（浙江专用）2019高考数学二轮复习精准提分 第一篇 小考点抢先练，基础题不失分 第4练 平面向量试题.docx

1、1第 4 练 平面向量明晰考情 1.命题角度：向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查向量的有关知识，一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度：中低档难度考点一 平面向量的线性运算要点重组 (1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘(2)共线向量定理(3)平面向量基本定理方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减(2)已知 O 为平面上任意一点，则 A， B， C 三点共线的充要条件是存在 s， t，使得 s t ，且 s t1， s， tR.OC OA OB (3)证明三点共线问题，可转化为向量共线

2、解决1(2018全国)在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 等于( )EB A. 34AB 14AC B. 14AB 34AC C. 34AB 14AC D. 14AB 34AC 答案 A解析 作出示意图如图所示 ( ) ( )EB ED DB 12AD 12CB 12 12AB AC 12AB AC .34AB 14AC 2故选 A.2.如图，在 ABC 中， N 是 AC 边上一点，且 ， P 是 BN 上的一点，若 m ，AN 12NC AP AB 29AC 则实数 m 的值为( )A. B.19 13C1 D3答案 B解析 ， ，AN 12NC AN

3、 13AC m m .AP AB 29AC AB 23AN 又 B， N， P 三点共线， m .133.如图，在正方形 ABCD 中， M， N 分别是 BC， CD 的中点，若 ，则 等AC AM BN 于( )A2B. C. D.83 65 85答案 D解析 方法一 如图以 AB， AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为 1， AM ， ， (1,1)(1，12) BN ( 12， 1) AC ，AC AM BN (1， 12) ( 12， 1) ( 2， 2 )3Error! 解得Error!故 .85方法二 以 ， 作为基底，AB AD M， N 分别为 BC， CD 的中

4、点， ，AM AB BM AB 12AD ，BN BC CN AD 12AB ，AC AM BN ( 2)AB ( 2 )AD 又 ，AC AB AD 因此Error! 解得Error!所以 .854已知 AB， DC 为梯形 ABCD 的两腰，若 (1,3)， (1 x，2 x)，则 x_.AD BC 答案 3解析 由梯形的性质知， ，且同向，AD BC 则12 x3(1 x)0，解得 x3.5在 ABC 中，点 M 是线段 BC 延长线上一点，且满足 BM3 CM，若 x y ，则AM AB AC x y_.答案 2解析 因为 ， ，AM AC CM AC 12BC BC AC AB 所以

5、 ( ) ，AM AC 12AC AB 32AC 12AB 所以 x ， y ，则 x y2.12 32考点二 平面向量的数量积要点重组 (1) ab| a|b|cos .(2)|a|2 aa；cos .ab|a|b|方法技巧 (1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法6已知向量 a(1,2)， b(1,0)， c(3,4)，若 为实数，( b a) c，则 的值为( )4A B C. D.311 113 12 35答案 A解析 b a(1,0) (1,2)(1 ，2 )，又 c(3,4)，且( b a) c，所以(b

6、a)c0，即 3(1 )2 433 8 0，解得 .3117已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 ( )的最小值是PA PB PC ( )A2 B32C D143答案 B解析 方法一 (解析法)建立坐标系如图所示，则 A， B， C 三点的坐标分别为 A(0， )， B(1，0)， C(1,0)设3P 点的坐标为( x， y)，图则 ( x， y)，PA 3(1 x， y)，PB (1 x， y)，PC ( )( x， y)(2 x，2 y)PA PB PC 32( x2 y2 y)2 2 .3 x2 (y 32)2 34 ( 34) 32当且仅当 x0，

7、 y 时， ( )取得最小值，最小值为 .32 PA PB PC 32故选 B.方法二 (几何法)如图所示， 2 (D 为 BC 的中点)，则 ( )2 .PB PC PD PA PB PC PA PD 5图要使 最小，则 与 方向相反，即点 P 在线段 AD 上，则(2 )PA PD PA PD PA PD min2| | |，PA PD 问题转化为求| | |的最大值PA PD 又当点 P 在线段 AD 上时，| | | |2 ，PA PD AD 32 3| | | 2 2 ，PA PD (|PA | |PD |2 ) ( 32) 34 ( )min(2 )min2 .PA PB PC P

