出 ∠ CAE,再根据 AC求出 CE的长 ,从而得到 △ ABC的面积 ;(2)连接 AD,过点 D作 DF⊥ AB,垂足为点 F,则 DF∥ CE,然后求出 AE,BE的长 ,再根据中位线定理及勾股定理求解即可 . 【方法点析】 利用方位角解题步骤 :(1)利用方位构造直角三角形 ;(2)利用方位角转移角 ;(3)解直角三角形 . 题型三 方位角问题拓展 [2018·十堰 ] 如图 Z3-8,一艘海轮位于灯塔 C的北偏东 45°方向 ,距离灯塔 100海里的 A处 ,它沿正南方向航行一段时间后 ,到达位于灯塔 C的南偏东30°方向上的 B处 . 求此时船距灯塔的距离 . (参考数据 :≈1. 414,≈1. 732,结果取整数 )题型四 夹角问题例 4 [2018·资阳 ] 如图 Z3-9,是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图 ,她在 A处时的风筝线 (整个过程中风筝线近似地看作直线 )与水平线构成 30°角 ,线段 AA1表示小红的身高 1. 5米 . (1)当风筝的水平距离 AC=18米时 ,求此时风筝线 AD的长度 ;(2)当她从点 A跑动 9米到达点 B处时 ,风筝线与水平线构成 45°角 ,此时风筝到达点 E处 ,风筝的水平移动距离 CF=10米 ,这一过程中风筝线的长度保持不变 ,求风筝原来的高度 C1D. 题型四 夹角问题例 4 [2018·资阳 ] 如图 Z3-9,是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图 ,她在 A处时的风筝线 (整个过程中风筝线近似地看作直线 )与水平线构成 30°角 ,线段 AA1表示小红的身高 1. 5米 . (2)当她从点 A跑动 9米到达点 B处时 ,风筝线与水平线构成 45°角 ,此时风筝到达点 E处 ,风筝的水平移动距离 CF=10米 ,这一过程中风筝线的长度保持不变 ,求风筝原来的高度 C1D. 题型四 夹角问题题型四 夹角问题题型四 夹角问题拓展 1 如图 Z3-10,要在宽 AB为 20米的瓯海大道两边安装路灯 ,路灯的灯臂 CD与灯柱 BC成 120°角 ,灯罩的轴线 DO与灯臂 CD垂直 ,当灯罩的轴线 DO通过公路路面的中心线 (即 O为 AB的中点 )时照明效果最佳 . 若CD=米 ,则路灯的灯柱 BC高度应该设计为 米 (计算结果保留根号 ). 图 Z3-10题型四 夹角问题拓展 2 根据爱因斯坦的相对论可知 ,任何物体的运动速度不能超过光速 (3×105 km/s),因为一个物体达到光速需要无穷多的能量 ,并且时光会倒流 ,这在现实中是不可能的 . 但我们可让一个虚拟物超光速运动 ,例如 :直线 l,m表示两根木棒 ,相交成的锐角的度数为 10°,它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时 ,它们的交点 A也随着移动 (如图 Z3-11中箭头所示 ). 若两条直线的移动速度都是光速的 0. 2倍 ,则交点 A的移动速度是光速的 倍 . (结果精确到 0. 1) 图 Z3-11【 答案 】 2.3【 解析 】 如图 ,根据题意 ,设光速为 t m/s,则 1秒内 m与 l移动的距离为 0.2t m,过点 A'作 A'C⊥ AC于点 C,在 Rt△ ACA'中 ,∠ A'AC=10°÷2=5°,A'C=0.2t m,∴ AA'=CA'÷sin5°≈2.3t.∴ A移动的距离约为 2.3t m.故交点 A的移动速度是光速的 2.3倍 .题型五 其他问题例 5 [2018·绍兴 ] 如图 Z3-12① ,窗框和窗扇用 “滑块铰链 ”连接 . 