福建省2019年中考数学总复习 第五单元 四边形课件+练习（打包13套）.zip

1单元测试 05 四边形限时：45 分钟 满分：100 分一、 选择题(每小题 4分，共 32分) 1．十边形的内角和为( )A．360° B．1440° C．1800° D．2160°2．若菱形两条对角线的长分别为 6和 8，则这个菱形的边长为( )A．5 B．10 C．20 D．143．如图 D5－1，五边形 ABCDE中， AB∥ CD，则∠1＋∠2＋∠3 等于( )图 D5－1A．90° B．180° C．210° D．270°4．如图 D5－2 所示，在▱ ABCD中， AB＝4， BC＝6，∠ B＝30°，则此平行四边形的面积是( )图 D5－2A．6 B．12 C．18 D．245．如图 D5－3，矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，两条对角线的长度之和为 20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )图 D5－32A．10 cm B．8 cm C．5 cm D．5 cm36．如图 D5－4 所示，在正方形 ABCD中，点 E， F分别在 AB， AD上，且 BE＝ AF，连接 CE， BF相交于点 G，则下列结论不正确的是( )图 D5－4A． BF＝ CE B．∠ AFB＝∠ ECD C． BF⊥ CE D．∠ AFB＋∠ BEC＝90°7．如图 D5－5，△ ABC的面积为 16，点 D是 BC边上一点，且 BD＝ BC，点 G是 AB上一点，点 H在△ ABC内部，14且四边形 BDHG是平行四边形．则图中阴影的面积是( )图 D5－5A．3 B．4 C．5 D．68．如图 D5－6 是由三个边长分别为 6，9， x的正方形所组成的图形，若直线 AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )图 D5－6A．1 或 9 B．3 或 5 C．4 或 6 D．3 或 6二、 填空题(每小题 4分，共 16分) 9．如图 D5－7，点 F， G在正五边形 ABCDE的边上，连接 BF， CG相交于点 H，若 CF＝ DG，则∠ BHG＝ 3°． 图 D5－710．如图 D5－8，平行四边形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O， BC＝9， AC＝8， BD＝14，则△ AOD的周长为 ． 图 D5－811．如图 D5－9 所示，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO的边 OC， OA分别在 x轴， y轴上，点 E在边 BC上，将该矩形沿 AE折叠，点 B恰好落在边 OC上的 F处，若 OA＝8， CF＝4，则点 E的坐标是 ． 图 D5－912．如图 D5－10，在矩形 ABCD中，点 E在 AD上， AE＝ AB，点 F在 CD上， BG⊥ EF于点 G，连接 AG，若AG＝6 ， BG＝10，则 EG的长为 ． 2图 D5－104三、 解答题(共 52分) 13．(12 分)如图 D5－11 所示，在▱ ABCD中，∠ BCD的平分线与 BA的延长线相交于点 E， BH⊥ EC于点 H．求证： CH＝ EH．图 D5－1114．(12 分)如图 D5－12 所示，在正方形 ABCD中， P是对角线 AC上一点，连接 BP， DP，延长 BC到 E，使PB＝ PE．求证：∠ PDC＝∠ PEC．5图 D5－1215．(14 分)如图 D5－13，已知点 D在△ ABC的 BC边上， DE∥ AC交 AB于 E， DF∥ AB交 AC于 F．(1)求证： AE＝ DF．(2)若 AD平分∠ BAC，试判断四边形 AEDF的形状，并说明理由．图 D5－13616．(14 分)如图 D5－14，在矩形 ABCD中，对角线 AC， BD交于点 O．(1)若 AB＝2， AO＝ ，求 BC的长;5(2)若∠ DBC＝30°， CE＝ CD，∠ DCE＜90°， OE＝ BD，求∠ DCE的度数．22图 D5－147参考答案1． B 2． A 3． B 4． B 5． D 6． D 7． B 8． D9． 10810． 20 11． (－10，3)12． 