2018-2019学年高中物理 第4章 匀速圆周运动学案（打包5套）鲁科版必修2.zip

1第 1 节 匀速圆周运动快慢的描述学习目标 核心提炼1.知道什么是圆周运动，什么是匀速圆周运动。2.知道线速度的物理意义、定义式、矢量性，知道匀速圆周运动线速度的特点。3.知道角速度的物理意义、定义式及单位，了解转速和周期的意义。4.掌握线速度与角速度的关系，掌握角速度与转速、周期的关系。5 个概念——线速度、角速度、周期、频率和转速3 个关系—— v＝ω ＝ 2π rT 2πTv＝ rω一、线速度阅读教材第 66～67 页“线速度”部分，知道线速度的概念，了解线速度的方向，知道匀速圆周运动线速度大小特征。1.匀速圆周运动：在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动。2.线速度(1)定义：做匀速圆周运动的物体通过的弧长 s 与所用时间 t 的比值， v＝ 。st(2)意义：描述匀速圆周运动的快慢。(3)方向：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直。(4)线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种变速运动。思维拓展如图 1 所示为自行车的车轮， A、 B 为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题：图 1(1)在图上标出 A、 B 两点的线速度方向；2(2)沿圆弧运动 A、 B 两点哪个快？(3)如果 B 点在任意相等的时间内转过的弧长相等， B 做匀速运动吗？答案 (1)两点的线速度方向均沿各自圆周的切线方向。(2)在相同的时间内， A 运动的轨迹长， A 运动得快。(3)B 运动的速率不变，但 B 运动的方向时刻变化，故 B 做非匀速运动。二、角速度阅读教材第 67 页“角速度”部分，了解角速度的概念，知道角速度的单位。1.定义：连接物体与圆心的半径转过的角度 φ 与所用时间 t 的比值， ω ＝ 。φ t2.意义：描述物体绕圆心转动的快慢。3.单位(1)角的单位：国际单位制中，弧长与半径的比值表示角的大小，称为弧度，符号：rad。(2)角速度的单位：弧度每秒，符号是 rad/s 或 rad·s－1 。思维拓展如图 2 所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动。图 2(1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？相同时间内，谁转动的角度大？谁转动得最快？(2)请指出秒针、分针和时针的周期。答案 (1)不相同。根据角速度公式 ω ＝ 知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大，φ t时针转过的角度最小，所以秒针转得最快。(2)秒针的周期为 60 s，分针的周期为 60 min，时针的周期为 12 h。三、周期、频率和转速阅读教材第 67～68 页“周期、频率和转速”部分，了解周期、频率和转速的概念，知道它们之间的关系。周期 周期性运动每重复一次所需要的时间，符号 T，单位 s3频率 单位时间内运动重复的次数， f＝ ，单位 Hz1T转速 单位时间内的转动圈数，符号 n，单位 r/min 或 r/s思考判断(1)线速度、周期和频率都是标量。( )(2)做匀速圆周运动的物体，周期大的，频率一定小。( )(3)做匀速圆周运动的物体，角速度大的半径一定小。( )答案 (1)× (2)√ (3)×四、线速度、角速度、周期的关系阅读教材第 68 页“线速度、角速度、周期的关系”部分，知道各物理量间的关系。(1)v、 T 的关系： v＝ 。2π rT(2)ω 、 T 的关系： ω ＝ 。2πT(3)v、 ω 的关系： v＝ ωr 。(4)ω 、 n 的关系： ω ＝2π n。思维拓展月亮绕地球做圆周运动。地球绕太阳做圆周运动。如图 3 所示关于各自运动的快慢，地球和月亮的“对话”：地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动 1 s 要走 29.79 km，你绕我运动 1 s 才走 1.02 km。月亮说：不能这样说吧！你一年才绕太阳转一圈，我 27.3 天就能绕你一圈，到底谁转得慢？请问：地球说得对，还是月亮说得对？图 3答案 地球和月亮说的均是片面的，它们选择描述匀速圆周运动快慢的标准不同。严格来说地球绕太阳运动的线速度比月亮绕地球运动的线速度大，而月亮绕地球转动的角速度比地球绕太阳转动的角速度大。4描述圆周运动的物理量及其关系[要点归纳]1.