1、1第 16 练 立体几何明晰考情 1.命题角度：高考中考查线面的位置关系和线面角，更多体现传统方法.2.题目难度：中档难度考点一 空间中的平行、垂直关系方法技巧 (1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系(2)证明线线垂直的常用方法利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；利用勾股定理的逆定理；利用线面垂直的性质1如图，在六面体 ABCDE 中，平面 DBC平面 ABC， AE平面 ABC.(1)求证： AE平面 DBC；(2)若 AB BC， BD CD，求证： AD DC.证明 (1)过点 D
2、作 DO BC， O 为垂足又平面 DBC平面 ABC，平面 DBC平面 ABC BC， DO平面 DBC， DO平面 ABC.又 AE平面 ABC， AE DO.又 AE平面 DBC， DO平面 DBC，故 AE平面 DBC.(2)由(1)知， DO平面 ABC， AB平面 ABC，2 DO AB.又 AB BC，且 DO BC O， DO， BC平面 DBC， AB平面 DBC. DC平面 DBC， AB DC.又 BD CD， AB DB B， AB， DB平面 ABD， DC平面 ABD.又 AD平面 ABD， AD DC.2(2018江苏)如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D
3、1中， AA1 AB， AB1 B1C1.求证：(1) AB平面 A1B1C；(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.证明 (1)在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AB A1B1.因为 AB平面 A1B1C， A1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形又因为 AA1 AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，因此 AB1 A1B.又因为 AB1 B1C1， BC B1C1，所以 AB1 BC.又因为 A1B BC B， A1B， BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC.因为 AB1平面
4、 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC.3(2018全国)如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC2 ， PA PB PC AC4， O 为2AC 的中点3(1)证明： PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2 MB，求点 C 到平面 POM 的距离(1)证明 因为 PA PC AC4， O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP2 .3如图，连接 OB.因为 AB BC AC，22所以 ABC 为等腰直角三角形，所以 OB AC， OB AC2.12由 OP2 OB2 PB2知 PO OB.因为 OP OB， OP AC， OB AC O，OB，
5、AC平面 ABC，所以 PO平面 ABC.(2)解 作 CH OM，垂足为 H，又由(1)可得 OP CH，因为 OM OP O， OM， OP平面 POM，所以 CH平面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题意可知 OC AC2， CM BC ，12 23 423 ACB45，所以在 OMC 中，由余弦定理可得 OM ，253CH .OCMCsin ACBOM 455所以点 C 到平面 POM 的距离为 .45544如图所示，三棱锥 P ABC 中， PA平面 ABC， PA1， AB1， AC2， BAC60.(1)求三棱锥 P ABC 的体积；(2)证明：在线段 P
6、C 上存在点 M，使得 AC BM，并求 的值PMMC解 (1) AB1， AC2， BAC60， S ABC ABACsin60 .12 32由 PA平面 ABC 可知， PA 是三棱锥 P ABC 的高，且 PA1，三棱锥 P ABC 的体积 V S ABCPA .13 36(2)在平面 ABC 内，过点 B 作 BN AC，垂足为 N，在平面 PAC 内，过点 N 作 MN PA 交 PC 于点 M，连接 BM. PA平面 ABC， AC平面 ABC， PA AC， MN AC.又 BN AC， BN MN N， BN， MN平面 BMN， AC平面 MBN.又 BM平面 MBN， AC