2 [解析] 如图所示，作 AN⊥ EF于 N， AM⊥ BG于 M，∵ BG⊥ EF，8∴四边形 AMGN为矩形，∴∠ NAM＝90°，∵∠ BAD＝90°，∴∠ NAE＝∠ MAB，∵ AE＝ AB，∠ N＝∠ AMB＝90°，∴△ NAE≌△ MAB，∴ NE＝ BM， AN＝ AM，∴四边形 AMGN为正方形，∵ AG＝6 ，2∴ GN＝ GM＝6，∵ BG＝10，∴ NE＝ BM＝4，∴ EG＝ GN－ NE＝6－4＝2 ．13． 证明：在▱ ABCD中， AB∥ CD，∴∠ E＝∠ DCE．∵ CE平分∠ BCD，∴∠ BCH＝∠ DCE．∴∠ BCH＝∠ E．∴ BE＝ BC．又∵ BH⊥ EC，∴ CH＝ EH．914． 证明：在正方形 ABCD中， BC＝ DC，∠ PCB＝∠ PCD，又∵ PC＝ PC，∴△ PCB≌△ PCD． ∴∠ PBC＝∠ PDC．∵ PB＝ PE，∴∠ PBC＝∠ PEC． ∴∠ PDC＝∠ PEC．15． 解：(1)证明：∵ DE∥ AC， DF∥ AB，∴四边形 AEDF是平行四边形，∴ AE＝ DF．(2)四边形 AEDF是菱形 ．理由：∵ AD平分∠ BAC，∴∠ DAF＝∠ DAE，∵ DF∥ AB，∴∠ DAE＝∠ ADF，∴∠ DAF＝∠ ADF，∴ AF＝ DF，∴平行四边形 AEDF为菱形 ．16． 解：(1)∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ ABC＝90°， AC＝2 AO＝2 ．5∴在 Rt△ ACB中， BC＝ ＝4 ．AC2－ AB2(2)∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ DCB＝90°， BD＝2 OD， AC＝2 OC， AC＝ BD．∴ OD＝ OC＝ BD．12∵∠ DBC＝30°，∴在 Rt△ BCD中，∠ BDC＝90°－30°＝60°， CD＝ BD．1210∵ CE＝ CD，∴ CE＝ BD．12∵ OE＝ BD，∴在△ OCE中， OE2＝ BD2．22 12又∵ OC2＋ CE2＝ BD2＋ BD2＝ BD2，14 14 12∴ OC2＋ CE2＝ OE2．∴∠ OCE＝90° ．∵ OD＝ OC，∴∠ OCD＝∠ ODC＝60° ．∴∠ DCE＝∠ OCE－∠ OCD＝30° ．UNIT FIVE第五单元 四边形第 27 课时 多边形| 考点自查 |课前考点过关考点一 多边形在平面内 ,由若干条不在同一直 线 上的 线 段 顺 次相接 组 成的封 闭图 形叫做多 边 形 . 组 成多 边 形的各条 线 段叫做多 边 形的 边 ;每相 邻 两条 边 的公共端点叫做多 边 形的 顶 点 ;在多 边 形中 ,连 接不相 邻 两个 顶 点的 线 段叫做多 边 形的 对 角 线 ;多 边 形相 邻 两 边组 成的角叫做多 边 形的内角 .首尾课前考点过关考点二 多边形的内角和与外角和n边 形的内角和 为 ① ;任何多 边 形的外角和 为 ② . (n-2)·180°(n≥ 3)360°【 疑 难 典析 】 在四 边 形的四个内角中 ,最多能有 3个钝 角 ,最多能有 3个 锐 角 .如果一个多边 形的 边 数增加 1,那么 这 个多 边 形的内角和增加 180°.课前考点过关考点三 多边形的对角线n边 形有 条 对 角 线 .【 疑 难 典析 】 如果一个 n边 形恰好有 n条 对 角 线 ,那么 这 个多 边 形是五 边 形 .课前考点过关考点四 正多边形1.各个 ① 相等 ,各条 ② 也相等的多 边 形叫做正多 边 形 . 2.正 n边 形的一个内角的度数是 ③ . 3.经过 一个正多 边 形的各个 顶 点的 圆 叫做 这 个正多 边 形的外接 圆 ,这 个正多 边 形叫做 圆 的内接正多边 形 .任何正多 边 形都有且只有一个外接 圆 .内角 边 | 对点自评 |课前考点过关题组一 基础关DD课前考点过关CB课前考点过关题组二 易错关C课前考点过关40°课前考点过关180°或 360°或 540°课前考点过关72课堂互动探究探究 一 多边形的内角和与外角和135°B课前考点过关C课堂互动探究探究二 正多边形的有关计算24课堂互动探究45°课前考点过关108课堂互动探究探究三 多边形综合性问题课前考点过关课前考点过关课前考点过关课前考点过关UNIT FIVE第五单元 四边形第 28 课时 平行四 边 形| 考点自查 |课前考点过关考点一 平行四边形的定义和性质1.定 义 :两 组对边 分 别 ① 的四 边 形是平行四 边形 . 2.