8、A PD 34 32故选 B.8已知向量 ， ，则 ABC 等于( )BA (12， 32) BC ( 32， 12)A30 B45C60 D120答案 A解析 | |1，| |1，cos ABC .BA BC BA BC |BA |BC | 32又0 ABC180， ABC30.9(2016浙江)已知向量 a， b，| a|1，| b|2.若对任意单位向量 e，均有|ae| be| ，则 ab 的最大值是_6答案 12解析 由已知可得 | ae| be| ae be|( a b)e|，6由于上式对任意单位向量 e 都成立 | a b|成立66( a b)2 a2 b22 ab1 22 22

9、ab.即 652 ab， ab .12610在平面内， 6，动点 P， M 满足| |2， ，则| |2的AB AC BA BC CA CB AP PM MC BM 最大值是_答案 16解析 由已知易得 ABC 是等边三角形且边长为 2 .设 O 是 ABC 的中心，则3| | | |2.OA OB OC 以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(2,0)， B(1， )， C(1， )3 3设 P(x， y)，由已知| |2，AP 得( x2) 2 y24. ，PM MC M ， ，(x 12 ， y 32 ) BM (x 12 ， y 332 )| |2

10、，BM x 12 y 3324它表示圆( x2) 2 y24 上的点 P(x， y)与点 D(1，3 )的距离的平方的 ，314| |max 2 28，PD 2 12 332 9 27| | 16.BM 2max 824考点三 平面向量的综合应用方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题(2)平 面 向 量 常 与 三 角 函 数 、 平 面 几 何 、 解 析 几 何 等 相 结 合 ， 利 用 向 量 共 线 或 数 量 积 的 知 识解 题 11(2018温州模拟)如图已知 ABC 的边 BC 的垂直平分线交 BC 于 Q，交 AC

11、于 P，若| |1，| |2，则 的值为( )AB AC AP BC 7A3B. C. D.32 3 32答案 B解析 因为 BC 的垂直平分线交 AC 于 Q，所以 0， QP BC AP BC (AQ QP ) BC AQ BC ，故选 B.QP BC 12(AC AB )(AC AB ) 12(AC 2 AB 2) 3212如图，半径为 1 的扇形 AOB 中， AOB120， P 是弧 AB 上的一点，且满足 OP OB, M， N 分别是线段 OA， OB 上的动点，则 的最大值为( )PM PN A. B.22 32C1 D. 2答案 C解析 2 PM PN (PO OM ) (P

12、O ON ) PO OM PO OM ON 1| |cos150| | |cos12010 0 1，当且仅当 M 点与OM OM ON ( 32) ( 12)O 点重合时取等号，故选 C.13如图，在 ABC 中，点 D， E 是线段 BC 上两个动点，且 x y ，则 的最AD AE AB AC 1x 4y小值为( )A. B232C. D.52 92答案 D8解析 由题图可知 x， y 均为正，设 m n ， ， B， D， E， C 共线，AD AB AC AE AB AC m n1， 1， x y ( m ) ( n ) ，AD AE AB AC AB AC 则 x y m n 2，

13、，1x 4y 12(1x 4y)(x y) 12(5 yx 4xy) 12(5 2yx4xy) 92当且仅当 x ， y 时，等号成立23 43则 的最小值为 ，故选 D.1x 4y 9214(2018浙江省名校协作体联考)设数列 xn的各项都为正数且 x11. ABC 内的点Pn(nN *)均满足 PnAB 与 PnAC 的面积比为 21，若 xn1 (2 xn1) 0，PnA 12 PnB PnC 则 x4的值为( )A15 B17C29 D31答案 A解析 由 xn1 0 得 (2 xn1) xn1 ，PnA 12 PnB (2xn 1)PnC PnA PnC 12 PnB 设 (2 x

14、n1) ，PnD PnC 以线段 PnA， PnD 作出平行四边形 AEDPn，如图，则 xn1 ，PnA PnD PnE 12 PnB ，|PnE |PnB | xn 12 nPAEBS , ，xn 12 |PnC |PnD | |PnC |AE 12xn 19 nPACDS nPAE ，11 2xn则 nPACBS ，xn 121 2xn 12即 xn1 2 xn1， xn1 12( xn1), 则 xn1构成以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，所以 x4122 316，所以 x415.故选 A.15在 ABC 中， ACB 为钝角， AC BC1, x y 且 x y1，函数 f(

