2019届高考数学总复习 模块五 解析几何限时集训（打包4套）理.zip

1限时集训（十七）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题基础过关1.已知直线 l 与抛物线 y2=2x 交于 A,B(异于坐标原点 O)两点 .(1)若直线 l 的方程为 y=x-2,求证: OA⊥ OB.(2)若 OA⊥ OB,则直线 l 是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由 .2.已知圆 O:x2+y2=4,点 F(1,0),P 为平面内一动点,以线段 FP 为直径的圆内切于圆 O,设动点 P 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的轨迹方程 .(2)M,N 是曲线 C 上的动点,且直线 MN 经过定点 0, ,问在 y 轴上是否存在定点 Q,使得∠ MQO=∠ NQO?若存在,请12求出定点 Q;若不存在,请说明理由 .3.如图 X17-1 所示,已知椭圆 Γ : + =1 的右焦点为 F,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆 Γ 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两x24y23点(点 A 在 x 轴上方),点 A 关于坐标原点的对称点为 P,直线 PA,PB 分别交直线 l:x=4 于 M,N 两点,记 M,N 两点的纵坐标分别为 yM,yN.(1)求直线 PB 的斜率(用 k 表示) .(2)求点 M,N 的纵坐标 yM,yN(用 x1,y1表示),并判断 yM·yN是否为定值 .若是,请求出该定值;若不是,请说明理由 .图 X17-124.如图 X17-2 所示,点 P(1,1)为抛物线 y2=x 上一定点,斜率为 - 的直线与抛物线交于 A,B 两点 .12(1)求弦 AB 的中点 M 的纵坐标;(2)点 Q 是线段 PB 上任意一点(异于端点),过 Q 作 PA 的平行线交抛物线于 E,F 两点,求证: |QE|·|QF|-|QP|·|QB|为定值 .图 X17-2能力提升5.已知抛物线 E 的顶点为坐标原点 O,焦点为圆 F:x2+y2-4x+3=0 的圆心 .过点 F 的直线 l 交抛物线 E 于 A,D 两点,交圆 F 于 B,C 两点, A,B 在第一象限, C,D 在第四象限 .(1)求抛物线 E 的方程 .(2)是否存在直线 l 使得 2|BC|是 |AB|与 |CD|的等差中项?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 .6.已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,且离心率为 ,点 M 为椭圆上一动点,△ F1MF2面积的最大x2a2y2b2 12值为 .3(1)求椭圆 C 的标准方程 .3(2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 B 作 x 轴的垂线 l1,D 为 l1上异于点 B 的一点,以 BD 为直径作圆 E.若过点 F2的直线 l2(异于 x 轴)与圆 E 相切于点 H,且 l2与直线 AD 相交于点 P,试判断 |PF1|+|PH|是否为定值,并说明理由 .4限时集训(十七)基础过关1.解:(1)证明:由 得 x2-6x+4=0,解得 x=3± ,不妨取 A(3- ,1- ),B(3+ ,1+ ),{y=x-2,y2=2x, 5 5 5 5 5∴ · =0,∴OA ⊥ OB.OAOB(2)显然直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x=ty+m(m≠0), A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 x 得 y2-2ty-2m=0,{x=ty+m,y2=2x, ∴y 1y2=-2m,x1x2= · =m2,y212 y222由 OA⊥ OB,得 · =x1x2+y1y2=m2-2m=0,∴m= 2,OAOB直线 l 的方程为 x=ty+2,∴ 直线 l 恒过定点,且定点坐标为(2,0) .2.解:(1)设 PF 的中点为 S,切点为 T,连接 OS,ST,则 |OS|+|SF|=|OT|=2,取 F 关于 y 轴的对称点 F',连接 F'P,故|F'P|+|FP|=2(|OS|+|SF|)=4|FF'|=2.所以点 P 的轨迹是以 F',F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,设其方程为 + =1(ab0),x2a2y2b2则 a=2,c=1,b= ,所以曲线 C 的方程为 + =1.3x24y23(2)假设存在满足题意的定点 Q,设 Q(0,m).当直线 MN 的斜率存在且不为 0 时,设直线 MN 的方程为 y=kx+ (k≠0),12M(x1,y1),N(x2,y2).由 消去 y,得(3 +4k2)x2+4kx-11=0,{x24+y23=1,y=kx+12,则 x1+x2= ,x1·x2= .