图 ③ 是图 ② 中 “滑块铰链 ”的平面示意图 ,滑轨 MN安装在窗框上 ,托悬臂 DE安装在窗扇上 ,交点 A处装有滑块 ,滑块可以左右滑动 ,支点 B,C,D始终在一直线上 ,延长 DE,交 MN于点 F. 已知 AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm,BD=40 cm. (1)窗扇完全打开 ,张角 ∠ CAB=85°,求此时窗扇与窗框的夹角 ∠ DFB的度数 ;(2)窗扇部分打开 ,张角 ∠ CAB=60°,求此时点 A,B之间的距离 (精确到 0. 1 cm). (参考数据 :≈1. 732,≈2. 449)解 :(1)∵ AC=DE,AE=CD,∴ 四边形 ACDE是平行四边形 .∴ CA∥ DE.∴∠ DFB=∠ CAB=85°.题型五 其他问题例 5 [2018·绍兴 ] 如图 Z3-12① ,窗框和窗扇用 “滑块铰链 ”连接 . 图 ③ 是图 ② 中 “滑块铰链 ”的平面示意图 ,滑轨 MN安装在窗框上 ,托悬臂 DE安装在窗扇上 ,交点 A处装有滑块 ,滑块可以左右滑动 ,支点 B,C,D始终在一直线上 ,延长 DE,交 MN于点 F. 已知 AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm,BD=40 cm. (2)窗扇部分打开 ,张角 ∠ CAB=60°,求此时点 A,B之间的距离 (精确到 0. 1 cm). (参考数据 :≈1. 732,≈2. 449)题型五 其他问题拓展 1 如图 Z3-13① 是一种阳台户外伸缩晾衣架 ,侧面示意图如图 ② 所示 ,其支架 AB,CD,EF,GH,BE,DG,FK的长度都为 40 cm(支架的宽度忽略不计 ),四边形 BQCP、 DMEQ、 FNGM是互相全等的菱形 ,当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时 ,∠ B=∠ D=∠ F=80°,这时 A端到墙壁的距离约为多少 cm?(sin40°≈0. 643,cos40°≈0. 766,tan40°≈0. 839)题型五 其他问题拓展 2 [2017·台州 ] 如图 Z3-14是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图 ,汽车靠墙一侧 OB与墙MN平行且距离为 0. 8米 . 已知小汽车车门宽 AO为 1. 2米 ,当车门打开角度 ∠ AOB为 40°时 ,车门是否会碰到墙 ?请说明理由 . (参考数据 : sin40°≈0. 64,cos40°≈0. 77,tan40°≈0. 84) 图 Z3-14解 :过点 A作 AC⊥ OB,垂足为点 C.在 Rt△ ACO中 ,∠ AOC=40°,AO=1.2米 ,∴ AC=AO·sin∠ AOC≈1.2×0.64=0.768.∵ 汽车靠墙一侧 OB与墙 MN平行且距离为 0.8米 ,0.80.768,∴ 车门不会碰到墙 .专题（四）三角形与四边形综合题题型解读 几何所涉及的计算与证明一般都是以三角形、四边形为基础 ,三角形的综合一般结合其边与角 ,通过转化为特殊的三角形 ,如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等解决问题 ,而四边形一般通过连接对角线 ,从而转化为三角形 ,再进行计算与证明 . 三角形与四边形相关的题一般结合相似三角形、平行线、勾股定理、面积、锐角三角函数等知识 ,重在考查对知识的全面理解与掌握 . 