平行四 边 形的性 质(1)平行四 边 形的两 组对边 分 别 ② ; (2)平行四 边 形的两 组对 角分 别 ③ ; (3)平行四 边 形的 对 角 线 互相 ④ ; (4)对 称性 :平行四 边 形是中心 对 称 图 形 ,它的 对 称中心是两条 对 角 线 的交点 .平行【 疑 难 典析 】 (1)两条平行 线 中 ,一条直 线 上的任意一点到另一条直 线 的距离 ,叫做 这 两条平行 线间 的距离 ;(2)如果一条直 线过 平行四 边 形的 对角 线 的交点 ,那么 这 条直 线 被一 组对边 截下的 线 段关于 对 角 线 的交点成中心 对 称 ,且 这 条直 线 等分平行四 边形的面 积 和周 长 .平行且相等相等平分课前考点过关考点二 平行四边形的判定1.定 义 法 .2.一 组对边 平行且 ① 的四 边 形是平行四 边 形 .3.两 组对边 分 别 ② 的四 边 形是平行四 边 形 . 4.对 角 线 ③ 的四 边 形是平行四 边 形 . 相等相等互相平分课前考点过关考点三 平行四边形的面积平行四 边 形的面 积 =底 ×高 .【 疑 难 典析 】 同底 (等底 )同高 (等高 )的平行四 边 形面 积 相等 .| 对点自评 |课前考点过关题组一 基础关C课前考点过关A课前考点过关D课前考点过关D课前考点过关B课前考点过关题组二 易错关D课前考点过关A课前考点过关B课前考点过关A课前考点过关B课堂互动探究探究 一 平行四边形的性质C课前考点过关16课堂互动探究探究二 平行四边形的判定课堂互动探究课前考点过关课堂互动探究探究三 平行四边形综合性问题20 课前考点过关课前考点过关课堂互动探究课前考点过关课堂互动探究UNIT FIVE第五单元 四边形第 29 课时 矩形| 考点自查 |课前考点过关考点一 矩形的定义有一个角是直角的 是矩形 . 平行四 边 形【 疑 难 典析 】 涉及矩形 问题 常需要分 类讨论 .课前考点过关考点二 矩形的性质1.矩形的 对边 ① ; 2.矩形的四个角都是 ② 角 (或矩形四个角都相等 ); 3.矩形的 对 角 线 ③ 且 ④ . 平行且相等直互相平分【 疑 难 典析 】 (1)矩形的两条 对 角 线 把矩形分成四个面 积 相等的等腰三角形 ;(2)矩形是 轴对 称 图 形 ,它有两条 对 称轴 ,矩形 还 是中心 对 称 图 形 ,它的 对 称中心是 对 角 线 的交点 ;(3)经过 矩形 对 角 线 交点的任一直 线把矩形分成两个全等的 图 形 ;(4)矩形的面 积 等于两 邻边长 的乘 积 ;(5)利用 “矩形的 对 角 线 相等且互相平分 ”这 一性 质 ,可以得出 :直角三角形斜边 上的中 线 等于斜 边 的一半 .相等课前考点过关考点三 矩形的判定1.定 义 法 .2.有三个角是直角的 ① 是矩形 . 3.对 角 线 相等的 ② 是矩形 . 【 疑 难 典析 】 要利用矩形的判定 3,必 须满 足以下两个条件 :① 对 角 线 相等 ;② 平行四 边 形 .平行四 边 形四 边 形| 对点自评 |课前考点过关题组一 基础关C课前考点过关B课前考点过关A课前考点过关B课前考点过关题组二 易错关B课前考点过关D课前考点过关C课前考点过关D课前考点过关课堂互动探究探究 一 矩形的性质课堂互动探究课堂互动探究探究二 矩形的判定课堂互动探究课前考点过关课堂互动探究探究三 矩形综合性问题课堂互动探究课堂互动探究课堂互动探究UNIT FIVE第五单元 四边形第 30 课时 菱形| 考点自查 |课前考点过关考点一 菱形的定义一 组邻边 相等的 是菱形 .平行四 边 形【 疑 难 典析 】 菱形的定 义 是在平行四 边 形的基 础上定 义 的 .课前考点过关考点二 菱形的性质1.菱形的四条 边 都 ① . 2.菱形的 对 角 线 互相 ② ,并且每一条 对 角 线 平分一 组对 角 . 3.菱形是中心 对 称 图 形 ,它的 对 称中心是两条 对 角 线 的交点 ;菱形也是 轴对 称 图 形 ,两条 对 角 线 所在的直 线 是它的 对 称 轴 .相等垂直平分课前考点过关考点三 菱形的判定1.定 义 法 .2.对 角 线 互相垂直的 ① 是菱形 . 3.四条 边 都相等的 ② 是菱形 .【 疑 难 典析 】 在 进 行菱形判定 时 ,必 须转 化出 满 足菱形的定 义 或判定定理所需的条件 .平行四 边 形四 边 形课前考点过关考点四 菱形的面积1.由于菱形是平行四 边 形 ,所以菱形的面 积 =底 ×高 .2.