描述圆周运动的各物理量之间的关系2.描述圆周运动的各物理量之间关系的理解(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由 ω ＝ ＝2π n 知，2πT角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。(2)线速度与角速度之间关系的理解：由 v＝ ωr 知， r 一定时， v∝ ω ； v 一定时，ω ∝ ； ω 一定时， v∝ r。1r[精典示例][例 1] (2018·厦门高一检测)如图 4 所示是一个玩具陀螺。 a、 b 和 c 是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度 ω 稳定旋转时，下列表述正确的是( )图 4A.a、 b 和 c 三点的线速度大小相等B.a、 b 和 c 三点的角速度相等C.a、 b 的角速度比 c 的大5D.c 的线速度比 a、 b 的大解析 三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，由 v＝ ωr 知 c 的半径最小，故它的线速度最小， a、 b 的半径相同，二者的线速度大小相等。故选 B。答案 B[针对训练 1] 关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )A.线速度大的角速度一定大B.线速度大的周期一定小C.角速度大的半径一定小D.角速度大的周期一定小解析 由 v＝ ωr 知， r 一定时， v 与 ω 成正比； v 一定时， ω 与 r 成反比，故 A、C 均错.由 v＝ 知， r 一定时， v 越大， T 越小，B 错.由 ω ＝ 可知， ω 越大， T 越小，故 D2π rT 2πT对，故选 D。答案 D几种常见的传动装置[要点归纳]同轴传动 皮带传动 齿轮传动装置A、 B 两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接，A、 B 两点分别是两个轮子边缘的点两个齿轮轮齿啮合，A、 B 两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别n1、 n2)特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同转动方向 相同 相同 相反规律线速度与半径成正比：＝vAvB rR角速度与半径成反比：＝ 。ω Aω B rR 角速度与半径成反比：6周期与半径成正比： ＝TATBRr ＝ ＝ 。ω Aω B r2r1 n2n1周期与半径成正比：＝ ＝TATB r1r2 n1n2[精典示例][例 2] 如图 5 所示的皮带传动装置，主动轮 O1上两轮的半径分别为 3r 和 r，从动轮 O2的半径为 2r， A、 B、 C 分别为转轮缘上的三点，设皮带不打滑，求：图 5(1)A、 B、 C 三点的线速度大小之比为多少？(2)A、 B、 C 三点的角速度之比为多少？思路探究(1)A、 B、 C 三点中，哪两点的角速度相等？哪两点的线速度相等？(2)角速度相等时，线速度与它们的半径的关系怎样？线速度相等时，角速度与它们的半径关系怎样？提示 (1) A、 B 两点的角速度相等， B、 C 两点的线速度相等。(2)成正比 成反比解析 (1)Error!⇒vA∶ vB∶ vC＝ 3∶ 1∶ 1(2)Error!⇒ω A∶ ω B∶ ω C＝ 2∶ 2∶ 1答案 (1)3∶1∶1 (2)2∶2∶1[针对训练 2] (2018·衡水高一检测)如图 6 所示，两个轮子的半径均为 R，两轮的转轴O1、 O2在同一水平面上，相互平行，相距为 d，两轮均以角速度 ω 逆时针方向匀速转动。将一长木板置于两轮上，当木板的重心位于右轮正上方时，木板与两轮间已不再有相对滑动。若木板的长度 L＞2 d，则木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方所需的时间是( )图 67A. B.2πω dω RC. D.dω Rω解析 木板与两轮间无相对滑动时，木板运动的速度与轮边缘的线速度相同，由题意知木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方的过程中的位移大小为 d，则有 d＝ ωRt ，得 t＝，B 正确。dω R答案 B1.(对匀速圆周运动物理量关系的理解)关于匀速圆周运动的线速度 v、角速度 ω 和半径r，下列说法正确的是( )A.若 r 一定，则 v 与 ω 成正比B.若 r 一定，则 v 与 ω 成反比C.若 ω 一定，则 v 与 r 成反比D.