2018-2019学年高中数学 第二讲 参数方程课件（打包6套）新人教A版选修4-4.zip

第 1课时 参数方程的概念及圆的参数方程第二讲 一 曲线的参数方程学习目标1.理解曲线参数方程的有关概念 .2.掌握圆的参数方程 .3.能够根据圆的参数方程解决最值问题 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标 (x， y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？知识点一 参数方程的概念答案 可以引入参数，作为 x， y联系的桥梁 .梳理 参数方程的概念(1)参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x， y都是某个变数t(θ， φ， …) 的函数 ① 并且对于 t的每一个允许值，由方程组 ① 所确定的点 M(x， y) ，那么方程 ① 就叫做这条曲线的 ， t叫做 ，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫 .都在这条曲线上 参数方程参数普通方程(2)参数的意义是联系变数 x， y的桥梁，可以是有 意义或 意义的变数，也可以是 的变数 .特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化 .参数 物理 几何没有明显实际意义知识点二 圆的参数方程答案 P(cos θ， sin θ)， 由任意角的三角函数的定义即 x＝ cos θ， y＝ sin θ.思考 如图，角 θ的终边与单位圆交于一点 P， P的坐标如何表示？梳理 圆的参数方程圆心和半径 圆的普通方程 圆的参数方程圆心 O(0,0)，半径 r x2＋ y2＝ r2 ___________(θ为参数 )圆心 C(a， b)，半径 r (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2 _____________(θ为参数 )题型探究例 1 已知曲线 C的参数方程是 (t为参数 ).类型一 参数方程及应用解答解 把点 M1的坐标 (0,1)代入方程组，∴ 点 M1在曲线 C上 .同理可知，点 M2不在曲线 C上 .(1)判断点 M1(0,1)， M2(5,4)与曲线 C的位置关系；(2)已知点 M3(6， a)在曲线 C上，求 a的值 .解 ∵ 点 M3(6， a)在曲线 C上，解答∴a ＝ 9.反思与感悟 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的 .解答跟踪训练 1 在平面直角坐标系中，已知曲线 C的参数方程是(θ为参数 ).(1)求曲线 C上的点 Q(－ ，－ 3)对应的参数 θ的值；解答(2)若点 P(m，－ 1)在曲线 C上，求 m的值 .解 把点 P的坐标 (m，－ 1)代入参数方程，例 2 如图， △ ABP是等腰直角三角形， ∠ B是直角，腰长为 a，顶点 B，A分别在 x轴、 y轴上滑动，求点 P在第一象限的轨迹的参数方程 .类型二 求曲线的参数方程解答解 方法一 设点 P(x， y)，过 P点作 x轴的垂线交 x轴于点 Q.如图所示，则 Rt△ OAB≌Rt△ QBP.取 OB＝ t， t为参数 (0ta).又 ∵ |PQ|＝ |OB|＝ t，方法二 设点 P(x， y)，过点 P作 x轴的垂线交 x轴于点 Q，如图所示 .在 Rt△ QBP中， |BQ|＝ acos θ， |PQ|＝ asin θ.反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设 M(x， y)是轨迹上任意一点的坐标 .(2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点① 曲线上每一点的坐标 x， y与参数的关系比较明显，容易列出方程；② x， y的值可以由参数惟一确定 .(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略 .跟踪训练 2 长为 3的线段两端点 A， B分别在 x轴正半轴和 y轴正半轴上滑动， ＝ 3 ，点 P的轨迹为曲线 C.(1)以直线 AB的倾斜角 α为参数，求曲线 C的参数方程；解答解 设 P(x， y)，由题意，得(2)求点 P到点 D(0，－ 2)距离的最大值 .解答解 由 (1)得 |PD|2＝ (－ 2cos α)2＋ (sin α＋ 2)2＝ 4cos2α＋ sin2α＋ 4sin α＋ 4＝－ 3sin2α＋ 4sin α＋ 8例 3 如图，圆 O的半径为 2， P是圆 O上的动点， Q(4,0)在 x轴上 .M是 PQ的中点，当点 P绕O作匀速圆周运动时，(1)求点 M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形；类型三 圆的参数方程及应用解答解 设点 M(x， y)，令 ∠ xOP＝ θ，∴ 点 P的坐标为 (2cos θ ， 2sin θ). 又 Q(4,0)，由参数方程知，点 M的轨迹是以 (2,0)为圆心， 1为半径的圆 .解答(2)若 (x， y)是 M轨迹上的点，求 x＋ 2y的取值范围 .