7、 BM.在 Rt BAN 中， AN ABcos BAC ，12从而 NC AC AN ，32由 MN PA，得 .PMMC ANNC 13考点二 空间角的求解要点重组 设直线 l， m 的方向向量分别为 a( a1， b1， c1)， b( a2， b2， c2)平面 ， 的法向量分别为 u( a3， b3， c3)， v( a4， b4， c4)(以下相同)(1)线线角设 l， m 所成的角为 ，则(0 2)5cos .|ab|a|b| |a1a2 b1b2 c1c2|a21 b21 c21 a2 b2 c2(2)线面角设直线 l 与平面 所成的角为 ，(0 2)则 sin |cos a，
8、 u| .|au|a|u|(3)二面角设 l 的平面角为 ，(0 )则|cos |cos u， v| .|uv|u|v|方法技巧 求空间角的两种方法(1)按定义作出角，然后利用图形计算(2)利用空间向量，计算直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角计算5(2018诸暨模拟)如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， PAD 是边长为2 的等边三角形，底面 ABCD 是直角梯形， BAD CDA ， AB2 CD2 ， E 是 CD 的中 2 2点(1)证明： AE PB；(2)设 F 是棱 PB 上的点， EF平面 PAD，求 EF 与平面 PAB 所成角的正弦值(1)
9、证明 取 AD 的中点 G，连接 PG， BG，平面 PAD平面 ABCD， PG AD，平面 PAD平面 ABCD AD， PG平面 PAD， PG平面 ABCD， AE PG.又tan DAEtan ABG， AE BG.又 PG BG G， PG， BG平面 PBG， AE平面 PBG， AE PB.(2)解 作 FH AB 交 PA 于点 H，连接 DH， EF平面 PAD，平面 FHDE平面 PAD DH，6 EF DH.四边形 FHDE 为平行四边形 HF DE AB，14即 H 为 PA 的一个四等分点又 AB AD，平面 ABCD平面 PAD，平面 ABCD平面 PAD AD，
10、 AB平面 ABCD， AB平面 PAD，作 DK PA 于点 K， AB DK， DK PA， PA AB A， PA， AB平面 PAB， DK平面 PAB， DHK 为所求线面角，sin DHK .DKDH 3132 239136在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 AA1B1B 是边长为 2 的正方形，点 C 在平面 AA1B1B 上的射影 H 恰好为 A1B 的中点，且 CH ，设 D 为 CC1的中点3(1)求证： CC1平面 A1B1D；(2)求 DH 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值方法一 (几何法)(1)证明 因为 CC1 AA1且在正方形 AA1B1B 中 AA1 A
11、1B1，所以 CC1 A1B1，取 A1B1的中点 E，连接 DE， HE，则 HE BB1 CC1且 HE BB1 CC1.12 12又 D 为 CC1的中点，所以 HE CD 且 HE CD，所以四边形 HEDC 为平行四边形，因此 CH DE，又 CH平面 AA1B1B，所以 CH HE， DE HE，所以 DE CC1，7又 A1B1 DE E， A1B1， DE平面 A1B1D，所以 CC1平面 A1B1D.(2)解 取 AA1的中点 F，连接 CF，作 HK CF 于点 K，因为 CH DE， FH A1B1， CH FH H， DE A1B1 E，所以平面 CFH平面 A1B1D
12、，由(1)得 CC1平面 A1B1D，所以 CC1平面 CFH，又 HK平面 CFH，所以 HK CC1，又 HK CF， CF CC1 C， CF， CC1平面 AA1C1C，所以 HK平面 AA1C1C，所以 DH 与平面 AA1C1C 所成的角为 HDK.在 Rt CFH 中， CF 2， KH ，3 132在 Rt DHK 中，由于 DH2，sin HDK ，KHDH 34故 DH 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为 .34方法二 (向量法)(1)证明 如图，以 H 为原点，建立空间直角坐标系，则 C(0,0， )， C1( ， ， )， A1( ，0,0)，3 2 2 3 2B1
13、(0， ，0)， D ，2 (22， 22， 3)所以 ( ， ，0)， ，CC1 2 2 A1D ( 22， 22， 3)8 .B1D (22， 22， 3)所以 0， 0，CC1 A1D CC1 B1D 因此 CC1平面 A1B1D.(2)解 设平面 AA1C1C 的法向量为 n(1， x， y)，由于 ( ， ，0)， ( ，0， )，AA1 2 2 A1C 2 3则 n x0，AA1 2 2n y0，A1C 2 3得 x1， y ，63所以 n .(1， 1，63)又 ，HD (22， 22， 3)设 为 DH 与平面 AA1C1C 所成的角，所以 sin ，|HD n|HD |n|2