若 v 一定，则 ω 与 r 成正比答案 A2.(圆周运动的传动问题)如图 7 所示， A、 B 是两个摩擦传动的靠背轮， A 是主动轮， B 是从动轮，它们的半径 RA＝2 RB， a 和 b 两点在轮的边缘， c 和 d 在各轮半径的中点，下列判断正确的是( )图 7A.va＝2 vb B.ω b＝2 ω a C.vc＝ va D.ω b＝ ω c解析 由于 A、 B 两轮之间通过摩擦传动，故 A、 B 两轮边缘的线速度大小相同，故va＝ vb，故 A 错误；根据 v＝ ωR 可得 ω aRA＝ ω bRB， ω a∶ ω b＝ RB∶ RA＝1∶2，即ω b＝2 ω a，故 B 正确；又由于 a 与 c 在同一个圆上，故 ω a＝ ω c，则 ω b＝2 ω c，由v＝ ωR 得 va∶ vc＝2∶1，即 va＝2 vc，C、D 错误。答案 B83.(皮带传动问题)(2018·包头高一检测)(多选)自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点 A、 B、 C，如图 8 所示。在自行车正常骑行时，下列说法正确的是( )图 8A.A、 B 两点的线速度大小相等B.B、 C 两点的角速度大小相等C.A、 B 两点的角速度与其半径成反比D.A、 B 两点的角速度与其半径成正比解析 大齿轮与小齿轮类似于皮带传动，所以两轮边缘的点 A、 B 的线速度大小相等，A 正确；小齿轮与后轮类似于同轴传动，所以 B、 C 的角速度大小相等，B 正确； A、 B 两点的线速度大小相等，由 v＝ ωr 知 A、 B 两点的角速度与半径成反比，C 正确，D 错误。答案 ABC4.(圆周运动的多解问题)(2018·郑州高一检测)如图 9 所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为 d，飞镖距圆盘 L，且对准圆盘上边缘的 A 点水平抛出，初速度为 v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心 O 的水平轴匀速运动，角速度为 ω 。若飞镖恰好击中A 点，则下列关系正确的是( )图 9A.dv ＝ L2g20B.ωL ＝π(1＋2 n)v0(n＝0，1，2，3…)C.v0＝ ωd2D.dω 2＝ gπ 2(1＋2 n)2(n＝0，1，2，3…)解析 依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上 A 点做匀速圆周运动，恰好击中 A 点，说明A 正好在最低点被击中，则 A 点转动的时间 t＝ ，平抛的时间 t＝ ，则有（ 2n＋ 1） πω Lv09＝ ( n＝0，1，2，3，…)，B 正确，C 错误；平抛的竖直位移为 d，则Lv0 （ 2n＋ 1） πωd＝ gt2，联立有 dω 2＝ gπ 2(2n＋1) 2 ( n＝0，1，2，3 …)，A、D 错误。12 12答案 B5. (圆周运动的物理量间的关系)一个圆环以竖直直径 AB 为轴匀速转动，如图 10 所示，求环上 M、 N 两点的：图 10(1)线速度的大小之比；(2)角速度之比。解析 M、 N 是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即 ω M∶ ω N＝1∶1，两点做圆周运动的半径之比 rM∶ rN＝sin 60°∶sin 30°＝ ∶1，故3vM∶ vN＝ ω MrM∶ ω NrN＝ ∶1。3答案 (1) ∶1 (2)1∶13基础过关101.(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )A.相等的时间内通过的路程相等B.相等的时间内通过的弧长相等C.相等的时间内运动的位移相同D.相等的时间内转过的角度相等答案 ABD2.(2018·昆明高一检测)一物体做匀速圆周运动的半径为 r，线速度大小为 v，角速度为ω ，周期为 T。关于这些物理量的关系，下列说法正确的是( )A.v＝ B.v＝ω r 2πTC.ω ＝ D.v＝ ωr2π rT解析 根据圆周运动知识 v＝ rω ， ω ＝ ， v＝ ，因此 A、B、C 错误，D 正确。2πT 2π rT答案 D3.(2018·保定高一检测)如图 1 所示，两个小球 a 和 b 用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )图 1A.a 球的线速度比 b 球的线速度小B.a 球的角速度比 b 球的角速度小C.a 球的周期比 b 球的周期小D.a 球的转速比 b 球的转速大解析 两个小球一起转动，周期相同，所以它们的转速、角速度都相等，B、C、D 错误；而由 v＝ ωr 可知， b 球的线速度大于 a 球的线速度，所以 A 正确。