∵ － 1≤sin( θ ＋ φ)≤1 ，反思与感悟 (1)圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数 .(2)运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题 .跟踪训练 3 已知实数 x， y满足 (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 9，求 x2＋ y2的最大值和最小值 .解答解 由已知，可把点 (x， y)视为圆 (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 9上的点，则 x2＋ y2＝ (1＋ 3cos θ)2＋ (1＋ 3sin θ)2达标检测答案1 2 3 4 5√1 2 3 4 5 答案√第 2课时 参数方程和普通方程的互化第二讲 一 曲线的参数方程学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义 .2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法 .3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？知识点 参数方程和普通方程的互化答案 用普通方程比较方便 .思考 2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？答案 关键是消参数 .梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化① 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 .一般地，可以通过 而从参数方程得到普通方程；② 如果知道变数 x， y中的一个与参数 t的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 ，那么 就是曲线的参数方程 .消去参数x＝ f(t)y＝ g(t)(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法① 代入法：利用解方程的技巧求出参数 t，然后代入消去参数；② 三角函数法：利用三角恒等式消去参数；③ 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去 .特别提醒：化参数方程为普通方程 F(x， y)＝ 0，在消参过程中注意变量x， y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定 f(t)和 g(t)的值域得 x， y的取值范围 .题型探究例 1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状 .类型一 参数方程化为普通方程解答得 y＝－ 2x＋ 3(x≥1)，这是以 (1,1)为端点的一条射线 .解答解答所以所求的方程为 x＋ y＝ 1(x≠－ 1， y≠2).方程表示直线 (去掉一点 (－ 1,2)).所以 x＋ y＝ 1(x≠－ 1， y≠2).方程表示直线 (去掉一点 (－ 1,2)).反思与感悟 消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数 .(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法 .(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式 sin2θ＋ cos2θ＝ 1消去参数 θ.解答跟踪训练 1 将下列参数方程化为普通方程：∴ x≥2 或 x≤ － 2，∴ 普通方程为 x2＝ y＋ 2(x≥2 或 x≤ － 2).解答两式平方相加得 (x－ 2)2＋ y2＝ 9，即普通方程为 (x－ 2)2＋ y2＝ 9.例 2 已知圆 C的方程为 x2＋ y2－ 2x＝ 0，根据下列条件，求圆 C的参数方程 .(1)以过原点的直线的倾斜角 θ为参数；类型二 普通方程化为参数方程解答解 过原点且倾斜角为 θ的直线方程为 y＝ xtan θ，当 x＝ 0时， y＝ 0，当 x＝ 2cos2θ时， y＝ xtan θ＝ 2cos θ·sin θ＝ sin 2θ.(2)设 x＝ 2m， m为参数 .解答解 把 x＝ 2m代入圆 C的普通方程，得 4m2＋ y2－ 4m＝ 0，反思与感悟 (1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价 .(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的 .跟踪训练 2 已知曲线的普通方程为 4x2＋ y2＝ 16.(1)若令 y＝ 4sin θ(θ为参数 )，如何求曲线的参数方程？解答解 把 y＝ 4sin θ代入方程，得到 4x2＋ 16sin2θ＝ 16，于是 4x2＝ 16－ 16sin2θ＝ 16cos2θ，∴ x＝ ±2cos θ(由 θ的任意性可取 x＝ 2cos θ).(2)若令 y＝ t(t为参数 )，如何求曲线的参数方程？若令 x＝ 2t(t为参数 )，如何求曲线的参数方程？