14、2263 34故 DH 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为 .347(2018浙江省杭州市第二中学模拟)如图，在四边形 ABCD 中， AB CD， ABD30，AB2 CD2 AD2， DE平面 ABCD， EF BD，且 BD2 EF.(1)求证：平面 ADE平面 BDEF；(2)若二面角 C BF D 的大小为 60，求 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值(1)证明 在 ABD 中， ABD30，由 AD2 AB2 BD22 ABBDcos30，解得 BD ，3所以 AD2 BD2 AB2，根据勾股定理得 ADB90， AD BD.9又因为 DE平面 ABCD， AD平面 ABC
15、D，所以 AD DE.又因为 BD DE D， BD， DE平面 BDEF，所以 AD平面 BDEF，又 AD平面 ADE，所以平面 ADE平面 BDEF，(2)解 方法一 如图，由(1)可得 ADB90， ABD30，则 BDC30，则 BCD 为锐角为 30的等腰三角形CD CB1, 则 CG .12过点 C 作 CH DA，交 DB， AB 于点 G， H，则点 G 为点 F 在平面 ABCD 上的投影连接 FG，则 CG BD， DE平面 ABCD，则 CG平面 BDEF.过点 G 作 GI BF 于点 I，连接 HI， CI，则 BF平面 GCI，即 GIC 为二面角 C BF D
16、的平面角，则 GIC60.则 tan60 ， CG ，则 GI .CGGI 12 123在直角梯形 BDEF 中， G 为 BD 的中点， BD ， GI BF， GI ，3123设 DE x，则 GF x，S BGF BGGF BFGI，12 12则 DE .tan FCG ，68 FGGC 64则 sin FCG ，即 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 .3311 3311方法二 由题意可知 DA， DB， DE 两两垂直，以 D 为坐标原点， DA， DB， DE 所在直线为 x 轴，y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz.10设 DE h，则 D(0,0,0
17、)， B(0， ，0)， C ， F .3 (12， 32， 0) (0， 32， h) ， ，BC ( 12， 32， 0) BF (0， 32， h)设平面 BCF 的法向量为 m( x， y， z)，则Error!所以Error! 取 x ，3所以 m ，(3， 1， 32h)取平面 BDEF 的法向量为 n(1,0,0)，由|cos m， n| cos60，|mn|m|n|解得 h ，则 DE ，68 68又 ，CF (12， 0， 68)则| | ，CF 228设 CF 与平面 ABCD 所成的角为 ，则 sin .|CF DE |CF |DE | 3311故直线 CF 与平面 AB
18、CD 所成角的正弦值为 .33118.如图，在四棱锥 P ABCD，底面 ABCD 为梯形， AD BC， AB BC CD1， DA2， DP平面 ABP， O， M 分别是 AD， PB 的中点(1)求证： PD平面 OCM；(2)若 AP 与平面 PBD 所成的角为 60，求线段 PB 的长(1)证明 连接 OB，设 BD 与 OC 的交点为 N，连接 MN.11因为 O 为 AD 的中点， AD2，所以 OA OD1 BC.又因为 AD BC，所以四边形 OBCD 为平行四边形，所以 N 为 BD 的中点，又因为 M 为 PB 的中点，所以 MN PD.又因为 MN平面 OCM， PD
19、平面 OCM，所以 PD平面 OCM.(2)解 由四边形 OBCD 为平行四边形，知 OB CD1，所以 AOB 为等边三角形，所以 BAD60所以 BD ，1 4 21212 3即 AB2 BD2 AD2，即 AB BD.因为 DP平面 ABP，所以 AB PD.又因为 BD PD D， BD， PD平面 BDP，所以 AB平面 BDP，所以 APB 为 AP 与平面 PBD 所成的角，即 APB60，所以在 Rt ABP 中，可得 PB .33例 (15 分)如图，已知在矩形 ABCD 中， AB4， AD3，现将 DAC 沿着对角线 AC 向上翻折到 PAC 的位置，此时 PA PB.1
20、2(1)求证：平面 PAB平面 ABC；(2)求直线 AB 与平面 PAC 所成角的正弦值审题路线图(1) 分 析 翻 折 前 后 的 图 形 关 系 PA PB， PA PC PA 平 面 PBC PA BC BC AB BC 平 面 PAB 平 面 PAB 平 面 ABC(2)方法一 (作角) 作 BD PC于 D， 连 接 AD 证 明 BAD为 直 线 AB与 平 面 PAC所 成 的 角在 ADB中 计 算 sin BAD方法二 (向量法) 利 用 1中 垂 直 关 系 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 写 出 点 的 坐 标 求 平 面 PAC的 法 向 量 求 向 量 的 夹