答案 A4.如图 2 所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦转动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、 r2、 r3。若甲轮的角速度为 ω 1，则丙轮的角速度为( )11图 2A. B.r1ω 1r3 r3ω 1r1C. D.r3ω 1r2 r1ω 1r2解析 甲、丙两轮边缘的线速度大小相等，即 ω 1r1＝ ω 3r3，故丙轮的角速度ω 3＝ ω 1，A 正确。r1r3答案 A5.(多选) A、 B 两个质点，分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比sA∶ sB＝2∶3，转过的角度之比 φ A∶ φ B＝3∶2，则下列说法正确的是( )A.它们的半径之比 RA∶ RB＝2∶3B.它们的半径之比 RA∶ RB＝4∶9C.它们的周期之比 TA∶ TB＝2∶3D.它们的转速之比 nA∶ nB＝2∶3解析 A、 B 两个质点的线速度之比 vA∶ vB＝ sA∶ sB＝2∶3， ω A∶ ω B＝ φ A∶ φ B＝3∶2，则由 v＝ ωR 知半径之比 RA∶ RB＝ ∶ ＝4∶9，A 错误，B 正确；周期之比vAω A vBω BTA∶ TB＝ ω B∶ ω A＝2∶3，C 正确；转速之比 nA∶ nB＝ φ A∶ φ B＝3∶2，D 错误。答案 BC6.一汽车发动机的曲轴每分钟转 2 400 周，求：(1)曲轴转动的周期与角速度；(2)距转轴 r＝0.2 m 点的线速度。解析 (1)由于曲轴每秒钟转 ＝40(周)，周期 T＝ s；而每转一周为 2π rad，因此2 40060 140曲轴转动的角速度为ω ＝2π×40 rad/s＝80π rad/s。(2)已知 r＝0.2 m，因此这一点的线速度为v＝ ωr ＝80π×0.2 m/s＝16π m/s。答案 (1) s 80π rad/s (2)16π m/s140能力提升7. (多选)如图 3 所示，一个匀速转动的半径为 r 的水平圆盘上放着两个木块 M 和 N，木块12M 放在圆盘的边缘处，木块 N 放在离圆心 r 的地方，它们都随圆盘一起运动。比较两木块13的线速度和角速度，下列说法正确的是( )图 3A.两木块的线速度相等B.两木块的角速度相等C.M 的线速度是 N 的线速度的 3 倍D.M 的角速度是 N 的角速度的 3 倍解析 由于 M、 N 在圆盘上同轴转动，则有 ω M＝ ω N，由 v＝ ωr 知 vM∶ vN＝ rM∶ rN＝3∶1，故选项 B、C 正确。答案 BC8.(2018·济宁高一检测)甲、乙两物体均做匀速圆周运动，甲的转动半径为乙的一半，当甲转过 60°时，乙在这段时间里正好转过 45°，则甲、乙两物体的线速度之比为( )A.1∶4 B.2∶3 C.4∶9 D.9∶16解析 由题意知 r 甲 ＝ r 乙 ，由 ω ＝ 得 ＝ ＝ ，由 v＝ ωr 得 ＝ ＝ ，12 Δ θΔ t ω 甲ω 乙π 3π 4 43 v甲v乙 ω 甲 r甲ω 乙 r乙 23故选项 B 正确。答案 B9.(2018·青岛高一检测)某品牌电动自行车的铭牌如下：车型：20 寸(车轮直径：508 mm)电池规格：36 V，12 A·h(蓄电量)整车质量：40 kg 额定转速：210 r/min外形尺寸：L1 800 mm×W650 mm×H1 100 mm充电时间：2～8 h13电机：后轮驱动、直流永磁式电机额定工作电压/电流：36 V/5 A根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为( )A.15 km/h B.18 km/h C.20 km/h D.25 km/h解析 由 v＝ ＝2π rn 得 v＝2×3.14× ×10－3 × m/s＝5.583 m/s＝20 km/h。2π rT 5082 21060答案 C10.(2018·南京高一检测)(多选)图 4 甲为磁带录音机的磁带盒，可简化为图乙所示的传动模型， A、 B 为缠绕磁带的两个轮子，两轮的半径均为 r，在放音结束时，磁带全部绕到了B 轮上，磁带的外缘半径 R＝3 r，现在进行倒带，使磁带绕到 A 轮上。倒带时 A 轮是主动轮，其角速度是恒定的， B 轮是从动轮，则在倒带的过程中下列说法正确的是( )图 4 A.倒带开始时 A、 B 两轮的角速度之比为 1∶3B.倒带结束时 A、 B 两轮的角速度之比为 1∶3C.倒带过程中磁带的运动速度变大D.