-4k3+4k2 -113+4k2由∠ MQO=∠ NQO,得直线 MQ 与 NQ 的斜率之和为 0,即 + = + = =0,y1-mx1 y2-mx2 kx1+12-mx1 kx2+12-mx2 2kx1x2+(12-m)(x1+x2)x1x2即 2kx1x2+ (x1+x2)=2k· + · = =0,得 m=6,(12-m) -113+4k2(12-m) -4k3+4k24k(m-6)3+4k2所以存在定点 Q(0,6)满足题意 .当 MN 的斜率不存在或斜率为 0 时定点 Q(0,6)也符合题意 .5综上,存在定点 Q(0,6)满足题意 .3.解:(1)由题,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),由 消去 y,得(4 k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则{y=k(x-1),x24+y23=1, {x1+x2= 8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3,又 P(-x1,-y1),所以 kPB= = =- .y1+y2x1+x2k(x1-1)+k(x2-1)x1+x2 34k(2)直线 PA 的方程为 y= x,所以 yM= .y1x1 4y1x1由题意可知, k= ,所以直线 PB 的方程为 y+y1=- (x+x1),y1x1-1 3(x1-1)4y1则 yN=- -y1.3(x1-1)(4+x1)4y1因为 + =1,所以 yM·yN=- - =- =-9,x214y213 3(x1-1)(4+x1)x1 4y21x1 3x21+4y21+9x1-12x1所以, yM·yN为定值 -9.4.解:(1)设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 =xA, =xB,两式相减得( yA-yB)(yA+yB)=xA-xB,所以 kAB= = =- ,y2A y2ByA-yBxA-xB 1yA+yB 12所以 yA+yB=-2,所以弦 AB 的中点 M 的纵坐标 yM= =-1.yA+yB2(2)证明:设 Q(x0,y0),直线 EF:x-x0=t1(y-y0),由 得 y2-t1y+t1y0-x0=0,{x-x0=t1(y-y0),y2=x, 所以 yE+yF=t1,yE·yF=t1y0-x0,|QE|·|QF|= |yE-y0|· |yF-y0|=(1+ )| -x0|.1+t21 1+t21 t21 y20同理设直线 PB:x-x0=t2(y-y0),则 |QP|·|QB|=(1+ )| -x0|.t22 y20因为 t1= = =yA+yP,t2= =yB+yP,1kEF1kPA 1kPB所以 t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0,即 t1=-t2,即 = ,t21t22所以 |QE|·|QF|=|QP|·|QB|,即 |QE|·|QF|-|QP|·|QB|=0,为定值 .能力提升65.解:(1) ∵ 圆 F 的方程为( x-2)2+y2=1,∴ 圆心 F 的坐标为(2,0),半径 r=1.根据题意设抛物线 E 的方程为 y2=2px(p0),由 =2,得 p=4,∴ 抛物线 E 的方程为 y2=8x.p2(2)假设存在直线 l 满足题意,若 2|BC|是 |AB|与 |CD|的等差中项,则 |AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8,则 |AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.若直线 l 垂直于 x 轴,则 l 的方程为 x=2,代入 y2=8x,解得 y=±4.此时 |AD|=8,不满足题意 .若 l 不垂直于 x 轴,则设 l 的斜率为 k(k≠0),此时 l 的方程为 y=k(x-2),由 得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.{y=k(x-2),y2=8x, 设 A(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2= .4k2+8k2∵ 拋物线 E 的准线方程为 x=-2,∴|AD|=|AF|+|DF|= (x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10,即 +4=10,解得 k=±2.4k2+8k2当 k=±2 时, k2x2-(4k2+8)x+4k2=0 化为 x2-6x+4=0,∵ (-6)2-4×1×40,∴x 2-6x+4=0 有两个不相等实数根,∴k=± 2 满足题意 .综上,存在满足要求的直线 l:2x-y-4=0 或直线 l:2x+y-4=0.6.解:(1)由题意可知 解得{a2=b2+c2,ca=12,bc= 3, {a=2,b= 3,所以椭圆 C 的方程为 + =1.x24y23(2)由(1)可知 A(-2,0),B(2,0),F2(1,0).因为过 F2与圆 E 相切的直线分别切于 B,H 两点,所以 |F2H|=|F2B|=1,所以 |PF1|+|PH|=|PF1|+|PF2|-|F2H|=|PF1|+|PF2|-1.