1、1第 15 练 空间线面关系的判断明晰考情 1.命题角度：空间线面关系的判断；空间中的平行、垂直关系；利用空间的平行、垂直关系求解空间角.2.题目难度：中档难度考点一 空间线面位置关系的判断方法技巧 (1)判定两直线异面的方法：反证法；利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线(2)模型法判断线面关系：借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断(3)空间图形中平行与垂直的实质是转化思想的体现，要掌握以下的常用结论：平面图形的平行关系：平行线分线段成比例、平行四边形的对边互相平行；平面图形中的垂直关系：等腰三角形的底边上的中线和高重合、菱形
2、的对角线互相垂直、圆的直径所对圆周角为直角、勾股定理1已知直线 a 与平面 ， ， ， a ，点 B ，则在 内过点 B 的所有直线中( )A不一定存在与 a 平行的直线B只有两条与 a 平行的直线C存在无数条与 a 平行的直线D存在唯一一条与 a 平行的直线答案 D解析 在平面内过一点，只能作一条直线与已知直线平行2下列说法正确的是( )A若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则 l B若直线 a 在平面 外，则 a C若直线 a b，直线 b ，则 a D若直线 a b， b ，那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线答案 D解析 A 错误，直线 l 还可以在平面 内；B 错误，直线
3、a 在平面 外，包括平行和相交；C 错误， a 还可以与平面 相交或在平面 内故选 D.23将正方体的纸盒展开如图，直线 AB， CD 在原正方体的位置关系是( )A平行 B垂直C相交成 60角 D异面且成 60角答案 D解析 如图，直线 AB， CD 异面因为 CE AB，所以 ECD 即为异面直线 AB， CD 所成的角，因为 CDE 为等边三角形，故 ECD60.4如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为 O，且 AO平面BB1C1C，则 B1C 与 AB 的位置关系为_答案 垂直解析 连接 BO， AO平面 BB1C1C， B1C平面 BB1C
4、1C， AO B1C.又侧面 BB1C1C 为菱形， B1C BO，又 AO BO O， AO， BO平面 ABO， B1C平面 ABO. AB平面 ABO，3 B1C AB.考点二 空间角的求解方法技巧 (1)对于两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置(2)直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影5(2018全国)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC1， AA1 ，则异面直线 AD1与3DB1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.15 56 55 22答案 C解析 方法一 如图，在长方
5、体 ABCD A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A B BA A1 B1 B1A1.连接 B1B，由长方体性质可知， B1B AD1，所以 DB1B为异面直线 AD1与 DB1所成的角或其补角连接 DB，由题意，得DB ， B B1 2， DB1 .12 1 12 5 12 32 12 12 32 5在 DB B1中，由余弦定理，得DB 2 B B DB 2 B B1DB1cos DB1B，21 21即 54522 cos DB1B，cos DB1B .故选 C.555方法二 如图，以点 D 为坐标原点，分别以 DA， DC， DD1所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 D
6、 xyz.由题意，得 A(1,0,0)， D(0,0,0)， D1(0,0， )， B1(1,1， )，3 3 (1,0， )， (1,1， )，AD1 3 DB1 3 1101( )22，| |2，| | ，AD1 DB1 3 AD1 DB1 54cos ， .故选 C.AD1 DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 225 556已知在四面体 ABCD 中， E， F 分别是 AC， BD 的中点，若 AB2， CD4， EF AB，则 EF与 CD 所成的角的大小为( )A90B45C60D30答案 D解析 设 G 为 AD 的中点，连接 GF， GE，则 GF， GE 分别为