因 为 菱形的 对 角 线 互相垂直平分 ,所以其 对 角 线 将菱形分成 4个全等的三角形 ,故菱形的面 积 等于两条 对角 线 乘 积 的一半 . 【 疑 难 典析 】 在 计 算菱形面 积时 ,必 须 搞清所运用的是哪一个面 积 公式 .| 对点自评 |课前考点过关题组一 基础关B课前考点过关A课前考点过关A课前考点过关A课前考点过关16课前考点过关题组二 易错关B课前考点过关5课前考点过关1课前考点过关课前考点过关3课堂互动探究探究 一 菱形的性质(-5,4)课堂互动探究课堂互动探究课堂互动探究探究二 菱形的判定课堂互动探究课前考点过关C课堂互动探究课堂互动探究课堂互动探究探究三 菱形综合性问题课堂互动探究课堂互动探究课堂互动探究UNIT FIVE第五单元 四边形第 31 课时 正方形| 考点自查 |课前考点过关考点一 正方形的定义有一 组邻边 相等 ,并且 的平行四 边形是正方形 . 有一个角是直角【 疑 难 典析 】 本定 义 从 边 和角两个角度在平行四边 形的基 础 上 进 行定 义 .课前考点过关考点二 正方形的性质1.正方形的 对边 平行 ,四 边 相等 .2.正方形的四个角都是直角 .3.正方形的 对 角 线 相等 ,互相 ,每条 对角 线 平分一 组对 角 . 4.正方形的 对 称性 :正方形既是 轴对 称 图 形也是中心对 称 图 形 ,对 称 轴 有四条 ,对 称中心是 对 角 线 的交点 .垂直平分【 疑 难 典析 】 正方形既是平行四 边 形又是矩形 还是菱形 ,因此 ,它 拥 有 这 三 类图 形所 拥有的一切性 质 ,它特有的性 质 之一是正方形的 对 角 线 把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 .课前考点过关考点三 正方形的判定1.有一 组邻边 相等的矩形是正方形 .2.有一个角是直角的菱形是正方形 .课前考点过关考点四 中点四边形定 义 :顺 次 连 接四 边 形各 边 中点所得的四 边 形 ,我 们 称之 为 中点四 边 形 .【 疑 难 典析 】 (1)任意四 边 形的中点四 边 形是平行四 边 形 .(2)对 角 线 相等的四 边 形的中点四 边形是菱形 .(3)对 角 线 互相垂直的四 边 形的中点四 边 形是矩形 .(4)对 角 线 相等且互相垂直的四 边 形的中点四 边 形是正方形 .| 对点自评 |课前考点过关题组一 基础关B22.5°课前考点过关14 cm课前考点过关题组二 易错关C课前考点过关B课前考点过关D 课前考点过关C课前考点过关课前考点过关B课堂互动探究探究 一 正方形的性质课堂互动探究课前考点过关课堂互动探究探究二 正方形的判定课堂互动探究课堂互动探究课堂互动探究探究三 正方形综合性问题课堂互动探究课堂互动探究课堂互动探究课堂互动探究课堂互动探究UNIT FIVE第五单元 四边形第 32 课时 四 边 形 综 合| 考点自查 |课前考点过关考点一 四边形中的计算四 边 形中的 计 算通常涉及勾股定理、相似三角形、 锐 角三角函数、 图 形的 变换 (平移、 对 称、旋 转 )等知 识 .解 题时 注意分 类讨论 思想、方程思想的运用 .课前考点过关考点二 特殊四边形中性质判定的应用特殊四 边 形中的 计 算和 证 明是常 见 的 题 型 ,熟 练 掌握特殊四 边 形的判定和性 质 是解 题 的关 键 .| 对点自评 |课前考点过关题组一 基础关D课前考点过关D课前考点过关B课前考点过关课前考点过关题组二 易错关CD课前考点过关D课前考点过关课堂互动探究探究 一 平行四边形综合应用课前考点过关课堂互动探究课前考点过关课堂互动探究探究二 矩形综合应用课前考点过关课堂互动探究课前考点过关课堂互动探究探究三 菱形综合应用C课前考点过关课堂互动探究课前考点过关课堂互动探究探究四 正方形综合应用课前考点过关课堂互动探究课前考点过关1课时训练 27 多边形限时：30 分钟夯实基础1． [2018·大庆]一个正 n 边形的每一个外角都是 36°，则 n＝( )A． 7 B． 8 C． 9 D． 102． [2018·北京]若正多边形的一个外角为 60°，则该多边形的内角和为( )A． 360° B． 540° C． 720° D． 900°3． 如图 K27－1 是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和( )图 K27－1A． 比原多边形少 180° B． 与原多边形一样C． 比原多边形多 360° D． 