解答解 将 y＝ t代入普通方程 4x2＋ y2＝ 16，得 4x2＋ t2＝ 16，因此，椭圆 4x2＋ y2＝ 16的参数方程是同理将 x＝ 2t代入普通方程 4x2＋ y2＝ 16，例 3 已知 x， y满足圆 C： x2＋ (y－ 1)2＝ 1的方程，直线 l的参数方程为(t为参数 ).(1)求 3x＋ 4y的最大值和最小值；类型三 参数方程与普通方程互化的应用∴ 3x＋ 4y的最大值为 9，最小值为－ 1. 解答解答(2)若 P(x， y)是圆 C上的点，求 P到直线 l的最小距离，并求此时点 P的坐标 .反思与感悟 (1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程 .(2)解决与圆有关的最大值，最小值问题时，通常用圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值，最小值问题 .跟踪训练 3 在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的方程为 x－ y＋ 4＝ 0.以原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为 ρ2－ 4 ρcos ＋ 6＝ 0.(1)求直线 l的极坐标方程，曲线 C的直角坐标方程；解答解 直线 l的方程为 x－ y＋ 4＝ 0，因为 x＝ ρcos θ， y＝ ρsin θ，所以 l的极坐标方程为 ρcos θ－ ρsin θ＋ 4＝ 0.所以 ρ2－ 4ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 6＝ 0，因为 ρ2＝ x2＋ y2， x＝ ρcos θ， y＝ ρsin θ，所以曲线 C的直角坐标方程为 (x－ 2)2＋ (y－ 2)2＝ 2.三 直线的参数方程第 二 讲 参数方程学习目标1.理解并掌握直线的参数方程 .2.能够利用直线的参数方程解决有关问题 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 直线的参数方程答案 y－ y0＝ tan α(x－ x0).思考 1 如图 ，直线 l过定点 M0(x0， y0)且倾斜角为 α ， 那么直线的点斜式方程是什么？思考 2 在思考 1中，若令 x－ x0＝ tcos α(t为参数 )，那么直线 l的参数方程是什么？梳理 (1)直线的参数方程① 过点 M0(x0， y0)，倾斜角为 α的直线 l的参数方程 为 (t为参数 )；② 由 α为直线的倾斜角知，当 00.(2)直线参数方程中参数 t的几何意义参数 t的绝对值表示 t对应的点 M到 M0的距离 .① 当 与 e(直线的单位方向向量 )同向时， t取 ；② 当 与 e反向时， t取 ， 当 M与 M0重合时， t＝ .(3)重要公式：设 A， B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA， tB，则 |AB|＝ |tB－ tA|＝ .正数负数 0题型探究|t|表示 t对应的点 M(x， y)到 M0的距离 .例 1 (1)化直线 l1的普通方程 x＋ y－ 1＝ 0为参数方程，并说明 |t|的几何意义；类型一 直线的参数方程与普通方程的互化解答解 直线 l1与 x轴交于点 M0(1,0)，解答① 代入 ② 消去参数 t，又 ∵①② 两式平方相加，得 (x＋ 3)2＋ (y－ 1)2＝ 4t2，反思与感悟 (1)一条直线可以由定点 M0(x0， y0)，倾斜角 α(0≤ απ)惟一确定，直线上动点 M(x， y)的参数方程 为 (t为参数 )，这是 直线参数方程的标准形式，特别地，当 α＝ 时 ，直线的参数方程 为(t为参数 ).(2)直线参数方程的形式不同，参数 t的几何意义也不同，过定点 M0(x0，y0)，斜率 为 的 直线的参数方程 是 (a， b为常数， t为参数 ).(1)分别求 t＝ 0,2，－ 2时对应的点 M(x， y)；解答(2)求直线 l的倾斜角；解答(3)求直线 l上的点 M(－ 3 ， 0)对应的参数 t，并说明 t的几何意义 .解答解 由 (2)可知直线 l的单位向量命题角度 1 求弦长 |AB|问题例 2 已知抛物线 y2＝ 8x的焦点为 F，过 F且斜率为 2的直线交抛物线于 A， B两点 .(1)求 |AB|；类型二 直线参数方程的应用解答解 抛物线 y2＝ 8x的焦点为 F(2,0)，设 A， B对应的参数值为 t1， t2，(2)求 AB的中点 M的坐标及 |FM|.解答解答跟踪训练 2 直线 l过点 P0(－ 4,0)，倾斜角 α＝ ， l与圆 x2＋ y2＝ 7相交于 A，B两点 .(1)求弦长 |AB|；设 A， B对应的参数分别为 t1， t2，(2)求 A， B两点坐标 .解答命题角度 2 求积 |M0A|·|M0B|问题例 3 过点 P 作 倾斜角为 α的直线与曲线 x2＋ 12y2＝ 1交于点 M， N，求 |PM|·|PN|的最小值及相应的 α值 .解答代入曲线 x2＋ 12y2＝ 1，反思与感悟 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，当求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，根据直线参数方程中参数的几何意义解题更为方便 .