7、ABD， ACD 的中位线由此可得 GF AB，且 GF AB1， GE CD，且 GE CD2，12 12 FEG 或其补角即为 EF 与 CD 所成的角又 EF AB， GF AB， EF GF.因此，在 Rt EFG 中， GF1， GE2，sin GEF ，GFGE 12又 GEF 为锐角， GEF30. EF 与 CD 所成的角的大小为 30.7.已知 E， F 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 BB1， AD 的中点，则直线 EF 和平面 BDD1B1所成的角的正弦值是( )A. B.26 36C. D.13 66答案 B解析 连接 AE， BD，过点 F 作 FH B
8、D 交 BD 于 H，连接 EH，则 FH平面 BDD1B1，5 FEH 是直线 EF 和平面 BDD1B1所成的角设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， E， F 分别是棱 BB1， AD 的中点，在 Rt DFH 中， DF1， FDH45，可得 FH DF .22 22在 Rt AEF 中， AF1， AE ，AB2 BE2 5可得 EF .AF2 AE2 6在 Rt EFH 中，sin FEH ，FHEF 36直线 EF 和平面 BDD1B1所成的角的正弦值是 .368如图，设 E， F 分别是正方形 ABCD 中 CD， AB 边的中点，将 ADC 沿对角线 AC 对折，
9、使得直线 EF 与 AC 异面，记直线 EF 与平面 ABC 所成的角为 ，与异面直线 AC 所成的角为 ，则当 tan 时，tan 等于( )12A. B. C. D.3516 55 5117 5719答案 C解析 分别连接 BD 交 AC 于点 O，连接 D O.因为 AD CD，所以 D O AC，又因为 AC BD， BD D O O，所以 AC平面 BDD，又 BD平面 BDD，所以 AC BD.取 BC 的中点 S，连接 FS， ES，则 FS AC， ES BD，所以 FS ES，又因为 EFS 为异面直线 AC 与 EF 所成的角，所以 tan ，设 ES1，则 FS2， AC
10、4，ESFS 126取 CO 的中点 G，连接 EG， SG，则 EG SG1，所以 EGS 为等边三角形，过点 E 作 EH GS，由上可知 AC EG， AC SG 且 EG SG G，则 AC平面 EGS.又 EH平面 EGS，所以 EH AC，又 GS AC G，所以 EH平面 ABCD，所以 EFH 为 EF 与平面 ABCD 所成的角，因为 EH ， FH ，32 4 14 172所以 tan EFH ，故选 C.EHFH 5117考点三 立体几何中的动态问题方法技巧 (1)考虑动态问题中点线面的变化引起的一些量的变化，建立目标函数，用代数方法解决几何问题(2)运动变化中的轨迹问题
11、的实质是寻求运动变化过程中的所有情况，发现动点的运动规律(3)运动过程中端点的情况影响问题的思考，可以利用极限思想考虑运动变化的极限位置9.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AA12， AB BC1， ABC90，外接球的球心为O，点 E 是侧棱 BB1上的一个动点有下列判断：直线 AC 与直线 C1E 是异面直线； A1E 一定不垂直于 AC1；三棱锥 EAA1O 的体积为定值； AE EC1的最小值为 2 .2其中正确的个数是( )A1B2C3D4答案 C解析 因为点 A平面 BB1C1C，所以直线 AC 与直线 C1E 是异面直线；当 A1E AB1时，直线 A1E平面 AB1C
12、1，所以 A1E AC1，错误；球心 O 是直线 AC1， A1C 的交点，底面 OAA1面积不变，直线 BB1平面 AA1O，所以点 E 到底面的距离不变，体积为定值；将矩形7AA1B1B 和矩形 BB1C1C 展开到一个面内，当点 E 为 AC1与 BB1的交点时， AE EC1取得最小值2 ，2故选 C.10已知在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AA1与平面 A1B1C1D1垂直，且 AD AB， E 为 CC1的中点， P 在对角面 BB1D1D 所在平面内运动，若 EP 与 AC 成 30角，则点 P 的轨迹为( )A圆 B抛物线C双曲线 D椭圆答案 A解析 因为在平行六
13、面体 ABCD A1B1C1D1中， AA1与平面 A1B1C1D1垂直，且 AD AB，所以该平行六面体 ABCD A1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面 BB1D1D底面ABCD， AC对角面 BB1D1D.取 AA1的中点 F，则 EF AC，因为 EP 与 AC 成 30角，所以 EP与 EF 成 30角设 EF 与对角面 BB1D1D 的交点为 O，则 EO对角面 BB1D1D，所以点 P 的轨迹是以 EO 为轴的一个圆锥的底面，故选 A.11.如图在正四面体(所有棱长都相等) D ABC 中，动点 P 在平面 BCD 上，且满足 PAD30，若点 P 在平面 ABC