比原多边形多 180°4． [2017·莱芜]一个多边形的内角和比其外角和的 2 倍多 180°，则该多边形的对角线的条数是( )A． 12 B． 13 C． 14 D． 155． [2017·厦门思明区二模]如图 K27－2，正六边形 ABCDEF 内接于☉ O，☉ O 的半径为 2，则 的长为( )⏜AC图 K27－2A． 2π B． C． D．4π3 2π3 π 326． 如图 K27－3 所示，在五边形 ABCDE 中，∠ A＋∠ B＋∠ E＝300°， DP， CP 分别平分∠ EDC，∠ BCD，则∠ P 的度数是( )图 K27－3A． 60° B． 65° C． 55° D． 50°7． [2018·山西]图 K27－4①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝ 度 ． 图 K27－48． [2018·宁德质检]小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算的这个内角的度数为 °． 9． 如图 K27－5 所示，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B， E 两点间的距离为 ． 图 K27－510． 已知 n 边形的内角和 θ ＝( n－2)×180° ．(1)甲同学说， θ 能取 360°；而乙同学说， θ 也能取 630°． 甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n． 若不对，说明理由 ．3(2)若 n 边形变为( n＋ x)边形，发现内角和增加了 360°，用列方程的方法确定 x．11． 如图 K27－6 所示，在五边形 ABCDE 中， AE⊥ DE，∠ A＝120°，∠ C＝60°，∠ D－∠ B＝30° ．(1)求∠ D 的度数 ．(2)AB∥ CD 吗？请说明理由 ．图 K27－64能力提升12． [2018·铜仁]如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是( )A． 8 B． 9 C． 10 D． 1113． 如图 K27－7 所示，将五边形 ABCDF 沿 AE 对折，其中∠ AEC＝72°，则∠ CED'＝( )图 K27－7A． 42° B． 30° C． 36° D． 45°14． [2018·三明质检]如图 K27－8，在正八边形 ABCDEFGH 中，连接 AC， AE，则 的值是( )AEAC图 K27－8A． B． C． D． 222 2 315． 如图 K27－9，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝ ． 5图 K27－916． [2018·南京]如图 K27－10，五边形 ABCDE 是正五边形，若 l1∥ l2，则∠1－∠2＝ °． 图 K27－1017． [2018·南平质检]如图 K27－11，在四边形 ABCD 中， AB∥ CD， AB＝ BC＝ BD＝2， AD＝1，则 AC＝ ． 图 K27－11拓展练习18． [2017·咸宁]如图 K27－12，边长为 4 的正六边形 ABCDEF 的中心与坐标原点 O 重合， AF∥ x 轴，将正六边形ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 n 次，每次旋转 60°，当 n＝2017 时，顶点 A 的坐标为 ． 图 K27－1219． [2017·台州]如图 K27－13，有一个边长不定的正方形 ABCD，它的两个相对的顶点 A， C 分别在边长为 1 的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点 B， D 在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长 a 的取值范围是 ． 6图 K27－1320． 如图 K27－14 所示，在六边形 ABCDEF 中， AF∥ CD， AB∥ DE，且∠ A＝120°，∠ B＝80°，求∠ C 和∠ D 的度数 ．图 K27－147参考答案1． D 2． C3． D [解析] 按题图所示方式将一多边形剪去一个角，则新多边形的边数增加一条，所以其内角和比原多边形的内角和多 180°，故选 D．4． C [解析] 设多边形的边数是 n，根据题意，得( n－2)·180＝2×360＋180 ． 解得 n＝7 ．