15、m)CO CA CB | m |的最小值为 ，则| |的最小值为_CA CB 32 CO 答案 12解析 在 ABC 中， ACB 为钝角， AC BC1，函数 f(m)的最小值为 .32函数 f(m)| m |CA CB CA 2 m2CB 2 2mCA CB ，1 m2 2mcos ACB32化为 4m28 mcos ACB10 恒成立当且仅当 m cos ACB 时等号成立，8cos ACB8代入得到 cos ACB (舍去正值)，12 ACB .23 2 x2 2 y2 22 xy CO CA CB CA CB x2 y22 xycos23 x2(1 x)2 x(1 x)3 2 ，(x

16、12) 1410当且仅当 x y 时， 2取得最小值 ，12 CO 14 的最小值为 .|CO | 121对任意向量 a， b，下列关系式中不恒成立的是( )A| ab| a|b|B| a b| a| b|C( a b)2| a b|2D( a b)(a b) a2 b2答案 B解析 选项 B 中，当向量 a， b 反向及不共线时，有| a b| ，故 B 中关系式不恒成立| a| |b|2 ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若 0，且| | |，则 等OA AB OC OA AB CA CB 于( )A. B. C3D232 3 3答案 C解析 0， ，故点 O 是 BC 的中点，且

17、 ABC 为直角三角形，OA AB OC OB OC 又 ABC 的外接圆的半径为 1，| | |， BC2， AB1， CA ， BCA30，OA AB 3 | | |cos30 2 3.CA CB CA CB 3 323已知向量 a(1,2)， b(1,1)，且 a 与 a b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_答案 (53， 0) (0， )解析 a b(1 ，2 )，由 a(a b)0，可得 .53又 a 与 a b 不共线， 0.故 且 0.534向量 a， b 满足| a|4， b(a b)0，若| a b|的最小值为 2( R)，则ab_.答案 811解析 向量 a， b 满足

18、| a|4， b(a b)0，即 ab b2.若| a b| 2( R)， 2a2 2 ab b2 16 2 2 ab ab化为 16 22 ab ab40 对于 R 恒成立， 4( ab)264( ab4)0，化为( ab8) 20， ab8.解题秘籍 (1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质(2)注意向量夹角的定义和范围在 ABC 中， 和 的夹角为 B；向量 a， b 的夹角为AB BC 锐角要和 ab0 区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理)1(2018金华模拟)已知平面向量 a， b， c，满足 ，且| a| b| c|4，a|a| b|b

19、| c|c|则 c(a b)的最大值为( )A1B2C3D4答案 B解析 由题意可得 ，a|a| b|b| c|c|可得 a， c60， b， c60，故 c(a b) ，|a|c| |b|c|2将| a| b| c|4 两边同时乘以| c|，可得| a|c| b|c| c|24| c|，故 c(a b) ，|a|c| |b|c|2 |c|2 4|c|2 |c| 22 42故 c(a b)max 2.422若| |1，| |4， 2， ，则 ABC 的面积是( )OA OB OA OB OA OB OC A1B2C. D23 3答案 C解析 因为 ，OA OB OC 12所以 ， ，OA OC

20、 OB BC OB OC OA AC 又| |1，| |4，OA OB 所以| |1，| |4， 2，即 2.BC AC OA OB BC AC 设 与 的夹角为 ，易知 与 BCA 互为对顶角，BC AC 所以 BCA.由 | | |cos 14cos 2，BC AC BC AC 得 cos ， BCA 是三角形的内角，sin BCAsin ，12 32所以 S ABC | | |sin BCA .12BC AC 33(2018诸暨月考)平行四边形 ABCD 中， ， 在 上的投影分别为 3，1，则 在 上AC BD AB BD BC 的投影的取值范围是( )A(1，) B(1,3)C(0，

21、) D(0,3)答案 A解析 以点 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，0)， CBD ，则 C(3， b)， D(a1， b), 则 3( a1) a，解得 a2.所以 D(1， b)， C(3， b) .在 上的投影为| |cos cos .BD BC BD 1 b2当 b0 时，cos 1，得 BM1.当 b时， 0，得 BM.故选 A.4(2018浙江湖州、衢州、丽水三市联考)已知 O 是 ABC 的外心， C45，则 mOC n (m， nR)，则 m n 的取值范围是( )OA OB A ， B ，1)2 2 213C ，1 D(1，