21、角 线 面 角规范解答评分标准(1)证明 因为 PA PB， PA PC， PB PC P，所以 PA平面 PBC，2 分所以 PA BC，又 BC AB， AB AP A，所以 BC平面 PAB，4 分又 BC平面 ABC，所以平面 PAB平面 ABC.6 分(2)解 方法一 如图，作 BD PC 于点 D，连接 AD，由(1)知， PA平面 PBC，所以 PA BD，而 BD PC， PA PC P， PA， PC平面 PAC，所以 BD平面 PAC，所以 BAD 为直线 AB 与平面 PAC 所成的角9 分在 Rt PBC 中， BC3， PC4， PB ，7所以 BD ，又 AB4，3
22、7413在 Rt ADB 中，sin BAD ，13 分BDAB 3716所以直线 AB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 .15 分3716方法二 由(1)知平面 PAB平面 ABC，所以在平面 PAB 内，过点 P 作 PE AB 于点 E，则 PE平面 ABC，如图，以 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系( z 轴与直线 PE 平行)，在 Rt PBC 中， BC3， PC4， PB ，7在 Rt APB 中， AP3， AB4， PE ， BE ，374 74可知 A(0，4,0)， B(0,0,0)， C(3,0,0)，P ， (3,4,0) ， ，10 分(0， 74， 374)
23、AC AP (0， 94， 374)则易得平面 PAC 的一个法向量为 m ，12 分(4， 3， 97)(0,4,0)，所以 cos ， m ，AB AB AB m|AB |m| 3716故直线 AB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 .15 分3716构建答题模板方法一第一步 找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直第二步 作角：利用定义结合垂直关系作出所求角第三步 计算：将所求角放在某三角形中，计算方法二第一步 找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直，同时为建系作准备第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特殊点的坐标第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量第
24、四步 求夹角：计算向量的夹角，得到所求的线面角或二面角141在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，AB CD， ABC BCD90， BC CD 2.AB2(1)证明： BD PA；(2)若 PAD 为正三角形，求直线 PA 与平面 PBD 所成角的余弦值(1)证明 在直角梯形 ABCD 中，因为AD 2 ， BD 2 ， AB4，4 22 22 2 22 22 2所以 AD2 BD2 AB2，所以 BD AD.又侧面 PAD底面 ABCD，侧面 PAD底面 ABCD AD， BD底面 ABCD，所以 BD平面 PAD，又 PA平面 PAD，所以 BD
25、 PA.(2)解 方法一 如图，取 PD 的中点 M，连接 AM， BM.因为 PAD 为正三角形，所以 AM PD.又由(1)知， BD平面 PAD，所以平面 PBD平面 PAD，又平面 PAD平面 PBD PD， AM平面 PAD，所以 AM平面 PBD，故 APM 即为直线 PA 与平面 PBD 所成的角故 cos APM ，12即直线 PA 与平面 PBD 所成角的余弦值为 .12方法二 在平面 PAD 内，过点 P 作 PQ AD，垂足为 Q，取 AB 的中点 N，连接 QN，易知，15PQ， AQ， QN 两两垂直以 Q 为坐标原点， QA， QN， QP 所在直线分别为 x， y
26、， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则 P(0,0， )， A( ，0,0)，6 2B( ，2 ，0)， D( ， 0,0)2 2 2设 n( x， y， z)为平面 PBD 的法向量由 n 0， n 0，且 (0,2 ，0)，DB PD DB 2( ，0， )，PD 2 6得Error!取 z1，则 n( ，0，1)，3又 ( ，0， )，PA 2 6所以 cos n， ，PA 23 6 182 32因此直线 PA 与平面 PBD 所成角的余弦值为 .122设平面 ABCD平面 ABEF， AB CD， AB EF， BAF ABC90，BC CD AF EF1， AB2.(1)证明： C
27、E平面 ADF；(2)求直线 DF 与平面 BDE 所成角的正弦值(1)证明 AB CD, AB EF， CD EF.又 CD EF，四边形 CDFE 是平行四边形 CE DF，又 CE平面 ADF， DF平面 ADF， CE平面 ADF.16(2)解 取 AB 的中点 G，连接 CG 交 BD 于点 O，连接 EO， EG. CD EF， DF 与平面 BDE 所成的角等于 CE 与平面 BDE 所成的角 AB AF，平面 ABCD平面 ABEF， AF平面 ABCD.又 EG AF， EG平面 ABCD， EG BD.连接 DG，在正方形 BCDG 中， BD CG，故 BD平面 ECG.