设点 E(2,t)(t≠0),则 D(2,2t),圆 E 的半径为 |t|,则直线 AD 的方程为 y= (x+2).t27设 l2的方程为 x=ky+1,则 =|t|,|2-kt-1|1+k2化简得 k= .1-t22t由 得{y=t2(x+2),x=1-t22ty+1, {y= 6t3+t2,x=6-2t23+t2,所以点 P .(6-2t23+t2,6t3+t2)因为 + = =1,(6-2t23+t2)24 (6t3+t2)23 t4+6t2+9(3+t2)2所以点 P 在椭圆 C 上,所以 |PF1|+|PF2|=4,即 |PF1|+|PH|=4-1=3,为定值 .1限时集训（十五）圆锥曲线的方程与性质基础过关1.已知抛物线 C 的开口向下,其焦点是双曲线 -x2=1 的一个焦点,则抛物线 C 的方程为 ( )y23A.y2=8x B.x2=-8yC.y2= x D.x2=- y2 22.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的焦点,过点 F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且 |AB|=3,则椭圆 C 的方程为 ( )A. +y2=1B. + =1x22 x23y22C. + =1 D. + =1x24y23 x25y243.若双曲线 x2+my2=m(m∈R)的焦距为 4,则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y=± x B.y=± x5 3C.y=± x D.y=± x1515 334.已知直线 x-y=0 与抛物线 y2=12x 相交于点 A(不与原点重合),则点 A 到抛物线焦点的3距离为 ( )A.6 B.7 C.9 D.125.在平面直角坐标系中,经过点 P(2 ,- )且离心率为 的双曲线的标准方程为 ( )2 2 3A. - =1 B. - =1x24y22 x27y214C. - =1 或 - =1D. - =1 或 - =1x23y26 y214x27 x27y214 y214x276.已知椭圆 C: +y2=1 的离心率与双曲线 E: - =1(a0,b0)的一条渐近线的斜率相等,则双x22 x2a2y2b2曲线 E 的离心率为 ( )A. B.2 3C. D.52 6227.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 K,抛物线上有一点 P,若 |PF|=5,则△ PKF 的面积为( )A.4 B.5 C.8 D.108.设 A,B 分别是椭圆 C: + =1 的左、右焦点,点 P 是椭圆 C 与圆 M:x2+y2=10 的一个交点,则x212y22||PA|-|PB||=( )A.2 B.42 3C.4 D.62 29.椭圆 C: + =1(ab0)的右焦点为 F,存在直线 y=t 与椭圆 C 交于 A,B 两点,使得△ ABF 为x2a2y2b2等腰直角三角形,则椭圆 C 的离心率 e= ( )A. B. -122 2C. -1 D.51210.已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,其一条渐近线被圆( x-m)2+y2=4(m0)截得的x2a2y2b2 2线段长为 2 ,则实数 m 的值为 ( )2A.3 B.1C. D.2211.若过抛物线 y= x2的焦点的直线与抛物线交于 A,B 两点,则 · (O 为坐标原点)的值是14 OAOB( )A. B.-34 34C.3 D.-312.设椭圆 C: +y2=1 的左焦点为 F,直线 l:y=kx(k≠0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,则△ AFB 的x24周长的取值范围是 . 13.抛物线 y2=8x 的焦点为 F,点 A(6,3),P 为抛物线上一点,且 P 不在直线 AF 上,则△ PAF 的周长的最小值为 . 能力提升14.已知抛物线 C:y2=2x,直线 l:y=- x+b 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆与 x12轴相切,则 b 的值是 ( )3A.- B.- C.- D.-15 25 45 8515.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2且垂直于长轴的直线交椭圆于 A,B 两x24y23点,则△ ABF1的内切圆的半径为 ( )A. B.1 C. D.43 45 3416.已知椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若在直线 x=2a 上存在点 P 使线段x2a2y2b2PF1的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是 ( )A. B.(0,23] [23,1)C. D.(0,12] [12,1)17.已知双曲线 -y2=1 的右焦点是抛物线 y2=2px(p0)的焦点,直线 y=kx+m 与抛物线相交于x23A,B 两个不同的点,点 M(2,2)是线段 AB 的中点,则△ AOB(O 为坐标原点)的面积是 . 