22、 2 2答案 B解析 由题意 C45，所以 AOB90，以 OA， OB 为 x， y 轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设 A(1,0)， B(0,1)，则 C 在圆 O 的优弧 AB 上，设 C(cos ，sin )，则 ，( 2， 2 )显然 cos sin ，OC OA OB 即 mcos ， nsin ， m ncos sin sin ，2 ( 4)由于 ，所以 ，sin ，( 2， 2 ) 4 (34， 94) ( 4) 1， 22)所以 m n ，1)，故选 B.25(2018浙江省金华十校模拟)已知平面内任意不共线的三点 A， B， C，则 AB BC BC 的值为( )CA C

23、A AB A正数 B负数C0 D以上说法都有可能答案 B解析 AB BC BC CA CA AB 2( )12 AB BC BC CA CA AB ( )( )( )12 AB BC BC CA AB BC CA AB BC CA CA AB ( ) ( ) ( )12BC AB CA AB BC CA CA BC AB ( )12BC CB AB BA CA AC ( 2 2 2)0， 20，由| | |，得| 1 | 2 |，即 1c 2b，亦AM AN AB AC 即 ，故选 A. 1 2 bc7(2018浙江省新昌中学、台州中学等联考)如图，点 C 在以 AB 为直径的圆上，其中AB2

24、，过 A 向点 C 处的切线作垂线，垂足为 P，则 的最大值是( )AC PB A2B1C0D1答案 B解析 连接 BC，则 ACB90， AP PC， 2，AC PB AC (PC CB ) AC PC (AP PC ) PC PC 依题意可证 Rt APCRt ACB，则 ，|PC|CB| |AC|AB|即| PC| .|AC|CB|2| AC|2| CB|2| AB|2，| AC|2| CB|242| AC|CB|，即| AC|CB|2，当且仅当| AC| CB| 时取等号，2| PC|1， 21，AC PB PC 的最大值为 1，故选 B.AC PB 8(2018浙江省嘉兴一中、杭州高

25、级中学等联考)设 a1， a2， a3， a4R，且a1a4 a2a31，记 f(a1， a2， a3， a4) a a a a a1a3 a2a4，则 f(a1， a2， a3， a4)21 2 23 24的最小值为( )15A1B. C2D23 3答案 B解析 设 m( a1， a2)， n ，(a3， a4)因为 a1a4 a2a30，所以 m， n 不共线，则 f(a1， a2， a3， a4)| m|2| n|2 mn，记 cos ， (0，)，mn|m|n|则 S |m|n|sin |m|n|12 12 1 cos2 |a1a4 a2a3| |m|n| f(a1， a2， a3，

26、a4)12 12 1sin2| m|n| mn (利用三角函数的有界性)2sin cossin 39(2018浙江省嘉兴市第一中学模拟)设 e1， e2为单位向量，其中 a2 e1 e2， b e2，且a 在 b 上的投影为 2，则 ab_， e1与 e2的夹角为_答案 2 3解析 因为 2，所以 ab2.ab|b|设 e1与 e2的夹角为 ，则 ab|b| 2e1 e2e2|e2| 2| e1|e2|cos 12，2e1e2 e21解得 cos ，又因为 0，所以 .12 310在 ABC 中， AB3， AC2， A60， m ，则 的最小值为_，又AG AB AC |AG |若 ，则 m

27、_.AG BC 答案 316解析 因为 | | |cosA3，AB AC AB AC 所以 2 2AG (mAB AC ) m2 22 m 2AB AB AC AC 9 m26 m4(3 m1) 23，所以当 3m10 时， 取最小值 ；|AG | 316因为 ，AG BC 所以 AG BC (mAB AC ) (AC AB )( m1) m 2 23( m1)9 m40，AB AC AB AC 解得 m .1611(2018浙江省杭州市第二中学月考)已知点 M 为单位圆 x2 y21 上的动点，点 O 为坐标原点，点 A 在直线 x2 上，则 的最小值为_AM AO 答案 2解析 设 A(2

28、， t)， M(cos ，sin ) 0,2，则 (cos 2，sin t)， (2， t)，AM AO 所以 4 t22cos tsin .AM AO 又(2cos tsin )max ，4 t2故 4 t2 .AM AO 4 t2令 s ，则 s2，又 4 t2 s2 s2，4 t2 4 t2当 s2 即 t0 时等号成立，故 min2.(AM AO )12若向量 a， b 满足 a2 ab b21，则 的最大值为_12 |a b|答案 2105解析 因为 2 22 a22 b2， 2 24 ab，|a b| |a b| |a b| |a b|所以 1，|a b|2 |a b|22 |a b|2 |a b|28即 1，5|a b|28 3|a b|28即 2 ，|a b|85 3|a b|25 85故 .|a b|2105