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类型(浙江专用)2019高考数学二轮复习精准提分 第一篇 小考点抢先练,基础题不失分 第4练 平面向量试题.docx

  • 上传人:HR专家
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    (浙江专用)2019高考数学二轮复习精准提分 第一篇 小考点抢先练,基础题不失分 第4练 平面向量试题.docx
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    1、1第 4 练 平面向量明晰考情 1.命题角度:向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题,综合考查向量的有关知识,一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度:中低档难度考点一 平面向量的线性运算要点重组 (1)平面向量的线性运算:加法、减法、数乘(2)共线向量定理(3)平面向量基本定理方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则:共起点;三角形法则:首尾相连;向量减法的三角形法则:共起点连终点,指向被减(2)已知 O 为平面上任意一点,则 A, B, C 三点共线的充要条件是存在 s, t,使得 s t ,且 s t1, s, tR.OC OA OB (3)证明三点共线问题,可转化为向量共线

    2、解决1(2018全国)在 ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 AD 的中点,则 等于( )EB A. 34AB 14AC B. 14AB 34AC C. 34AB 14AC D. 14AB 34AC 答案 A解析 作出示意图如图所示 ( ) ( )EB ED DB 12AD 12CB 12 12AB AC 12AB AC .34AB 14AC 2故选 A.2.如图,在 ABC 中, N 是 AC 边上一点,且 , P 是 BN 上的一点,若 m ,AN 12NC AP AB 29AC 则实数 m 的值为( )A. B.19 13C1 D3答案 B解析 , ,AN 12NC AN

    3、 13AC m m .AP AB 29AC AB 23AN 又 B, N, P 三点共线, m .133.如图,在正方形 ABCD 中, M, N 分别是 BC, CD 的中点,若 ,则 等AC AM BN 于( )A2B. C. D.83 65 85答案 D解析 方法一 如图以 AB, AD 为坐标轴建立平面直角坐标系,设正方形边长为 1, AM , , (1,1)(1,12) BN ( 12, 1) AC ,AC AM BN (1, 12) ( 12, 1) ( 2, 2 )3Error! 解得Error!故 .85方法二 以 , 作为基底,AB AD M, N 分别为 BC, CD 的中

    4、点, ,AM AB BM AB 12AD ,BN BC CN AD 12AB ,AC AM BN ( 2)AB ( 2 )AD 又 ,AC AB AD 因此Error! 解得Error!所以 .854已知 AB, DC 为梯形 ABCD 的两腰,若 (1,3), (1 x,2 x),则 x_.AD BC 答案 3解析 由梯形的性质知, ,且同向,AD BC 则12 x3(1 x)0,解得 x3.5在 ABC 中,点 M 是线段 BC 延长线上一点,且满足 BM3 CM,若 x y ,则AM AB AC x y_.答案 2解析 因为 , ,AM AC CM AC 12BC BC AC AB 所以

    5、 ( ) ,AM AC 12AC AB 32AC 12AB 所以 x , y ,则 x y2.12 32考点二 平面向量的数量积要点重组 (1) ab| a|b|cos .(2)|a|2 aa;cos .ab|a|b|方法技巧 (1)向量数量积的求法:定义法,几何法(利用数量积的几何意义),坐标法(2)向量运算的两种基本方法:基向量法,坐标法6已知向量 a(1,2), b(1,0), c(3,4),若 为实数,( b a) c,则 的值为( )4A B C. D.311 113 12 35答案 A解析 b a(1,0) (1,2)(1 ,2 ),又 c(3,4),且( b a) c,所以(b

    6、a)c0,即 3(1 )2 433 8 0,解得 .3117已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点,则 ( )的最小值是PA PB PC ( )A2 B32C D143答案 B解析 方法一 (解析法)建立坐标系如图所示,则 A, B, C 三点的坐标分别为 A(0, ), B(1,0), C(1,0)设3P 点的坐标为( x, y),图则 ( x, y),PA 3(1 x, y),PB (1 x, y),PC ( )( x, y)(2 x,2 y)PA PB PC 32( x2 y2 y)2 2 .3 x2 (y 32)2 34 ( 34) 32当且仅当 x0,

    7、 y 时, ( )取得最小值,最小值为 .32 PA PB PC 32故选 B.方法二 (几何法)如图所示, 2 (D 为 BC 的中点),则 ( )2 .PB PC PD PA PB PC PA PD 5图要使 最小,则 与 方向相反,即点 P 在线段 AD 上,则(2 )PA PD PA PD PA PD min2| | |,PA PD 问题转化为求| | |的最大值PA PD 又当点 P 在线段 AD 上时,| | | |2 ,PA PD AD 32 3| | | 2 2 ,PA PD (|PA | |PD |2 ) ( 32) 34 ( )min(2 )min2 .PA PB PC P