倒带过程中磁带的运动速度不变解析 此问题属皮带传动模型， ＝ ，倒带开始时 rA＝ rB，所以 ω A∶ ω B＝3∶ 1，ω Aω B rBrA 13选项 A 错误；倒带结束时 rA′＝3 rB′，由 ＝ ，所以 ω A′∶ ω B′＝1∶ 3，选ω A′ω B′ rB′rA′项 B 正确；根据 v＝ ωr 可知， ω 不变， r 变大，倒带过程中磁带的运动速度变大，选项 C正确，D 错误。答案 BC11.(2018·佛山高一检测)如图 5 所示，小球 A 在光滑的半径为 R 的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中 a 点时，在圆形槽中心 O 点正上方 h 处，有一小球 B 沿 Oa 方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在 a 点与 A 球相碰，求：14图 5(1)B 球抛出时的水平初速度；(2)A 球运动的线速度最小值。解析 (1)小球 B 做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则 R＝ v0t①在竖直方向上做自由落体运动，则 h＝ gt2②12由①②得 v0＝ ＝ R 。Rt g2h(2)设相碰时， A 球转了 n 圈，则 A 球的线速度 vA＝ ＝ ＝2π Rn2π RT 2π Rtn g2h当 n＝1 时，其线速度有最小值，即 vmin＝2π R 。g2h答案 (1) R (2)2π Rg2h g2h12.一半径为 R 的雨伞绕柄以角速度 ω 匀速旋转，如图 6 所示。伞边缘距地面高 h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，则此圆的半径 r 为多少？图 6解析 水滴飞出的速度大小 v＝ ωR ，水滴做平抛运动，故：竖直方向有 h＝ gt212水平方向有 l＝ vt由题意画出俯视图，如图所示。15由几何关系知，水滴形成圆的半径 r＝ R2＋ l2联立以上各式得 r＝ R 。1＋ 2ω 2hg答案 R1＋ 2ω 2hg1第 2 节 向心力与向心加速度学习目标 核心提炼1.知道什么是向心力和向心加速度。2.理解向心力的效果、来源，并会分析向心力。3.掌握向心力、向心加速度的公式并会相关的计算。2 个概念——向心力、向心加速度6 个表达式—— F＝ m F＝ mω 2r v2rF＝ m r a＝ a＝ ω 2r a＝ r4π 2T2 v2r 4π 2T2一、向心力及其方向阅读教材第 71～73 页“向心力”部分，知道向心力的概念及方向。1.定义：做圆周运动的物体，受到的始终指向圆心的效果力。2.方向：始终指向圆心，总是与运动方向垂直。3.作用效果：向心力只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心力不做功。4.来源：可能是弹力、重力、摩擦力或是它们的合力或分力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体受到的合外力，做非匀速圆周运动的物体，向心力不是物体所受到的合外力。二、向心力的大小阅读教材第 72～73 页“向心力的大小”部分，知道向心力的表达式，并会简单应用。1.实验探究控制变量 探究内容m、 r 相同，改变 ω 探究向心力 F 与角速度 ω 的关系m、 ω 相同，改变 r 探究向心力 F 与半径 r 的关系ω 、 r 相同，改变 m 探究向心力 F 与质量 m 的关系2.公式： F＝ mω 2r 或 F＝ m 。v2r思考判断(1)探究向心力大小与哪些因素有关应采用控制变量法。( )(2)做匀速圆周运动的物体线速度越大，所需向心力越大。( )(3)做匀速圆周运动的物体运动半径越大，所需向心力越大。( )2答案 (1)√ (2)× (3)×三、向心加速度阅读教材第 70 页“向心加速度”部分，知道向心加速度的概念，知道向心加速度方向的变化特点。了解向心加速度与线速度、角速度及半径的几个关系表达式。1.定义：做圆周运动的物体受到向心力的作用，存在一个由向心力产生的加速度。2.大小： a＝ 或 a＝ ω 2r。v2r3.方向：与向心力的方向一致，始终指向圆心。4.匀速圆周运动的性质：匀速圆周运动是加速度大小不变、方向不断改变的变加速运动。思维拓展(1)有人说：根据 a＝ 可知，向心加速度与半径成反比，根据 a＝ ω 2r 可知，向心加速度v2r与半径成正比，这是矛盾的。你认为呢？(2)试分析做变速圆周运动的物体，其加速度的方向是否指向圆心。答案 (1)不矛盾。说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾。(2)做变速圆周运动的物体，加速度的方向并不指向圆心。对匀速圆周运动向心力的理解与应用[要点归纳]1.向心力的特点(1)方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。(2)大小： F＝ m ＝ mrω 2＝ mωv ＝ m r。在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀v2r 4π 2T2速圆周运动中，其大小随速率 v 的变化而变化。2.向心力的作用效果：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。3.向心力的来源常见几个实例分析：实例 向心力 示意图3用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时绳子的拉力和小球的重力的合力提供向心力， F 向 ＝ F＋ G用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力， F 向 ＝ T物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力， F 向 ＝ f小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动小球的重力和细线的拉力的合力提供向心力， F 向 ＝ F 合木块随圆桶绕轴线做圆周运动圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力， F 向 ＝ N[精典示例][例 1] 关于向心力的说法正确的是( )A.物体由于做圆周运动还受到一个向心力B.向心力可以是任何性质的力C.做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定指向圆心解析 力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力，也不能说物体还受一个向心力，故 A 错误；向心力是效果力，可以是任何一种性质的力，故 B 正确；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故 C 错误；只有匀速圆周运动中，合外力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，而是合外力指向圆心的分力提供向心力，故 D错误。答案 B[例 2] 如图 1 所示，水平转盘上放有一质量为 m 的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为 r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的 μ 倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：4图 1(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小。3μ g2r解析 (1)当绳子拉力为零，恰由最大静摩擦力提供向心力时，即转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为 ω 0，由 μmg ＝ mω r 得 ω 0＝ 。20μ gr(2)当 ω ＝ 时， ω ＞ ω 0，所以由绳子的拉力 F 和最大静摩擦力共同提供向心力，此3μ g2r时， F＋ μmg ＝ mω 2r即 F＋ μmg ＝ m· ·r，得 F＝ μmg 。3μ g2r 12答案 (1) (2) μmgμ gr 12“一、二、三、四”求解圆周运动问题[针对训练 1] (2018·株洲高一检测)如图 2 所示，有一质量为 m1的小球 A 与质量为 m2的物块 B 通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的小孔 O。当小球 A 在水平板上绕 O 点做半径为 r 的圆周运动时，物块 B 刚好保持静止。求：图 2(1)轻绳的拉力；5(2)小球 A 运动的线速度大小。解析 (1)物块 B 受力平衡，故轻绳拉力 T＝ m2g(2)小球 A 做匀速圆周运动的向心力等于轻绳拉力 T，根据牛顿第二定律得 m2g＝ m1v2r解得 v＝m2grm1答案 (1) m2g (2)m2grm1向心加速度的理解[要点归纳]1.物理意义：描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。2.