例 1 [2018·遵义 ] 如图 Z4-1,正方形 ABCD的对角线交于点 O,点 E,F分别在 AB,BC上 (AEBE),且 ∠ EOF=90°,OE,DA的延长线交于点 M,OF,AB的延长线交于点 N,连接 MN. (1)求证 :OM=ON;(2)若正方形 ABCD的边长为 4,E为 OM的中点 ,求 MN的长 . 题型一 求长度题型一 求长度【分层分析】 (1)证 △ OAM≌△ OBN即可得 ;(2)作 OH⊥ AD,由正方形的边长为 4且 E为 OM的中点 ,知 OH=HA=2,HM=4,再根据勾股定理得 OM=2,由等腰直角三角形的性质知 MN=OM. 【方法点析】 解求边长之类的题 :添加常用辅助线 ,将四边形化成三角形 (或构造直角三角形 ),通过解直角三角形去求 . 题型一 求长度拓展 1 [2018·张家界 ] 如图 Z4-2,在矩形 ABCD中 ,点 E在 BC上 ,AE=AD,DF⊥ AE,垂足为 F. (1)求证 :DF=AB;(2)若 ∠ FDC=30°,且 AB=4,求 AD的长 . 题型一 求长度拓展 2 [2018·呼和浩特 ] 如图 Z4-3,已知 A,F,C,D四点在同一条直线上 ,AF=CD,AB∥ DE,且AB=DE. (1)求证 :△ ABC≌△ DEF;(2)若 EF=3,DE=4,∠ DEF=90°,请直接写出使四边形 EFBC为菱形时 AF的长度 . 题型一 求长度拓展 3 [2017·杭州 ] 如图 Z4-4,在正方形 ABCD中 ,点 G在对角线 BD上 (不与点 B,D重合 ),GE⊥ DC于点E,GF⊥ BC于点 F,连接 AG. (1)写出线段 AG,GE,GF长度之间的数量关系 ,并说明理由 ;(2)若正方形 ABCD的边长为 1,∠ AGF=105°,求线段 BG的长 . 解 :(1)结论 :AG2=GE2+GF2.理由 :如图 ,连接 CG.∵ 四边形 ABCD是正方形 ,∴ A,C关于对角线 BD对称 .∵ 点 G在 BD上 ,∴ GA=GC.∵ GE⊥ DC于点E,GF⊥ BC于点 F,∴∠ GEC=∠ ECF=∠ CFG=90°.∴ 四边形 EGFC是矩形 .∴ CF=GE.在 Rt△ GFC中 ,∵ CG2=GF2+CF2,∴ AG2=GF2+GE2.题型一 求长度拓展 3 [2017·杭州 ] 如图 Z4-4,在正方形 ABCD中 ,点 G在对角线 BD上 (不与点 B,D重合 ),GE⊥ DC于点E,GF⊥ BC于点 F,连接 AG. (2)若正方形 ABCD的边长为 1,∠ AGF=105°,求线段 BG的长 . 题型二 求面积例 2 [2018·广西 ] 如图 Z4-5,在 ▱ABCD中 ,AE⊥ BC,AF⊥ CD,垂足分别为 E,F,且 BE=DF. (1)求证 :▱ABCD是菱形 ;(2)若 AB=5,AC=6,求 ▱ABCD的面积 . 题型二 求面积【分 层 分析】 (1)利用全等三角形的性 质证 明 AB=AD即可解决 问题 ;(2)连 接 BD,交 AC于 O,利用勾股定理求出 对 角 线 的 长 即可解决 问题 .【方法点析】 在四 边 形或三角形中求面 积 ,关 键 是要将四 边 形 转 化 为 三角形 ,再利用三角形的全等、相似、直角三角形的勾股定理 ,求出其底与高 ,再求面 积 . 题型二 求面积拓展 1 如图 Z4-6,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90°,AC=3,BC=4,∠ ABC的平分线交边 AC于点 D,延长 BD至点 E,且BD=2DE,连接 AE. (1)求线段 CD的长 ;(2)求 △ ADE的面积 . 