    8、A PD 34 32故选 B.8已知向量 , ,则 ABC 等于( )BA (12, 32) BC ( 32, 12)A30 B45C60 D120答案 A解析 | |1,| |1,cos ABC .BA BC BA BC |BA |BC | 32又0 ABC180, ABC30.9(2016浙江)已知向量 a, b,| a|1,| b|2.若对任意单位向量 e,均有|ae| be| ,则 ab 的最大值是_6答案 12解析 由已知可得 | ae| be| ae be|( a b)e|,6由于上式对任意单位向量 e 都成立 | a b|成立66( a b)2 a2 b22 ab1 22 22

    9、ab.即 652 ab, ab .12610在平面内, 6,动点 P, M 满足| |2, ,则| |2的AB AC BA BC CA CB AP PM MC BM 最大值是_答案 16解析 由已知易得 ABC 是等边三角形且边长为 2 .设 O 是 ABC 的中心,则3| | | |2.OA OB OC 以 O 为原点,直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则 A(2,0), B(1, ), C(1, )3 3设 P(x, y),由已知| |2,AP 得( x2) 2 y24. ,PM MC M , ,(x 12 , y 32 ) BM (x 12 , y 332 )| |2

    10、,BM x 12 y 3324它表示圆( x2) 2 y24 上的点 P(x, y)与点 D(1,3 )的距离的平方的 ,314| |max 2 28,PD 2 12 332 9 27| | 16.BM 2max 824考点三 平面向量的综合应用方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题,要准确使用平面向量知识进行转化,最后归结为不含向量的问题(2)平 面 向 量 常 与 三 角 函 数 、 平 面 几 何 、 解 析 几 何 等 相 结 合 , 利 用 向 量 共 线 或 数 量 积 的 知 识解 题 11(2018温州模拟)如图已知 ABC 的边 BC 的垂直平分线交 BC 于 Q,交 AC

    11、于 P,若| |1,| |2,则 的值为( )AB AC AP BC 7A3B. C. D.32 3 32答案 B解析 因为 BC 的垂直平分线交 AC 于 Q,所以 0, QP BC AP BC (AQ QP ) BC AQ BC ,故选 B.QP BC 12(AC AB )(AC AB ) 12(AC 2 AB 2) 3212如图,半径为 1 的扇形 AOB 中, AOB120, P 是弧 AB 上的一点,且满足 OP OB, M, N 分别是线段 OA, OB 上的动点,则 的最大值为( )PM PN A. B.22 32C1 D. 2答案 C解析 2 PM PN (PO OM ) (P

    12、O ON ) PO OM PO OM ON 1| |cos150| | |cos12010 0 1,当且仅当 M 点与OM OM ON ( 32) ( 12)O 点重合时取等号,故选 C.13如图,在 ABC 中,点 D, E 是线段 BC 上两个动点,且 x y ,则 的最AD AE AB AC 1x 4y小值为( )A. B232C. D.52 92答案 D8解析 由题图可知 x, y 均为正,设 m n , , B, D, E, C 共线,AD AB AC AE AB AC m n1, 1, x y ( m ) ( n ) ,AD AE AB AC AB AC 则 x y m n 2,

    13、,1x 4y 12(1x 4y)(x y) 12(5 yx 4xy) 12(5 2yx4xy) 92当且仅当 x , y 时,等号成立23 43则 的最小值为 ,故选 D.1x 4y 9214(2018浙江省名校协作体联考)设数列 xn的各项都为正数且 x11. ABC 内的点Pn(nN *)均满足 PnAB 与 PnAC 的面积比为 21,若 xn1 (2 xn1) 0,PnA 12 PnB PnC 则 x4的值为( )A15 B17C29 D31答案 A解析 由 xn1 0 得 (2 xn1) xn1 ,PnA 12 PnB (2xn 1)PnC PnA PnC 12 PnB 设 (2 x

    14、n1) ,PnD PnC 以线段 PnA, PnD 作出平行四边形 AEDPn,如图,则 xn1 ,PnA PnD PnE 12 PnB ,|PnE |PnB | xn 12 nPAEBS , ,xn 12 |PnC |PnD | |PnC |AE 12xn 19 nPACDS nPAE ,11 2xn则 nPACBS ,xn 121 2xn 12即 xn1 2 xn1, xn1 12( xn1), 则 xn1构成以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,所以 x4122 316,所以 x415.故选 A.15在 ABC 中, ACB 为钝角, AC BC1, x y 且 x y1,函数 f(