14、 上的射影为 P，则 sin P AB 的最大值为( )A. B.6 24 6 24C. D.32 12答案 A解析 以 AD 为轴， DAP30， AP 为母线，围绕 AD 旋转一周，在平面 BCD 内形成的轨迹为椭圆，当且仅当点 P 位于椭圆的长轴端点(图中点 M 的位置)时， P AB 最大，此时AD DM，且 DM BC.设正四面体 D ABC 的各棱长为 2，在 Rt ADM 中，AD2， MAD30，则 MD ， AM .过点 D 作正四面体 D ABC 的高 DO， O 为底面正23 43三角形 ABC 的中心，连接 AO，作 MP平面 ABC 于点 P，连接 P O，并延长交
15、AB 于点N，因为 DM BC， MP平面 ABC， DO平面 ABC，所以 MP DO 且 MP DO，四边形MP OD 为矩形，所以 P O DM ， ON ，所以 P N .23 23 23 238又在正四面体 D ABC 中， AO 2 ，32 23 233所以 DO ，所以 MP .AD2 AO2263 263在 Rt AOP中， AP ，AM2 MP 2263于 是 在 AP N 中 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ， 解 得 sin P AB ， 故 选 A.23 23sin P AB2 6332 6 2412如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂
16、直，动点 M 在线段 PQ上， E， F 分别为 AB， BC 的中点设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 cos 的最大值为_答案 25解析 如图，建立空间直角坐标系 A xyz，设 AB2， QM m(0 m2)，则 F(2,1,0)， E(1,0,0)， M(0， m,2)(0 m2)(2,1,0)， (1， m，2)，AF ME 9cos |cos ， | .AF ME |AF ME |AF |ME | |2 m|5m2 5 |m 2|5m2 25设 y ，m 225m2 25则 y2m 25m2 25 m 2210m5m2 252 .m 210m2 50 m 210m5m2
17、252 m 250 20m5m2 252当 0 m2 时， y0， y 在(0,2)上单调递减m 225m2 25当 m0 时， y 取最大值，此时 cos 取得最大值，(cos )max .|0 2|502 25 251 ， 是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定 的是( )A ， 都平行于直线 l， mB 内有三个不共线的点到 的距离相等C l， m 是 内的两条直线且 l ， m D l， m 是两条异面直线且 l ， m ， l ， m 答案 D解析 对于 A， l， m 应相交；对于 B，应考虑三个点在 的同侧或异侧两种情况；对于C， l， m 应相交，故选 D.2给出下列命题：若
18、平面 内的直线 a 与平面 内的直线 b 为异面直线，直线 c 是 与 的交线，那么 c 至多与 a， b 中的一条相交；若直线 a 与 b 异面，直线 b 与 c 异面，则直线 a 与 c 异面；一定存在平面 同时和异面直线 a， b 都平行其中正确的命题为( )ABCD答案 C解析 错， c 可与 a， b 都相交；错，因为 a， c 也可能相交或平行；正确，例如过10异面直线 a， b 的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即满足条件3在等腰直角 ABC 中， AB AC， BC2， M 为 BC 的中点， N 为 AC 的中点， D 为 BC 边上一个动点， ABD 沿 AD 翻折使 B
19、D DC，点 A 在平面 BCD 上的投影为点 O，当点 D 在 BC 上运动时，以下说法错误的是( )A线段 NO 为定长B CO1， )2C AMO ADB180D点 O 的轨迹是圆弧答案 C解析 如图所示，对于 A， AOC 为直角三角形， ON 为斜边 AC 上的中线， ON AC 为定长，12即 A 正确；对于 B， D 在 M 时， AO1， CO1， CO1， )，即 B 正确；2对于 D，由 A 可知，点 O 的轨迹是圆弧，即 D 正确，故选 C.解题秘籍 (1)平面的基本性质公理是几何作图的重要工具(2)两条异面直线所成角的范围是(0，90(3)线 面 关 系 的 判 断 要
20、 结 合 空 间 模 型 或 实 例 ， 以 定 理 或 结 论 为 依 据 进 行 推 理 ， 绝 不 能 主 观 判断 (4)立体几何中的动态问题要搞清运动的实质，选用恰当的方法解题1已知直线 a平面 ，则“直线 a平面 ”是“平面 平面 ”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11答案 A解析 若直线 a平面 ，直线 a平面 ，可得平面 平面 ；若平面 平面 ，又直线 a平面 ，那么直线 a平面 ，直线 a平面 都可能成立如正方体ABCDA1B1C1D1中，平面 ABCD平面 BCC1B1，直线 AD平面 BCC1B1，但直线 AD平面ABCD；直线 A