方向：不论向心加速度 an的大小是否变化， an的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动。3.无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。[精典示例][例 3] (多选)关于向心加速度，以下说法正确的是( )A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心解析 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，选项 A、B 正确；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，选项 D 正确；物体做变速圆周运动时，物体的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心，选项 C 错误。答案 ABD[针对训练 2] 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B.向心加速度表示角速度变化的快慢C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢D.匀速圆周运动的向心加速度不变6解析 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然 A 项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以 B 项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以 C 项正确；向心加速度的方向是时刻变化的，所以 D 项错误。答案 C向心加速度公式的理解和应用[要点归纳]1.向心加速度的几种表达式2.向心加速度与半径的关系(1)若 ω 一定，根据 a＝ ω 2r 可知，向心加速度与 r 成正比，如图甲所示。(2)若 v 一定，根据 a＝ 可知，向心加速度与 r 成反比，如图乙所示。v2r(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与 r 是成正比还是成反比。[精典示例][例 4] (多选)一个小球以大小为 a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径 r＝1 m，则下列说法正确的是( )A.小球运动的角速度为 2 rad/sB.小球做圆周运动的周期为 π sC.小球在 t＝ s 内通过的位移大小为 mπ 4 π20D.小球在 π s 内通过的路程为零解析 由 a＝ ω 2r 得角速度 ω ＝ ＝2 rad/s，A 对；周期 T＝ ＝π s，B 对；小球在ar 2πωt＝ s 内通过 圆周，位移大小为 r＝ m，C 错；小球在 π s 内通过的路程为一个圆π 4 14 2 2周的长度 2π r＝2π m，D 错。7答案 AB向心加速度公式的应用技巧(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。(3)向心加速度公式 a＝ 和 a＝ ω 2r 不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。v2r[针对训练 3] (2018·徐州高一检测)如图 3 所示，一球体绕轴 O1O2以角速度 ω 旋转，A、 B 为球体上两点。下列说法中正确的是( )图 3A.A、 B 两点具有相同的角速度B.A、 B 两点具有相同的线速度C.A、 B 两点具有相同的向心加速度D.A、 B 两点的向心加速度方向都指向球心解析 A、 B 都随球体一起绕轴 O1O2旋转，转一周所用时间相等，故角速度相等，有ω A＝ ω B＝ ω ，A 正确； A 做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，设球半径为 R，故 A 的轨道半径 rA＝ Rsin 60°， B 的轨道半径 rB＝ Rsin 30°，所以两者的线速度vA＝ rAω ＝ Rω ， vB＝ rBω ＝ Rω ，显然， vA＞ vB，B 错误；两者的向心加速度 aA＝ rAω 2＝32 12Rω 2， aB＝ rBω 2＝ Rω 2，显然，两者的向心加速度也不相等，C 错误；又两者的向心加32 12速度指向各自的圆心，并不指向球心，所以 D 错误。答案 A1.(对向心力的理解)(2018·泰州高一检测)关于做匀速圆周运动的物体所需的向心力，下8列说法正确的是( )A.物体除受其他的力外还要受到一个向心力的作用B.物体所受的合力提供向心力C.