    15、m)CO CA CB | m |的最小值为 ,则| |的最小值为_CA CB 32 CO 答案 12解析 在 ABC 中, ACB 为钝角, AC BC1,函数 f(m)的最小值为 .32函数 f(m)| m |CA CB CA 2 m2CB 2 2mCA CB ,1 m2 2mcos ACB32化为 4m28 mcos ACB10 恒成立当且仅当 m cos ACB 时等号成立,8cos ACB8代入得到 cos ACB (舍去正值),12 ACB .23 2 x2 2 y2 22 xy CO CA CB CA CB x2 y22 xycos23 x2(1 x)2 x(1 x)3 2 ,(x

    16、12) 1410当且仅当 x y 时, 2取得最小值 ,12 CO 14 的最小值为 .|CO | 121对任意向量 a, b,下列关系式中不恒成立的是( )A| ab| a|b|B| a b| a| b|C( a b)2| a b|2D( a b)(a b) a2 b2答案 B解析 选项 B 中,当向量 a, b 反向及不共线时,有| a b| ,故 B 中关系式不恒成立| a| |b|2 ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 0,且| | |,则 等OA AB OC OA AB CA CB 于( )A. B. C3D232 3 3答案 C解析 0, ,故点 O 是 BC 的中点,且

    17、 ABC 为直角三角形,OA AB OC OB OC 又 ABC 的外接圆的半径为 1,| | |, BC2, AB1, CA , BCA30,OA AB 3 | | |cos30 2 3.CA CB CA CB 3 323已知向量 a(1,2), b(1,1),且 a 与 a b 的夹角为锐角,则实数 的取值范围是_答案 (53, 0) (0, )解析 a b(1 ,2 ),由 a(a b)0,可得 .53又 a 与 a b 不共线, 0.故 且 0.534向量 a, b 满足| a|4, b(a b)0,若| a b|的最小值为 2( R),则ab_.答案 811解析 向量 a, b 满足

    18、| a|4, b(a b)0,即 ab b2.若| a b| 2( R), 2a2 2 ab b2 16 2 2 ab ab化为 16 22 ab ab40 对于 R 恒成立, 4( ab)264( ab4)0,化为( ab8) 20, ab8.解题秘籍 (1)熟练掌握向量数量积的概念,并且要从几何意义理解数量积的性质(2)注意向量夹角的定义和范围在 ABC 中, 和 的夹角为 B;向量 a, b 的夹角为AB BC 锐角要和 ab0 区别开来(不要忽视向量共线情况,两向量夹角为钝角类似处理)1(2018金华模拟)已知平面向量 a, b, c,满足 ,且| a| b| c|4,a|a| b|b

    19、| c|c|则 c(a b)的最大值为( )A1B2C3D4答案 B解析 由题意可得 ,a|a| b|b| c|c|可得 a, c60, b, c60,故 c(a b) ,|a|c| |b|c|2将| a| b| c|4 两边同时乘以| c|,可得| a|c| b|c| c|24| c|,故 c(a b) ,|a|c| |b|c|2 |c|2 4|c|2 |c| 22 42故 c(a b)max 2.422若| |1,| |4, 2, ,则 ABC 的面积是( )OA OB OA OB OA OB OC A1B2C. D23 3答案 C解析 因为 ,OA OB OC 12所以 , ,OA OC

    20、 OB BC OB OC OA AC 又| |1,| |4,OA OB 所以| |1,| |4, 2,即 2.BC AC OA OB BC AC 设 与 的夹角为 ,易知 与 BCA 互为对顶角,BC AC 所以 BCA.由 | | |cos 14cos 2,BC AC BC AC 得 cos , BCA 是三角形的内角,sin BCAsin ,12 32所以 S ABC | | |sin BCA .12BC AC 33(2018诸暨月考)平行四边形 ABCD 中, , 在 上的投影分别为 3,1,则 在 上AC BD AB BD BC 的投影的取值范围是( )A(1,) B(1,3)C(0,

    21、) D(0,3)答案 A解析 以点 A 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设B(a,0), CBD ,则 C(3, b), D(a1, b), 则 3( a1) a,解得 a2.所以 D(1, b), C(3, b) .在 上的投影为| |cos cos .BD BC BD 1 b2当 b0 时,cos 1,得 BM1.当 b时, 0,得 BM.故选 A.4(2018浙江湖州、衢州、丽水三市联考)已知 O 是 ABC 的外心, C45,则 mOC n (m, nR),则 m n 的取值范围是( )OA OB A , B ,1)2 2 213C ,1 D(1,