跟踪训练 3 已知直线 l经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝ ，(1)写出直线 l的参数方程；解答二 圆锥曲线的参数方程第二讲 参数方程学习目标1.掌握椭圆的参数方程及应用 .2.了解双曲线、抛物线的参数方程 .3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 椭圆的参数方程答案 是点 (rcos θ， rsin θ)绕点 O逆时针旋转的旋转角 .思考 1 圆 x2＋ y2＝ r2的参数方程 的参数 θ的几何意义是什么？(2)φ是点 M(acos φ， bsin φ)的 .梳理 (1)椭圆的参数方程离心角普通方程 参数方程(ab0) (φ为参数 )知识点二 双曲线的参数方程双曲线的参数方程普通方程 参数方程(a0， b0) (φ为参数 )知识点三 抛物线的参数方程1.抛物线的参数方程普通方程 参数方程y2＝ 2px (α为参数 )y2＝ 2px (t为参数 )2.参数的几何意义(1)α表示 OM的倾斜角 .题型探究命题角度 1 利用参数方程求最值类型一 椭圆的参数方程解答反思与感悟 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大 (小 )值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解 .跟踪训练 1 已知曲线 C1的参数方程是 (φ为参数 )，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 ρ＝ 2，正方形 ABCD的顶点都在 C2上，且 A， B， C， D依逆时针次序排序，点 A的极坐标为 .(1)求点 A， B， C， D的直角坐标；解答解 由曲线 C2的极坐标方程 ρ＝ 2可知，曲线 C2是圆心在极点，半径为 2的圆，(2)求曲线 C1的普通方程，判断曲线形状；解答所以曲线是焦点在 y轴上的椭圆 .(3)设点 P为 C1上任意一点，求 |PA|2＋ |PB|2＋ |PC|2＋ |PD|2的取值范围 .解答得 P(2cos φ， 3sin φ)，则 |PA|2＋ |PB|2＋ |PC|2＋ |PD|2＝ 16cos2φ＋ 36sin2φ＋ 16＝ 32＋ 20sin2φ，因为 32≤32＋ 20sin2φ≤52，所以 |PA|2＋ |PB|2＋ |PC|2＋ |PD|2的取值范围是 [32,52].命题角度 2 利用参数方程求轨迹方程解答解 由题意知 A(6,0)， B(0,3).由于动点 C在椭圆上运动，故可设动点 C的坐标为 (6cos θ， 3sin θ)，点 G的坐标设为 (x， y)，由三角形重心的坐标公式，可得反思与感悟 本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便 .解答解 由题意知 B(0,9)，设 A(12cos α， 6sin α)， M(x， y)，例 3 已知等轴双曲线 C的实轴长为 2，焦点在 x轴上 .(1)求双曲线的普通方程和参数方程；类型二 双曲线的参数方程解答解 设等轴双曲线 C的普通方程为 x2－ y2＝ a2(a0)，依题意，得 2a＝ 2，所以 a＝ 1，(2)已知点 P(0,1)，点 Q在双曲线 C上，求 |PQ|的最小值 .解答解 因为点 P(0,1)， Q在双曲线 C上，设 Q(sec φ， tan φ)，反思与感悟 双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为 sin2φ＋ cos2φ＝ 1⇒ 1＋ tan2φ＝ ＝ sec2φ⇒ sec2φ－ tan2φ＝ 1.跟踪训练 3 设 P为等轴双曲线 x2－ y2＝ 1上的一点， F1和 F2为两个焦点，证明： |F1P|·|F2P|＝ |OP|2.证明则 (|F1P|·|F2P|)2又 |OP|2＝ sec2θ＋ tan2θ＝ 2sec2θ－ 1，由此得 |F1P|·|F2P|＝ |OP|2.四 渐开线与摆线第二讲 参数方程学习目标1.了解圆的渐开线的参数方程 .2.了解摆线的生成过程及它的参数方程 .3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 .问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 渐开线答案 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心 O为原点，直线 OA为 x轴，建立平面直角坐标系，如图所示 .思考 把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状 .若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数 .设基圆的半径为 r，绳子外端 M的坐标为 (x， y).显然，点 M由角 φ惟一确定 .梳理 圆的渐开线及其参数方程(1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的 叫做渐开线的基圆 .