18.抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,A,B 为抛物线上的两点,以 AB 为直径的圆过点 F,过 AB的中点 M 作抛物线的准线的垂线 MN,垂足为 N,则 的最大值为 . |MN||MF|4限时集训(十五)基础过关1.B [解析] 双曲线 -x2=1 的一个焦点为(0, -2),所以抛物线的焦点坐标也是(0, -2),故抛y23物线 C 的方程为 x2=-8y.2.C [解析] 设椭圆 C 的方程为 + =1(ab0),则 |AB|=3= ,根据 a2-b2=c2可得 a2- a-1=0,x2a2y2b2 2b2a 32得 a=2,所以 b2=3,所以椭圆 C 的方程为 + =1.x24y233.D [解析] 双曲线的标准方程为 y2- =1,x2-m∵ 双曲线的焦距为 4,∴ =2,即 m=-3,1+(-m)∴ 双曲线的标准方程为 y2- =1,x23∴ 双曲线的渐近线的方程为 y=± x.334.B [解析] 联立 得到 3x2=12x,∴x= 4 或 0(舍), ∴A (4,4 ),又焦点{3x-y=0,y2=12x, 3F(3,0),∴|AF|= =7.(4-3)2+(43-0)25.B [解析] 由 e= = ,得 = .当焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 - =1(a0,b0),代ca 3 ba 2 x2a2y2b2入 P(2 ,- ),得 - =1,解得 a2=7,b2=14;当焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 -2 28a22b2 y2a2=1(a0,b0),代入 P(2 ,- ),得 - =1,无解 .综上,双曲线的标准方程为 - =1,故选x2b2 2 2 2a28b2 x27y214B.6.D [解析] 易知椭圆 C: +y2=1 的离心率为 ,由题可知 = ,又因为 c2=a2+b2,所以双曲x22 22 ba 22线的离心率 e= = .ca 627.A [解析] 由抛物线的方程 y2=4x,可得 F(1,0),K(-1,0),设 P(x0,y0),则 |PF|=x0+1=5,即 x0=4,不妨设 P(x0,y0)在第一象限,则 P(4,4),5所以 S△ PKF= ·|FK||y0|= ×2×4=4,故选 A.12 128.C [解析] 由题易知线段 AB 是圆 M 的一条直径,则有|PA|+|PB|=2a=4 ,|PA|2+|PB|2=(2c)2=40,∴ (|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|,得32|PA||PB|=8,∴ (|PA|-|PB|)2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|=32,则 ||PA|-|PB||=4 ,故选 C.29.B [解析] 由题知,当 BF⊥ AB 时,△ ABF 为等腰直角三角形, ∴|FB|=|AB| ,即 =2c,b2a即 b2=2ac,∴a 2-c2=2ac,∴ 1-e2=2e,∴e 2+2e-1=0,解得 e=± -1,由于椭圆的离心率2e∈(0,1), ∴e= -1,故选 B.210.D [解析] 双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则x2a2y2b2 2= ,∴c 2=2a2,∴a 2+b2=2a2,∴a=b ,则双曲线的一条渐近线方程为 x-y=0,圆( x-m)ca 22+y2=4(m0)的圆心坐标为( m,0),半径为 2,则圆心到渐近线的距离 d= = ,解m2-( 2)2|m|2得 m=2.11.D [解析] 抛物线为 x2=4y,焦点为 F(0,1),设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程 得 x2-4kx-4=0,所以 x1x2=-4,y1y2= (x1x2)2=1,{x2=4y,y=kx+1, 116故 · =x1x2+y1y2=-3,故选 D.OAOB12.(6,8) [解析] 根据椭圆的对称性得△ AFB 的周长等于|AF|+|BF|+|AB|=2a+|AB|=4+|AB|,而 A,B 为直线 y=kx(k≠0)与椭圆的交点,所以2b|AB|2a,即 2|AB|4,所以△ AFB 的周长的取值范围为(6,8) .13.13 [解析] 由抛物线定义知,抛物线上的点 P 到焦点的距离 |PF|等于点 P 到准线的距离d,即 |FP|=d.所以△ PAF 的周长l=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+ ≥6 +2+5=13.(6-2)2+(3-0)2能力提升14.C [解析] 由题意,可设 A,B 的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),联立直线与抛物线方程消去 y 得 x2-(b+2)x+b2=0,则 x1+x2=4(b+2),x1x2=4b2,y1+y2=-4.由题知 |AB|={y2=2x,y=-12x+b, 14 12,即 =2,解得 b=- .