28、平面 BDE平面 ECG.在平面 CEO 中，作 CH EO，交直线 EO 的延长线于点 H，得 CH平面 BDE. CEH 是 CE 与平面 BDE 所成的角过点 G 作 GQ EO. OC OG， CH GQ .33 CE ，3sin CEH .CHCE 133(2018宁波模拟)如图，在四棱锥 P ABCD 中， PAD 为正三角形，四边形 ABCD 为直角梯形， CD AB， BC AB，平面 PAD平面 ABCD，点 E， F 分别为 AD， CP 的中点，AD AB2 CD2.(1)证明：直线 EF平面 PAB；(2)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值(1)证明 设 BC
29、 的中点为 M，连接 EM， FM，易知 EM AB， FM PB，17因为 EM AB， EM平面 PAB， AB平面 PAB，所以 EM平面 PAB.同理 FM平面 PAB.又 EM FM M， EM平面 FEM， FM平面 FEM，所以平面 FEM平面 PAB，又 EF平面 FEM，所以直线 EF平面 PAB.(2)解 连接 PE， PM，因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，且 PE AD， PE平面 PAD，所以 PE平面 ABCD， PE BC.又因为 EM BC， PE EM E，所以 BC平面 PEM，所以平面 PBC平面 PEM.过点 E 作 EH
30、 PM 于点 H，连接 FH，由平面 PBC平面 PEM 可知， EH平面 PBC.所以直线 EF 与平面 PBC 所成的角为 EFH.易求得 EF PC ， EH ，12 62 377所以 sin EFH .EHEF37762 4274如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 折起至 A DE的位置，使得平面 A DE平面 BCDE， F 为线段 A C 的中点(1)求证： BF平面 A DE；(2)求直线 A B 与平面 A DE 所成角的正切值18(1)证明 取 A D 的中点 M，连接 FM， EM， F 为 A C 的中点， FM
31、CD 且 FM CD，12又 E 为 AB 的中点，且 AB CD，且 AB CD， BE CD 且 BE CD，12 BE FM 且 BE FM，四边形 BFME 为平行四边形 BF EM，又 EM平面 A DE， BF平面 A DE， BF平面 A DE.(2)解 在平面 BCDE 内作 BN DE，交 DE 的延长线于点 N，平面 A DE平面 BCDE，平面 A DE平面 BCDE DE， BN平面 BCDE， BN平面 A DE，连接 A N，则 BA N 为 A B 与平面 A DE 所成的角易知 BNE DAE， ，又 BE1，ENBN AEAD 12 BN ， EN .255 55在 A DE 中，作 A P DE，垂足为 P， A E1， A D2， A P ， EP .255 55在 Rt A PN 中， PN PE EN ， A P ，255 255 A N .2105在 Rt A BN 中，tan BA N ，BNA N 22直线 A B 与平面 A DE 所成角的正切值为 .22