(2)参数方程设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程是_______________________________.定圆知识点二 摆线答案 摆线 .思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？梳理 摆线及其参数方程(1)定义当一个圆沿着一条定直线 滚动时，圆周上的 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做 .(2)参数方程设圆的半径为 r，圆滚动的角为 φ，那么摆线的参数方程是__________________________无滑动地 一个定点旋轮线题型探究例 1 求半径为 4的圆的渐开线的参数方程 .类型一 圆的渐开线解答设渐开线上的任意点 M(x， y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥ AM，则 |AM|＝ ＝ 4θ.作 AB垂直于 x轴，过 M点作 AB的垂线，由三角函数和向量知识，＝ (4(cos θ＋ θsin θ)， 4(sin θ－ θcos θ)).反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母 r表示基圆的半径，字母 φ是指绳子外端运动时绳子上的定点 M相对于圆心的张角 .跟踪训练 1 已知圆的渐开线方程为 (φ为参数 )，则该基圆半径为 ___，当圆心角 φ＝ π时，曲线上点 A的直角坐标为 ________.答案解析类型二 平摆线答案解析圆的方程为 x2＋ y2＝ 9，∴ 圆的圆心为 (0,0)，半径 r＝ 3，反思与感悟 (1)摆线的参数方程摆线的参数方程为 (φ为参数 )，其中 r：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点 M绕圆心作圆周运动转过的角度 ∠ ABM.(2)将参数 φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离 .跟踪训练 2 已知一个圆的摆线的参数方程是 (φ为参数 )，则该摆线一个拱的高度是 ___；一个拱的跨度为 ____.6 6π解析 当 φ＝ π时， y＝ 3－ 3cos π＝ 6为拱高；当 φ＝ 2π时， x＝ 3×2π－ 3sin 2π＝ 6π为跨度 .答案解析达标检测答案1.圆 (θ为参数 )的平摆线上一点的纵坐标为 0，那么其横坐标可能是A.π B.3πC.6π D.10π1 2 3 4√2.当 φ＝ 2π时，圆的渐开线 (φ为参数 )上的点是A.(6,0) B.(6,6π)C.(6，－ 12π) D.(－ π， 12π)答案1 2 3 4√答案解析3.如图所示，四边形 ABCD是边长为 1的正方形，曲线AEFGH… 叫做 “正方形的渐开线 ”，其中 AE， EF， FG，GH… 的圆心依次按 B， C， D， A循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH的长是A.3π B.4πC.5π D.6π1 2 3 4√所以曲线 AEFGH的长是 5π.1 2 3 44.已知一个圆的摆线方程是 (φ为参数 )，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程 .1 2 3 4 解答解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为 4，所以面积为 16π，1.圆的渐开线的参数方程中，字母 r表示基圆的半径，字母 φ是指绳子外端运动时绳子上的定点 M相对于圆心的张角 .2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程 .3.由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示 .规律与方法本课结束第二讲 参数方程复习课学习目标1.梳理知识要点，构建知识网络 .2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识 .3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题 .知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x， y都是某个变数 t的函数 ① 并且对于 t的每一个允许值，由方程组 ① 所确定的点 M(x， y)都在这条曲线上，那么方程组 ① 就叫做这条曲线的 ，联系变数 x， y的变数 t叫做参变数，简称参数 .参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数 .参数方程2.常见曲线的参数方程(1)直线过定点 M0(x0， y0)，倾斜角为 α的直线 l的参数方程的标准形式为__________________________.(2)圆① 圆 x2＋ y2＝ r2的参数方程为 ______________________；② 圆 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2的参数方程为 ________________________.