故选 C.|y1+y22 | 12 1+(12)2 [4(b+2)]2-4·4b2 4515.D [解析] 由题不妨设点 A 在第一象限 .由 + =1 得 a=2,b= ,易知 A,B 的纵坐标x24y23 3yA,yB分别为 ,- .根据椭圆的定义可知△ ABF1的周长为 4a=8,设△ ABF1的内切圆半径为 r,△32 32ABF1的面积为 |F1F2|·|yA-yB|= ×2×3=3= ×8·r,解得 r= ,故选 D.12 12 12 34616.B [解析] 根据中垂线的性质可得, |PF2|=|F1F2|=2c,又 ∵|PF 2|≥2 a-c,∴ 2a≤3 c,即e≥ ,又 ∵e 1,∴ 椭圆的离心率的取值范围是 ,故选 B.23 [23,1)17.2 [解析] 由题意得,抛物线的焦点坐标为(2,0),则 y2=8x,3联立 得 y2- y+ =0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2= ,{y2=8x,y=kx+m, 8k 8mk 8k 8mk又因为点 M(2,2)是线段 AB 的中点,所以 y1+y2= =4,解得 k=2,m=-2,8k则 |AB|= |y1-y2|= ×4 =2 ,点 O 到直线 AB 的距离 d= = ,1+1k2 52 1-m 15 |m|1+k225所以△ AOB 的面积 S= |AB|·d=2 .12 318. [解析] 过 A,B 分别向准线作垂线交准线于 A',B',由抛物线定义得2|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|,所以 |MN|= (|AF|+|BF|)= (|AA'|+|BB'|),易知12 12AF⊥ BF,|MF|= |AB|,所以 = ≤ = ,当且仅当 |AF|=|BF|时,等号成12 |MN||AB| |AF|+|BF|2|AF|2+|BF|2 |AF|2+|BF|22|AF|2+|BF|2 22立,则 的最大值为 ,所以 的最大值为 .|MN||AB| 22 |MN||MF| 21限时集训（十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题基础过关1.已知椭圆 M 与椭圆 N: + =1 有相同的焦点,且椭圆 M 过点(0,2) .x29y25(1)求椭圆 M 的长轴长;(2)设直线 y=x+2 与椭圆 M 交于 A,B 两点( A 在 B 的右侧), O 为原点,求证: · =- .OAOB432.已知点 M(1,2)在抛物线 C:y2=2px(p0)上,过点 N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点 .(1)若 MN⊥ AB,求直线 l 的方程;(2)求证:点 M 在以 AB 为直径的圆上 .3.已知椭圆 C: + =1 的左焦点为 F,点 M(-4,0),过 M 作斜率不为零的直线 l,与椭圆 C 交于x24y23A,B 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为 B'.(1)求证:动直线 AB'恒过定点 F(椭圆的左焦点);(2)△ MAB'的面积记为 S,求 S 的取值范围 .4.已知抛物线 E:x2=4y 的焦点为 F,P(a,0)为 x 轴上的点 .(1)过点 P 作直线 l 与 E 相切,求切线 l 的方程;2(2)如果存在过点 F 的直线 l'与抛物线交于 A,B 两点,且直线 PA 与 PB 的倾斜角互补,求实数 a 的取值范围 .能力提升5.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C1:x2=4y,直线 l 与抛物线 C1交于 A,B 两点 .(1)若直线 OA,OB 的斜率之积为 - ,证明:直线 l 过定点;14(2)若线段 AB 的中点 M 在曲线 C2:y=4- x2(-2 b0)的左、右焦点, F2恰好与抛物线 y2=4x 的焦点重合,过x2a2y2b2椭圆 E 的左焦点 F1且与 x 轴垂直的直线被椭圆 E 截得的线段长为 3.(1)求椭圆 E 的方程;(2)已知点 P ,直线 l:x=4,过 F2且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于 A,B 两点,与直线 l 交(1,32)于 M 点,若直线 PA,PB,PM 的斜率分别是 k1,k2,k3,求证:无论 k 取何值,总满足 k3是 k1和 k2的等差中项 .3限时集训(十六)基础过关1.解:(1)由题意,设椭圆 M 的标准方程为 + =1(ab0),则 c2=9-5=4,又由椭圆 M 过点(0,2),得x2a2y2b2b=2,所以 a=2 ,所以椭圆 M 的长轴长为 4 .2 2(2)证明:椭圆 M 的方程为 + =1,由 得 3x2+8x=0,解得 x1=0,x2=- ,则 A(0,2),Bx28y24 {y=x+2,x28+y24=1, 83,(-83,-23)所以 · =(0,2)· =- ,故得证 .OAOB (-83,-23) 432.解:(1)由题意得 kMN=-1,若 MN⊥ AB,则 kAB=1,所以直线 l 的方程为 y-(-2)=1·(x-5),即 x-y-7=0.