21、D1平面 BCC1B1，但直线 AD1与平面 ABCD 不垂直综上， “直线 a平面 ”是“平面 平面 ”的充分不必要条件2.如图，在三棱锥 P ABC 中，不能得出 AP BC 的条件是( )A AP PB， AP PC B AP PB， BC PBC平面 PBC平面 APC， BC PC D AP平面 PBC答案 B解析 A 中，因为 AP PB， AP PC， PB PC P，所以 AP平面 PBC.又 BC平面 PBC，所以 AP BC，故 A 可以得出 AP BC；C 中，因为平面 BPC平面 APC，且平面 BPC平面 APC PC， BC PC， BC平面 PBC，所以BC平面
22、APC.又 AP平面 APC，所以 PA BC，故 C 可以得出 AP BC；D 中，由 A 知 D 可以得出 AP BC；B 中条件不能得出 AP BC，故选 B.3已知 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出四个命题：若 m， n ， n m，则 ；若 m ， m ，则 ；若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， m n，则 .其中正确的命题是( )ABCD答案 B解析 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正12确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确
23、；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确4.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形， E， F 分别为 PA， PD 的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论：直线 BE 与直线 CF 异面；直线 BE 与直线 AF 异面；直线 EF平面 PBC；平面 BCE平面 PAD.其中正确的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个答案 B解析 将展开图还原为几何体(如图)，因为 E， F 分别为 PA， PD 的中点，所以EF AD BC，即直线 BE 与 CF 共面，错；因为 B平面 PAD， E平面 PAD， EAF，所以BE 与 AF 是异面直线，正
24、确；因为 EF AD BC， EF平面 PBC， BC平面 PBC，所以 EF平面 PBC，正确；平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直，错故选 B.5平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A， 平面 CB1D1， 平面 ABCD m， 平面 ABB1A1 n，则 m， n 所成角的正弦值为( )A. B.32 22C. D.33 13答案 A解析 如图所示，设平面 CB1D1平面 ABCD m1，13 平面 CB1D1，则 m1 m，又平面 ABCD平面 A1B1C1D1，平面 CB1D1平面 A1B1C1D1 B1D1， B1D1 m1， B1D1 m，同理可得 CD1 n.
25、故 m， n 所成角的大小与 B1D1， CD1所成角的大小相等，即 CD1B1的大小而 B1C B1D1 CD1(均为面对角线)，因此 CD1B1 ， 3得 sin CD1B1 ，故选 A.326如图，四边形 ABCD 为矩形，平面 PCD平面 ABCD，且 PC PD CD2， BC2 ， O， M2分别为 CD， BC 的中点，则异面直线 OM 与 PD 所成角的余弦值为( )A. B.64 63C. D.36 33答案 C解析 连接 BD， OB，则 OM DB， PDB 或其补角为异面直线 OM 与 PD 所成的角由条件可知 PO平面 ABCD，OB3， PO ， BD2 ， PB2
26、 ，3 3 314在 PBD 中，由余弦定理可得 cos PDB .4 12 122223 367(2018浙江省杭州市第二中学模拟)等腰直角三角形 ABE 的斜边 AB 为正四面体 ABCD 的侧棱，直角边 AE 绕斜边 AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：四面体 E BCD 的体积有最大值和最小值；存在某个位置，使得 AE BD；设二面角 D AB E 的平面角为 ，则 DAE； AE 的中点 M 与 AB 的中点 N 连线交平面 BCD 于点 P，则点 P 的轨迹为椭圆其中，正确说法的个数是( )A1B2C3D4答案 D解析 根据正四面体的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到当