七边形的对角线的条数是 ＝14 ．7×(7－ 3)25． B [解析] 如图所示，∵六边形 ABCDEF 为正六边形，∴∠ AOB＝360°× ＝60°，∴∠ AOC＝120°，∴ 的长＝ π ．16 ⏜AC 120×π ×2180＝ 43故选 B．86． A 7． 360 8． 100 9． 810． 解：(1)甲对，乙不对 ．∵ θ ＝360°，∴( n－2)×180＝360，解得 n＝4 ．∵ θ ＝630°，∴( n－2)×180＝630，解得 n＝ ．112∵ n 为整数，∴ θ 不能取 630°．(2)依题意，得( n－2)×180＋360＝( n＋ x－2)×180，解得 x＝2 ．11． 解：(1)∵ AE⊥ DE，∴∠ E＝90°，∵∠ A＋∠ B＋∠ C＋∠ D＋∠ E＝540°，∠ A＝120°，∠ C＝60°，∴∠ B＋∠ D＝270°，∵∠ D－∠ B＝30°，∴∠ B＝120°，∠ D＝150° ．(2)AB∥ CD．理由：∵∠ B＝120°，∠ C＝60°，∴∠ B＋∠ C＝180°，∴ AB∥ CD．12． A [解析] 设多边形的边数是 n，根据题意，得：( n－2)·180＝3×360，解得 n＝8 ．13． C 14． B 15． 540°16． 72 [解析] 如图，过 B 点作 BF∥ l1，∵五边形 ABCDE 是正五边形，∴∠ ABC＝108°，∵ BF∥ l1， l1∥ l2，∴ BF∥ l2，∴∠ CBF＝180°－∠1，∠ ABF＝∠2，∴180°－∠1＋∠2＝∠ ABC＝108°，∴∠1－∠2＝72° ． 故答案为 72．17． 15918． (2，2 ) [解析] 如图所示，连接 OA，设 AF 与 y 轴交于点 M，则△ AOB 为等边三角形 ．3∵正六边形 ABCDEF 的边长为 4，∴ OA＝ AB＝ OB＝4，∠ OAM＝60° ．∴点 B 的坐标为(－4，0) ．∵ AF∥ x 轴，∴∠ AMO＝90°，∴ AM＝ OA·cos∠ OAM＝ OA·cos60°＝4× ＝2，12OM＝ OA·sin∠ OAM＝ OA·sin60°＝4× ＝2 ，32 3∴点 A 的坐标为(－2，2 )．3∵正六边形是轴对称图形，∴点 C 的坐标为(－2，－2 )，点 D 的坐标为(2，－2 )，点 F 的坐标为(2，2 )，点 E 的坐标为(4，0) ．3 3 3∵将正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 n 次，每次旋转 60°，∴每旋转 6 次，点 A 都回到初始位置 ．当 n＝2017 时，∵2017÷6＝336……1，∴顶点 A 旋转到点 F 的位置，∴顶点 A 的坐标为(2，2 )．319． ≤ a≤3 [解析] 如图所示，根据题意， AC 为正方形对角线，即当 A， C 分别是正六边形平行的两边62 - 310中点时，此时 AC 取最小值，也即正方形边长最短， AC＝ ，∴正方形边长的最小值为 ． 当正方形四3 3÷ 2＝62个顶点都在正六边形各边上时，设正六边形与正方形的中心为 O，正方形与正六边形某条边的一个交点为 F，正六边形的一个顶点为 Q，连接 OF， OQ， OQ 与正方形交于点 P． 则 OQ⊥ FP，∠ FOP＝45°，∠ FQP＝60°，设 FP＝ x，则OP＝ x， PQ＝ x，∴ OQ＝ x＋ x＝1，∴ x＝ ，∴此时正方形边长的最大值为 3 ． 综上所述，正方形边长 a33 33 3－ 32 - 3的取值范围是 ≤ a≤3 ．62 - 320． 解：如图所示，向两边延长 AB， CD， EF，直线 AB， EF 交于点 G，直线 AB， CD 交于点 H，直线 CD， EF 交于点M．因为∠ BAF＝120°，∠ ABC＝80°，所以∠ GAF＝60°，∠ HBC＝100° ．又因为 AF∥ CD，所以∠ H＝∠ GAF＝60° ．因为∠ BCD 是△ BHC 的一个外角，所以∠ BCD＝∠ H＋∠ HBC＝160° ．因为 AB∥ DE，所以∠ EDM＝∠ H＝60° ．由邻补角的定义可得∠ CDE＝180°－∠ EDM＝120° ．1课时训练 28 平行四边形限时：30 分钟夯实基础1． [2018·绥化]如图 K28－1，下列选项中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是( )图 K28－1A． AD∥ BC， AB∥ CD B． AB∥ CD， AB＝ CDC． AD∥ BC， AB＝ DC D． AB＝ DC， AD＝ BC2． 