    22、 2 2答案 B解析 由题意 C45,所以 AOB90,以 OA, OB 为 x, y 轴建立平面直角坐标系,如图,不妨设 A(1,0), B(0,1),则 C 在圆 O 的优弧 AB 上,设 C(cos ,sin ),则 ,( 2, 2 )显然 cos sin ,OC OA OB 即 mcos , nsin , m ncos sin sin ,2 ( 4)由于 ,所以 ,sin ,( 2, 2 ) 4 (34, 94) ( 4) 1, 22)所以 m n ,1),故选 B.25(2018浙江省金华十校模拟)已知平面内任意不共线的三点 A, B, C,则 AB BC BC 的值为( )CA C

    23、A AB A正数 B负数C0 D以上说法都有可能答案 B解析 AB BC BC CA CA AB 2( )12 AB BC BC CA CA AB ( )( )( )12 AB BC BC CA AB BC CA AB BC CA CA AB ( ) ( ) ( )12BC AB CA AB BC CA CA BC AB ( )12BC CB AB BA CA AC ( 2 2 2)0, 20,由| | |,得| 1 | 2 |,即 1c 2b,亦AM AN AB AC 即 ,故选 A. 1 2 bc7(2018浙江省新昌中学、台州中学等联考)如图,点 C 在以 AB 为直径的圆上,其中AB2

    24、,过 A 向点 C 处的切线作垂线,垂足为 P,则 的最大值是( )AC PB A2B1C0D1答案 B解析 连接 BC,则 ACB90, AP PC, 2,AC PB AC (PC CB ) AC PC (AP PC ) PC PC 依题意可证 Rt APCRt ACB,则 ,|PC|CB| |AC|AB|即| PC| .|AC|CB|2| AC|2| CB|2| AB|2,| AC|2| CB|242| AC|CB|,即| AC|CB|2,当且仅当| AC| CB| 时取等号,2| PC|1, 21,AC PB PC 的最大值为 1,故选 B.AC PB 8(2018浙江省嘉兴一中、杭州高

    25、级中学等联考)设 a1, a2, a3, a4R,且a1a4 a2a31,记 f(a1, a2, a3, a4) a a a a a1a3 a2a4,则 f(a1, a2, a3, a4)21 2 23 24的最小值为( )15A1B. C2D23 3答案 B解析 设 m( a1, a2), n ,(a3, a4)因为 a1a4 a2a30,所以 m, n 不共线,则 f(a1, a2, a3, a4)| m|2| n|2 mn,记 cos , (0,),mn|m|n|则 S |m|n|sin |m|n|12 12 1 cos2 |a1a4 a2a3| |m|n| f(a1, a2, a3,

    26、a4)12 12 1sin2| m|n| mn (利用三角函数的有界性)2sin cossin 39(2018浙江省嘉兴市第一中学模拟)设 e1, e2为单位向量,其中 a2 e1 e2, b e2,且a 在 b 上的投影为 2,则 ab_, e1与 e2的夹角为_答案 2 3解析 因为 2,所以 ab2.ab|b|设 e1与 e2的夹角为 ,则 ab|b| 2e1 e2e2|e2| 2| e1|e2|cos 12,2e1e2 e21解得 cos ,又因为 0,所以 .12 310在 ABC 中, AB3, AC2, A60, m ,则 的最小值为_,又AG AB AC |AG |若 ,则 m

    27、_.AG BC 答案 316解析 因为 | | |cosA3,AB AC AB AC 所以 2 2AG (mAB AC ) m2 22 m 2AB AB AC AC 9 m26 m4(3 m1) 23,所以当 3m10 时, 取最小值 ;|AG | 316因为 ,AG BC 所以 AG BC (mAB AC ) (AC AB )( m1) m 2 23( m1)9 m40,AB AC AB AC 解得 m .1611(2018浙江省杭州市第二中学月考)已知点 M 为单位圆 x2 y21 上的动点,点 O 为坐标原点,点 A 在直线 x2 上,则 的最小值为_AM AO 答案 2解析 设 A(2

    28、, t), M(cos ,sin ) 0,2,则 (cos 2,sin t), (2, t),AM AO 所以 4 t22cos tsin .AM AO 又(2cos tsin )max ,4 t2故 4 t2 .AM AO 4 t2令 s ,则 s2,又 4 t2 s2 s2,4 t2 4 t2当 s2 即 t0 时等号成立,故 min2.(AM AO )12若向量 a, b 满足 a2 ab b21,则 的最大值为_12 |a b|答案 2105解析 因为 2 22 a22 b2, 2 24 ab,|a b| |a b| |a b| |a b|所以 1,|a b|2 |a b|22 |a b|2 |a b|28即 1,5|a b|28 3|a b|28即 2 ,|a b|85 3|a b|25 85故 .|a b|2105

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