(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 b2x2＋ a2y2＝ a2b2(ab0)的参数方程为 ______________________.(4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线 b2x2－ a2y2＝ a2b2(a0， b0)的参数方程为 ______________________.(5)抛物线抛物线 y2＝ 2px(p0)的参数方程为 _______________________ 或 ____________________.题型探究即 5x2＋ 4xy＋ 17y2－ 81＝ 0.类型一 参数方程化为普通方程例 1 把下列参数方程化为普通方程：解答解 关于 cos θ， sin θ的方程组解答反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x， y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑 x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定 .(2)消除参数的常用方法： ① 代入消参法； ② 三角消参法； ③ 根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段 .跟踪训练 1 判断方程 (θ是参数且 θ∈ (0， π))表示的曲线的形状 .解答类型二 参数方程的应用命题角度 1 直线参数方程的应用例 2 已知点 P(3,2)平分抛物线 y2＝ 4x的一条弦 AB，求弦 AB的长 .解答代入方程 y2＝ 4x整理，得 t2sin2α＋ 4(sin α－ cos α)t－ 8＝ 0. ①∵ 点 P(3,2)是弦 AB的中点，由参数 t的几何意义可知，方程 ① 的两个实根 t1， t2满足关系 t1＋ t2＝ 0.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题(1)直线的参数方程应为标准形式 .(2)要注意直线倾斜角的取值范围 .(3)设直线上两点对应的参数分别为 t1， t2.(4)套公式 |t1－ t2|求弦长 .跟踪训练 2 直线 l过点 P0(－ 4,0)，它的参数方程为 (t为参数 )，直线 l与圆 x2＋ y2＝ 7相交于 A， B两点 .(1)求弦长 |AB|；解答解 将直线 l的参数方程代入圆的方程，设 A和 B两点对应的参数分别为 t1和 t2，由根与系数的关系，(2)过 P0作圆的切线，求切线长 .解答解 设圆过 P0的切线为 P0T， T在圆上，则 |P0T|2＝ |P0A|·|P0B|＝ |t1t2|＝ 9，∴ 切线长 |P0T|＝ 3.命题角度 2 曲线参数方程的应用例 3 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 (α为参数 )，在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 ρsin ＝ 2 .(1)求曲线 C与直线 l在该直角坐标系下的普通方程；解答可得 (x－ 2)2＋ y2＝ 1，可得 ρ(sin θ＋ cos θ)＝ 4，即 x＋ y＝ 4.(2)动点 A在曲线 C上，动点 B在直线 l上，定点 P(－ 1,1)，求 |PB|＋ |AB|的最小值 .解答解 方法一 设 P关于直线 l的对称点为 Q(a， b)，所以 Q(3,5)，由 (1)知曲线 C为圆，圆心 C(2,0)，半径 r＝ 1，|PB|＋ |AB|＝ |QB|＋ |AB|≥|QC|－ 1.仅当 Q， B， A， C四点共线时，且 A在 B， C之间时等号成立，反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决 .(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等 .直线 l的普通方程为 2x＋ y－ 6＝ 0.解答(1)写出曲线 C的参数方程，直线 l的普通方程；解答(2)过曲线 C上任意一点 P作与 l夹角为 30°的直线，交 l于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 .类型三 极坐标与参数方程解答例 4 在直角坐标系 xOy中，圆 C的方程为 (x＋ 6)2＋ y2＝ 25.(1)以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C的极坐标方程；解 由 x＝ ρcos θ， y＝ ρsin θ，可得圆 C的极坐标方程为 ρ2＋ 12ρcos θ＋ 11＝ 0.解答解 方法一 在 (1)中建立的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 θ＝ α(ρ∈ R).设 A， B所对应的极径分别为 ρ1， ρ2，将 l的极坐标方程代入 C的极坐标方程，得 ρ2＋ 12ρcos α＋ 11＝ 0.于是 ρ1＋ ρ2＝－ 12cos α， ρ1ρ2＝ 11.得 t2＋ (12cos α)t＋ 11＝ 0，设 A， B对应的参数为 t1， t2，所以 t1＋ t2＝－ 12cos α， t1t2＝ 11.