题型二 求面积拓展 2 [2018·陇南 ] 如图 Z4-7,在矩形 ABCD中 ,E是 AD边上的一个动点 ,点 F,G,H分别是 BC,BE,CE的中点 . (1)求证 :△ BGF≌△ FHC;(2)设 AD=a,当四边形 EGFH是正方形时 ,求矩形 ABCD的面积 . 题型二 求面积拓展 3 [2018·青海 ] 如图 Z4-8,在平行四边形 ABCD中 ,E为 AB边上的中点 ,连接 DE并延长 ,交 CB的延长线于点 F. (1)求证 :AD=BF;(2)若平行四边形 ABCD的面积为 32,试求四边形 EBCD的面积 . 题型三 求角度例 3 [2017·枣庄 ] 如图 Z4-9,已知正方形 ABCD中 ,P为射线 AB上的一点 ,以 BP为边作正方形 BPEF,使点 F在线段 CB的延长线上 ,连接 EA,EC. (1)如图 ① ,若点 P在线段 AB的延长线上 ,求证 :EA=EC;(2)如图 ② ,若点 P为线段 AB的中点 ,连接 AC,判断 △ ACE的形状 ,并说明理由 ;(3)如图 ③ ,若点 P在线段 AB上 ,连接 AC,当 EP平分 ∠ AEC时 ,设 AB=a,BP=b,求 a∶b及 ∠ AEC的度数 . 题型三 求角度例 3 [2017·枣庄 ] 如图 Z4-9,已知正方形 ABCD中 ,P为射线 AB上的一点 ,以 BP为边作正方形 BPEF,使点 F在线段 CB的延长线上 ,连接 EA,EC. (2)如图 ② ,若点 P为线段 AB的中点 ,连接 AC,判断 △ ACE的形状 ,并说明理由 ;题型三 求角度例 3 [2017·枣庄 ] 如图 Z4-9,已知正方形 ABCD中 ,P为射线 AB上的一点 ,以 BP为边作正方形 BPEF,使点 F在线段 CB的延长线上 ,连接 EA,EC. (3)如图 ③ ,若点 P在线段 AB上 ,连接 AC,当 EP平分 ∠ AEC时 ,设 AB=a,BP=b,求 a∶b及 ∠ AEC的度数 . 题型三 求角度题型三 求角度拓展 [2018·曲靖 ] 如图 Z4-10,分别在平行四边形 ABCD的边 AB,CD上截取 AF,CE,使得 AF=CE,连接 EF,点M,N是线段 EF上两点 ,且 EM=FN,连接 AN,CM. (1)求证 :△ AFN≌△ CEM;(2)若 ∠ CMF=107°,∠ CEM=72°,求 ∠ NAF的度数 . 解 :(1)证明 :∵ 四边形 ABCD是平行四边形 ,∴ CD∥ AB.∴∠ AFN=∠ CEM.又 ∵ FN=EM,AF=CE.∴ △ AFN≌△ CEM(SAS).(2)∵ △ AFN≌△ CEM,∴∠ NAF=∠ ECM.∵∠ CMF=∠ CEM+∠ ECM,∴ 107°=72°+∠ ECM.∴∠ ECM=35°.∴∠ NAF=35°.题型四 求线段的数量比解 :(1)证明 :∵ AB=AC,D,E分别是 AB,AC的中点 ,∴ AD=BD=AE=EC.由旋转的性质可知 ,∠ DAD'=∠ EAE'=α,AD'=AD,AE'=AE.∴ AD'=AE'.∴ △ BD'A≌△ CE'A.∴ BD'=CE'.题型四 求线段的数量比题型四 求线段的数量比题型四 求线段的数量比【分层分析】 (1)首先依据旋转的性质和中点的定义证明 AD'=AE',然后利用 SAS证明 △ BD'A≌△ CE'A,最后依据全等三角形的性质进行证明即可 ;(2)连接 DD',先证明 ADD'为等边三角形 ,然后再证明 △ ABD'为直角三角形 ,接下来证明 △ BFD'∽△ AFE',最后依据相似三角形的性质求解即可 . 题型四 求线段的数量比