27、直角边 AE 绕斜边AB 旋转的过程中，存在着最高点和最低点，并且最低点在底面的上方，所以四面体 E BCD的体积有最大值和最小值，故正确；要想使 AE BD，就要使 AE 落在竖直方向的平面内，而转到这个位置的时候，使得AE BD，且满足是等腰直角三角形，所以正确；利用二面角的平面角的定义，找到其平面角，设二面角 D AB E 的平面角为 ，则 DAE，所以是正确的；根据平面截圆锥所得的截面可以断定， AE 的中点 M 与 AB 的中点 N 连线交平面 BCD 于点 P，则点 P 的轨迹为椭圆，所以正确故正确的命题的个数是 4，故选 D.8(2018浙江省杭州市学军中学模拟)已知在矩形 AB
28、CD 中， AD AB，沿直线 BD 将2ABD 折成 A BD，使得点 A在平面 BCD 上的射影在 BCD 内(不含边界)，设二面角A BD C 的大小为 ，直线 A D， A C 与平面 BCD 所成的角分别为 ， ，则( )A B C D 答案 D解析 如图，四边形 ABCD 为矩形， BA A D，15当 A点在底面上的射影 O 落在 BC 上时，有平面 A BC底面 BCD，又 DC BC，平面 A BC平面 BCD BC， DC平面 BCD，可得 DC平面 A BC，则 DC BA， BA平面 A DC，在 Rt BA C 中，设 BA1，则 BC ，2 A C1，说明 O 为
29、BC 的中点；当 A点在底面上的射影 E 落在 BD 上时，可知 A E BD，设 BA1，则 A D ， A E ， BE .263 33要使点 A在平面 BCD 上的射影 F 在 BCD 内(不含边界)，则点 A的射影 F 落在线段 OE上(不含端点)可知 A EF 为二面角 A BD C 的平面角 ，直线 A D 与平面 BCD 所成的角为 A DF ，直线 A C 与平面 BCD 所成的角为 A CF ，可求得 DF CF， A C A D，且 A E 1，而 A C 的最小值为 1，63sin A DFsin A CFsin A EO，则 .9如图， DC平面 ABC， EB DC，
30、 EB2 DC， P， Q 分别为 AE， AB 的中点则直线 DP 与平面 ABC 的位置关系是_答案 平行解析 连接 CQ，在 ABE 中， P， Q 分别是 AE， AB 的中点，所以 PQ BE， PQ BE.1216又 DC EB， DC EB，12所以 PQ DC， PQ DC，所以四边形 DPQC 为平行四边形，所以 DP CQ.又 DP平面 ABC， CQ平面 ABC，所以 DP平面 ABC.10 ， 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题：如果 m n， m ， n ，那么 ；如果 m ， n ，那么 m n；如果 ， m ，那么 m ；如果 m n， ，那么 m
31、 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的序号)答案 解析 当 m n， m ， n 时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确11.如图，在三棱锥 S ABC 中，若 AC2 ， SA SB SC AB BC4, E 为棱 SC 的中点，3则直线 AC 与 BE 所成角的余弦值为_，直线 AC 与平面 SAB 所成的角为_答案 6014解析 取 SA 的中点 M，连接 ME， BM，则直线 AC 与 BE 所成的角等于直线 ME 与 BE 所成的角，因为 ME ， BM BE2 ，cos MEB ，所以直线 AC 与 BE 所成角的3 33 12
32、122323 14余弦值为 .取 SB 的中点 N，连接 AN， CN，则 AN SB， CN SBSB平面 ACN平面 SAB14平面 ACN，因此直线 AC 与平面 SAB 所成的角为 CAN，因为 AN CN AC2 ，所以3 CAN60，因此直线 AC 与平面 SAB 所成的角为 60.12在正方体 ABCD A1B1C1D1中(如图)，已知点 P 在直线 BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥 A D1PC 的体积不变；直线 AP 与平面 ACD1所成的角的大小不变；17二面角 P AD1 C 的大小不变；若 M 是平面 A1B1C1D1上到点 D 和 C1距离相等的点，则 M 点的轨迹是直线 A1D1.其中真命题的序号是_答案 解析 1ADPCV 1AP 1ADCBS为定值；因为 BC1 AD1，所以 BC1平13 B1C2 12面 AD1C，因此 P 到平面 AD1C 的距离不变，但 AP 长度变化，因此直线 AP 与平面 ACD1所成的角的大小变化；二面角 P AD1 C 的大小就是平面 ABC1D1与平面 AD1C 所成二面角的大小，因此不变；到点 D 和 C1距离相等的点在平面 A1BCD1上，所以 M 点的轨迹是平面A1BCD1与平面 A1B1C1D1的交线 A1D1.综上，真命题的序号是.