如图 K28－2 所示，在平行四边形 ABCD 中，∠ ABC 的平分线交 AD 于 E，∠ BED＝150°，则∠ A 的大小为( )图 K28－2A． 150° B． 130° C． 120° D． 100°3． [2017·丽水]如图 K28－3 所示，在▱ ABCD 中，连接 AC，∠ ABC＝∠ CAD＝45°， AB＝2，则 BC 的长是( )图 K28－3A． B． 2 C． 2 D． 42 24． [2018·泸州]如图 K28－4，▱ ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， E 是 AB 中点，且 AE＋ EO＝4，则▱ ABCD 的周长为( )2图 K28－4A． 20 B． 16 C． 12 D． 85． [2017·广州]如图 K28－5， E， F 分别是▱ ABCD 的边 AD， BC 上的点， EF＝6，∠ DEF＝60°，将四边形 EFCD 沿EF 翻折，得到四边形 EFC'D'， ED'交 BC 于点 G，则△ GEF 的周长为( )图 K28－5A． 6 B． 12 C． 18 D． 246． [2018·常州]如图 K28－6，在▱ ABCD 中，∠ A＝70°， DC＝ DB，则∠ CDB＝ ． 图 K28－67． [2017·成都]如图 K28－7 所示，在▱ ABCD 中，按以下步骤作图：①以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB， AD 于点 M， N；②分别以点 M， N 为圆心，以大于 MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；③作射线 AP 交边 CD 于12点 Q． 若 DQ＝2 QC， BC＝3，则▱ ABCD 的周长为 ． 图 K28-78． [2018·恩施州]如图 K28－8，点 B， F， C， E 在一条直线上， FB＝ CE， AB∥ ED， AC∥ FD， AD 交 BE 于 O． 求证：AD 与 BE 互相平分 ．图 K28－839． [2018·怀化]已知：如图 K28－9，点 A， F， E， C 在同一直线上， AB∥ DC， AB＝ CD，∠ B＝∠ D．(1)求证：△ ABE≌△ CDF；(2)若点 E， G 分别为线段 FC， FD 的中点，连接 EG，且 EG＝5，求 AB 的长 ．图 K28－94能力提升10． [2018·苏州]如图 K28－10，在△ ABC 中，延长 BC 至 D，使得 CD＝ BC． 过 AC 中点 E 作 EF∥ CD(点 F 位于点12E 右侧)，且 EF＝2 CD． 连接 DF，若 AB＝8，则 DF 的长为( )图 K28－10A． 3 B． 4 C． 2 D． 33 211． 如图 K28－11，在四边形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 E，∠ CBD＝90°， BC＝4， BE＝ ED＝3， AC＝10，则四边形 ABCD 的面积为( )图 K28－11A． 6 B． 12 C． 20 D． 2412． 在平面直角坐标系中有四个点 O(0，0)， A(3，0)， B(1，1)， C(x，1)，若以 O， A， B， C 为顶点的四边形是平行四边形，则 x＝ ． 13． [2018·北京海淀区模拟]如图 K28－12，四边形 ABCD 是平行四边形，☉ O 经过点 A， C， D，与 BC 交于点 E，5连接 AE，若∠ D＝72°，则∠ BAE＝ °． 图 K28－12拓展练习14． [2018·株洲]如图 K28－13，在平行四边形 ABCD 中，连接 BD，且 BD＝ CD，过点 A 作 AM⊥ BD 于点 M，过点 D作 DN⊥ AB 于点 N，且 DN＝3 ，在 DB 的延长线上取一点 P，满足∠ ABD＝∠ MAP＋∠ PAB，则 AP＝ ． 2图 K28－1315． [2018·重庆 B 卷]如图 K28－14，在▱ ABCD 中，∠ ACB＝45°，点 E 在对角线 AC 上， BE＝ BA， BF⊥ AC 于点F， BF 的延长线交 AD 于点 G． 点 H 在 BC 的延长线上，且 CH＝ AG，连接 EH．(1)若 BC＝12 ， AB＝13，求 AF 的长；2(2)求证： EB＝ EH．