(2)证明:由点 M 在抛物线上,得抛物线的方程为 y2=4x.设点 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 x=m(y+2)+5(m≠0) .将直线方程与抛物线方程联立,整理得 y2-4my-(8m+20)=0,所以 y1+y2=4m,y1y2=-8m-20.又 =(x1-1,y1-2), =(x2-1,y2-2),MA MB所以 · =(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4= -m(y1+y2)-MAMB(y1y2)2164m-10+1+y1y2-2(y1+y2)+4= -m·4m-4m-10+1-(8m+20)-2×4m+4=0,所以 ⊥ .(8m+20)216 MAMB所以点 M 在以 AB 为直径的圆上 .3.解:(1)证明:易知 F(-1,0).设直线 l 的方程为 x=my-4,与 + =1 联立,得(3 m2+4)y2-x24y2324my+36=0,由 Δ 0,得 |m|2,设 A(x1,y1),B(x2,y2),B'(x2,-y2),则{y1+y2= 24m3m2+4,y1y2= 363m2+4. 直线 AB'的方程为 y-y1= (x-x1),令 y=0,y1+y2x1-x2得 x= =2m· -4=2m· -4=-1,x2y1+x1y2y1+y2 y1y2y1+y2 32m4∴ 动直线 AB'恒过定点 F(-1,0).(2)S= |MF||y1+y2|= × = ,|m|2.12 32 |24m3m2+4| 363|m|+4|m|令 f(t)=3t+ ,t2,则 f'(t)=3- 0 在(2, +∞ )上恒成立,4t 4t2∴f (t)在(2, +∞ )上单调递增, ∴f (t)∈(8, +∞ ),∴S ∈ ,即 S 的取值范围为 .(0,92) (0,92)4.解:(1)易知切线 l 的斜率存在,设切点为 Q x0, ,由 x2=4y 得 y' = ,x204 x=x0x02∴ 切线 l 的方程为 y- = (x-x0).x204x02∵ 切线 l 过点 P,∴- = (a-x0),解得 x0=2a 或 x0=0.x204x02当 a=0 时,切线 l 的方程为 y=0;当 a≠0 时,切线 l 的方程为 y=0 或 ax-y-a2=0.(2)由题,直线 l'的斜率存在,设直线 l'的方程为 y=kx+1,代入 x2=4y 得 x2-4kx-4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4.由已知得 kPA+kPB= + =0,y2x2-a y1x1-a即 + =0,∴ 2kx1x2+(1-ka)(x1+x2)-2a=0,kx2+1x2-akx1+1x1-a整理得 2ak2+2k+a=0.当 a=0 时,上式有解,符合题意;当 a≠0 时,由 Δ= 4-8a2≥0,得 - ≤ a≤ 且 a≠0 .22 22综上, a 的取值范围为 - ≤ a≤ .22 22能力提升5.解:(1)证明:由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+m,由 得 x2-4kx-4m=0,{x2=4y,y=kx+m,Δ= 16(k2+m)0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4m.∵k OA·kOB= = = =- =- ,∴m= 1,y1·y2x1·x214x21·14x22x1·x2x1·x216 m4 14∴ 直线 l 的方程为 y=kx+1,∴ 直线 l 过定点(0,1) .5(2)设 M(x0,y0),则 x0= =2k,y0=kx0+m=2k2+m,将( x0,y0)代入 y=4- x2,得 2k2+m=4- ·(2k)x1+x22 14 142,∴m= 4-3k2.∵- 2 0,得 - k ,2 2∴k 的取值范围是( - , ).2 2∵|AB|= = =4 ≤1+k2 (x1+x2)2-4x1x2 1+k2 16(k2+m) 2 (k2+1)(2-k2)4 =6 ,2(k2+1)+(2-k2)2 2当且仅当 k2+1=2-k2,即 k=± 时取等号,22∴|AB| 的最大值为 6 .26.解:(1)由题意知 F2(1,0),把 代入 + =1,得 + =1,又 a2-b2=1,(-1,32) x2a2y2b2 1a294b2所以 a2=4,b2=3,因此椭圆 E 的方程为 + =1.x24y23(2)证明:直线 AB 的方程为 y=k(x-1),代入椭圆 E 的方程,并整理得(4 k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2= ,x1x2= .8k24k2+3 4(k2-3)4k2+3把 x=4 代入直线 AB 的方程,得 M(4,3k),从而 k1= ,k2= ,k3= =k- .y1-32x1-1 y2-32x2-1 3k-324-1 12又因为 A,F2,B 三点共线,所以 = =k,y1x1-1 y2x2-1所以 k1+k2= + = + - =2k- · =2k- ·y1-32x1-1y2-32x2-1 y1x1-1 y2x2-132( 1x1-1+ 1x2-1) 32 x1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1 32=2k-1,又 k3=k- ,所以 k1+k2=2k3,即无论 k 取何值,8k24k2+3-24(k2-3)4k2+3- 8k24k2+3+1 12总满足 k3是 k1和 k2的等差中项 .1限时集训（十四）直线与圆基础过关1.