图 K28－146参考答案1． C 2． C 3． C4． B [解析] 因为▱ ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，所以 O 为 AC 的中点，又因为 E 是 AB 的中点，所以AE＝ AB， EO 是 △ ABC 的中位线， EO＝ BC，因为 AE＋ EO＝4，所以 AB＋ BC＝2( AE＋ EO)＝8，因为▱ ABCD 中，12 12AD＝ BC， AB＝ CD，所以周长为 2(AB＋ BC)＝16 ．5． C [解析] 由折叠的性质可知，∠ GEF＝∠ DEF＝60° ． 又∵ AD∥ BC，∴∠ GFE＝∠ DEF＝60°，∴△ GEF 是等边三角形 ． ∵ EF＝6，∴△ GEF 的周长为 18．6． 40° [解析] ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ C＝∠ A＝70°，∵ DC＝ DB，∴∠ DBC＝∠ C＝70°，∴∠ CDB＝180°－∠ DBC－∠ C＝40° ．7． 15 [解析] 由作图知， AQ 是∠ BAD 的平分线 ． ∴∠ DAQ＝∠ BAQ． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥ CD， AD＝ BC，∴∠ DQA＝∠ BAQ，∴∠ DAQ＝∠ DQA，∴ DA＝ QD． ∵ DQ＝2 QC， BC＝3，∴ DQ＝3， QC＝ ，32∴▱ ABCD 的周长为 2(BC＋ CD)＝2× ＝15 ．1528． 证明：连接 BD， AE．∵ AB∥ ED，∴∠ ABC＝∠ DEF．∵ AC∥ FD，∴∠ ACB＝∠ DFE．∵ FB＝ CE，∴ BC＝ EF．在△ ACB 和△ DFE 中， {∠ ABC＝∠ DEF，BC＝ EF，∠ ACB＝∠ DFE， ∴△ ACB≌△ DFE(ASA)． ∴ AB＝ DE．7∵ AB∥ ED，∴四边形 ABDE 是平行四边形 ．∴ AD 与 BE 互相平分 ．9． 解：(1)证明：∵ AB∥ DC，∴∠ A＝∠ C，在△ ABE 和△ CDF 中， {∠ A＝∠ C，AB＝ CD，∠ B＝∠ D， ∴△ ABE≌△ CDF(ASA)．(2)∵点 E， G 分别为线段 FC， FD 的中点，∴线段 EG 为△ CDF 的中位线，根据三角形中位线的性质定理，可得： EG＝ CD．12又∵ AB＝ CD，∴ EG＝ CD＝ AB＝5，∴ AB＝10 ．12 1210． B [解析] 取 AB 的中点 M，连接 ME，则 ME∥ BC， ME＝ BC，∵ EF∥ CD，∴ M， E， F 三点共线，12∵ EF＝2 CD， BC＝2 CD，∴ MF＝ BD，∴四边形 MBDF 是平行四边形，∴ DF＝ BM＝4，故选 B．11． D 12． 4 或－213． 3614． 6 [解析] ∵∠ ABD 是△ ABP 的外角，∴∠ ABD＝∠ P＋∠ PAB．又∵∠ ABD＝∠ MAP＋∠ PAB，∴∠ P＝∠ MAP，即△ AMP 是等腰直角三角形 ．∴ AP＝ AM．28∵ AB＝ CD＝ BD，∠ AMB＝∠ DNB＝90°，且∠ ABD 为公共角，∴△ ABM≌△ DBN．∴ AM＝ DN＝3 ．2∴ AP＝ AM＝ ×3 ＝6 ． 故填 6．2 2 215． 解：(1)∵ BF⊥ AC，∴∠ BFC＝∠ AFB＝90° ．在 Rt△ FBC 中，sin∠ FCB＝ ，BFBC而∠ ACB＝45°， BC＝12 ，∴sin45°＝ ．2BF122∴ BF＝12 ×sin45°＝12 ＝12 ．2 2×22在 Rt△ ABF 中，由勾股定理，得 AF＝ ＝5 ．AB2－ BF2＝ 132－ 122(2)证明：如图，以点 A 为圆心， AG 为半径作弧，交 BG 于点 M，连接 ME， GE， AM．∵∠ BFC＝90°，∠ ACB＝45°，∴△ FBC 是等腰直角三角形 ． ∴ FB＝ FC．∵在▱ ABCD 中， AD∥ BC，∴∠ GAC＝∠ ACB＝45° ．∴∠ AGB＝45° ．∵ AM＝ AG， AF⊥ MG，∴∠ AMG＝∠ AGM＝45°， MF＝ GF．∴∠ AMB＝∠ ECH＝135° ．∵ BA＝ BE， BF⊥ AE，9∴ AF＝ EF．∴四边形 AMEG 是正方形 ．∴ FM＝ FE． ∴ BM＝ CE．又∵ CH＝ AG，∴ CH＝ AM．∴△ AMB≌△ HCE． ∴ EH＝ AB．∴ EH＝ EB．