若直线 l 经过点 A(1,2),且在 x 轴上的截距的取值范围是( -3,3),则其斜率的取值范围是( )A.-11 或 k 或 k0)上存在点 P,且点 P 关于直线 x-y=0 的对称点 Q 在圆 C2:(x-2)2+(y-1)2=1 上,则 r 的取值范围是 . 11.直线 ax+y-2=0 与圆 C:x2+y2=4 相交于 A,B 两点,若 · =-2,则 a= . CACB12.已知 A(-3,0),圆 C:(x-a-1)2+(y- a)2=1 上存在点 M,满足条件 |MA|=2|MO|(O 为坐标原3点),则实数 a 的取值范围为 . 能力提升13.在平面直角坐标系中,过定点 P 的直线 l:ax+y-1=0 与过定点 Q 的直线 m:x-ay+3=0 相交于点 M,则 |MP|2+|MQ|2的值为 ( )A. B.102 10C.5 D.1014.圆 C 的方程为( x+a)2+(y-a)2=1,点 A(0,3),O 为坐标原点,若 C 上存在点 P,使得|PA|=2|PO|,则 a 的取值范围是 ( )A. ∪ B.(-1- 172 ,-1) (0,-1+ 172 ) (-1- 172 ,-1+ 172 )C. ∪ D.[-1- 172 ,-1] [0,-1+ 172 ] [-1- 172 ,-1+ 172 ]15.已知圆 O:x2+y2=1,若 A,B 是圆 O 上不同的两点,以 AB 为边作等边三角形 ABC,则 |OC|的最大值是 ( )A. B.2+ 62 3C.2 D. +1316.已知圆 C1:x2+y2=r2,圆 C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,给出下列结论: ①a (x1-x2)+b(y1-y2)=0;② 2ax1+2by1=a2+b2;③x 1+x2=a,y1+y2=b.其中正确结论的个数是( )3A.0 B.1C.2 D.317.已知斜率为 1,且在 y 轴上的截距 b 为正数的直线 l 与圆 C:x2+y2=4 交于 A,B 两点, O 为坐标原点,若△ AOB 的面积为 ,则 b= . 318.已知点 A(-3,0),B(-1,-2),若圆( x-2)2+y2=r2(r0)上恰有两点 M,N,使得△ MAB 和△ NAB的面积均为 4,则 r 的取值范围是 . 4限时集训(十四)基础过关1.D [解析] 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),直线 l 在 x 轴上的截距为 1- ,令 -3 或 k-1.2k 2k 122.D [解析] 圆 x2+y2+4x-6y+4=0,即( x+2)2+(y-3)2=9,则圆心为( -2,3),半径为 3,设圆 C 的半径为 r.由两圆外切知,圆心距 d= =5=3+r,所以 r=2.(2+2)2+(0-3)2故 C 的方程为( x-2)2+y2=4,即 x2+y2-4x=0.3.A [解析] ∵k OP=3,kOQ=-1,线段 OP,OQ 的中点分别为 , ,∴ 线段 OP,OQ 的中垂(12,32)(-12,12)线所在的直线方程分别为 y=- x+ ,y=x+1,联立可得外接圆圆心为 ,所以外接圆半径为13 53 (12,32),故选 A.1024.A [解析] 圆 x2+y2-4x+2y-20=0,即( x-2)2+(y+1)2=25,则圆心为(2, -1),半径 r=5,易知点(2,-1)在 y= x- 上,故直线过圆心且与圆相交,故选 A.34 525.B [解析] 由题知,点 B 在直线 y=2 上,过点 A(0,-2 )作圆 C 的切线 .3 3设切线的斜率为 k,则切线方程为 kx-y-2 =0,3由圆心到切线的距离等于半径,得 = ,解得 k=± ,231+k2 3 3所以切线方程为 y=± x-2 ,3 3切线和直线 y=2 的交点坐标为( ±4,2 ).3 3故要使视线不被圆 C 挡住,实数 a 的取值范围是( -∞ ,-4)∪(4, +∞ ).6.C [解析] 由题意得,直线被圆截得的弦长等于半径 .圆的圆心为 O(0,0),设圆的半径为 r,则r2=a2+(a-1)2,圆心到直线 x+y= a 的距离 d= = .3|- 3a|2 |6a|2由条件得 2 =r,整理得 4d2=3r2.r2-d2即 6a2=3a2+3(a-1)2,解得 a= .故选 C.1257.C [解析] 圆 x2+y2+4x-2y+1=0,即( x+2)2+(y-1)2=4,则圆心为( -2,1),半径为 2,由于所截得的弦长为 4,故直线过圆心,将圆心坐标代入直线方程得 -2a+2b-4=0,即 a-b+2=0.a2+b2的几何意义是原点到点( a,b)的距离的平方,故 a2+b2的最小值为 =2.故选 C.(22)28.B [解析] 由题得∠ PMO=∠ PNO=∠ MON=90°,|MO|=|ON|=1,∴ 四边形 PMON 是正方形, ∴|PO|= ,2∵ 满足以上条件的点 P 有且只有一个,∴OP ⊥ l,∴ = ,解得 b=±2.2|-b|1+1故选 B.9.x2+y2=5 [解析] 设 C(-1,y),圆 O 的半径为 r,则 y2=r2-1,∵|AB|=|CD| ,∴A 或 B 的坐标为(1, y),∴y 2=4,∴r 2-1=4,解得 r2=5,∴ 圆 O 的方程为 x2+y2=5.10.[ -1, +1] [解析] 圆 C2关于直线 x-y=0 的对称圆 C3为( x-1)2+(y-2)2=1,由题意2 2得圆 C3与圆 C1有交点,所以 -1≤ r≤ +1,故 r 的取值范围是[ -1, +1].2 2 2 211.± [解析] 圆心到直线 ax+y-2=0 的距离 d= ,圆的半径为 2,32a2+1· =-2,即 | |·| |cos∠ ACB=-2,则 cos∠ ACB=- ,CACB CA CB12∵ 0≤∠ ACB≤π, ∴ ∠ ACB= ,∴ cos = = = ,解得 a=± .2π3 π 3d2 1a2+112 312. ∪ [解析] 设 M(x,y).[-32,-12] [12,32]∵A (-3,0),|MA|=2|MO|,∴ =2 ,即 x2+y2-2x-3=0,(x+3)2+y2 x2+y2∴ 点 M 在圆心为 D(1,0),半径 r= × =2 的圆上,12 4+12又点 M 在圆 C:(x-a-1)2+(y- a)2=1 上,3∴ 圆 C 与圆 D 有公共点,∵ 圆 C 的圆心为( a+1, a),半径为 1,3∴ 1≤ |CD|≤3,即 1≤ ≤3,a2+3a2解得 - ≤ a≤ - 或 ≤ a≤ .32 12 12 326故实数 a 的取值范围为 - ,- ∪ , .32 12 1232能力提升13.D [解析] 由题易得 P(0,1),Q(-3,0).∵ 过定点 P 的直线 l:ax+y-1=0 与过定点 Q 的直线 m:x-ay+3=0 垂直,∴M 位于以 PQ 为直径的圆上,又 ∵|PQ|= = ,9+1 10∴|MP| 2+|MQ|2=10.14.C [解析] 设 P(x,y),因为 |PA|=2|PO|,所以( y-3)2+x2=4(x2+y2),整理得 x2+(y+1)2=4,所以点 P 既在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上,又在圆 C 上,即圆 C 与圆 D 有公共点 P.由题知 C(-a,a),圆 C 的半径为 1,若两圆相交,则满足 2-1≤ |CD|≤2 +1,即 1≤ ≤3,(-a-0)2+(a+1)2所以 1≤2 a2+2a+1≤9,由 得{2a2+2a+1≥ 1,2a2+2a+1≤ 9, { a2+a≥ 0,a2+a-4≤ 0,解得 {a≥ 0或 a≤- 1,-1- 172 ≤ a≤ -1+ 172 ,则 0≤ a≤ 或 ≤ a≤ -1.-1+ 172 -1- 172综上,实数 a 的取值范围是 ,-1 ∪ 0, .故选 C.-1- 172 -1+ 17215.C [解析] 不妨设点 A 在第一象限,且直线 AB 与 y 轴平行,点 C 在直线 AB 右侧,如图所示 .设 A(cosθ ,sinθ ),则 B(cosθ ,-sinθ ) 0θ ≤ ,π 2因为△ ABC 为等边三角形,所以点 C 在 x 轴上,7则 C(cosθ+ sinθ ,0),则 |OC|= =cosθ+ sinθ= 2sin ,3 (cosθ + 3sinθ )2 3 (θ +π 6)又因为 0θ ≤ ,所以当且仅当 θ= 时, |OC|取得最大值 2.故选 C.π 2 π 316.D [解析] 由题得两圆公共弦所在直线的方程为 2ax+2by-a2-b2=0,所以 2ax1+2by1=a2+b2,②正确;又 2ax2+2by2-a2-b2=0,所以 a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,① 正确;线段 AB 的中点为直线 AB 与直线 C1C2的交点,又直线 AB:2ax+2by-a2-b2=0,C1C2:bx-ay=0.由得 故有 x1+x2=a,y1+y2=b,③ 正确 .故选 D.{2ax+2by-a2-b2=0,bx-ay=0 {x=a2,y=b2,17. 或 [解析] 由题意,可知直线 l 的方程为 y=x+b,圆 C 的圆心为 C(0,0),半径 r=2,则6 2圆心 C 到直线 l 的距离 d= ,则 |AB|=2 =2 ,所以 ×2 · = ,解b2 r2-d2 4-b22 12 4-b22 b2 3得 b= 或 .6 218. [解析] 由题意可得 |AB|= =2 ,(22,922) (-1+3)2+(-2-0)2 2根据△ MAB 和△ NAB 的面积均为 4,可得点 M,N 到直线 AB 的距离均为 2 .2直线 AB 的方程为 = ,y-0-2-0 x+3-1+3即 x+y+3=0.若圆上只有一个点到直线 AB 的距离为 2 ,2则有圆心(2,0)到直线 AB 的距离为 =r+2 ,解得 r= ;|2+0+3|2 2 22若圆上有三个点到直线 AB 的距离为 2 ,2则有圆心(2,0)到直线 AB 的距离为 =r-2 ,解得 r= .|2+0+3|2 2 922综上, r 的取值范围是 .(22,922)