向心力是一个恒力D.向心力是根据性质命名的一种力答案 B2.(对向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法正确的是( )A.向心加速度越大，物体速率变化越快B.向心加速度越大，物体转动得越快C.向心加速度方向始终与速度方向垂直D.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的答案 C3.(向心力的来源分析)如图 4 所示，一圆盘可绕过圆盘的中心 O 且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块 A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块 A 的受力，下列说法正确的是( )图 4A.木块 A 受重力、支持力和向心力B.木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反C.木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心D.木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同解析 由于圆盘上的木块 A 在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心 O。答案 C4.(向心加速度公式的应用)(2018·广州高一检测)(多选)如图 5 所示的皮带传动装置，主动轮的半径与从动轮的半径之比 R1∶ R2＝2∶1， A、 B 分别是两轮边缘上的点，假定皮带不9打滑，则下列说法正确的是( )图 5A.A、 B 两点的线速度之比为 vA∶ vB＝1∶2B.A、 B 两点的线速度之比为 vA∶ vB＝1∶1C.A 、 B 两点的加速度之比为 aA∶ aB＝1∶2D.A、 B 两点的加速度之比为 aA∶ aB＝2∶1解析 皮带不打滑，两轮边缘线速度的大小相等，A 错误，B 正确；由 a＝ 知两轮上v2rA、 B 点的向心加速度跟两轮的半径成反比，故 C 正确，D 错误。答案 BC5.(向心力的分析)如图 6 所示，天车下吊着两个质量都是 m 的工件 A 和 B，系 A 的吊绳较短，系 B 的吊绳较长。若天车运动到 P 处突然停止，则两吊绳所受的拉力 FA和 FB的大小关系为( )图 6A.FA＞ FB B.FA＜ FBC.FA＝ FB＝ mg D.FA＝ FB＞ mg解析 设天车原来的速度大小为 v，天车突然停止运动， A、 B 工件都处于圆周运动的最低点，线速度均为 v。由于 F－ mg＝ m ，故拉力 F＝ mg＋ m ，又由于 rA＜ rB，所以v2r v2rFA＞ FB，A 正确。答案 A6.(向心力的计算)如图 7 所示，一位链球运动员在水平面内旋转质量为 4 kg 的链球，链球每 1 s 转一圈，转动半径为 1.5 m，求： 10图 7(1)链球的线速度大小；(2)链球做圆周运动需要的向心力大小。解析 (1) v＝ ωr ＝2π rT＝ m/s≈9.42 m/s。2×3.14×1.51(2)根据向心力公式 F＝mv2r可得 F＝ N＝236.6 N。4×9.4221.5答案 (1)9.42 m/s (2)236.6 N基础过关1.物体做匀速圆周运动的条件是( )A.有一定的初速度，且受到一个始终与初速度垂直的恒力作用B.有一定的初速度，且受到一个大小不变、方向变化的力的作用11C.有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用D.有一定的初速度，且受到一个大小不变、方向始终和速度垂直的合力作用解析 做匀速圆周运动的物体，必须受到一个大小不变、方向时刻指向圆心的向心力的作用，且其向心力等于合力，故只有 D 正确。答案 D2.在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动， O 点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力 F 及摩擦力 f 的图是( )解析 由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合力一定指向圆心。由此可知 C 正确。答案 C3.如图 1 所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )图 1A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用B.老鹰受重力和空气对它的作用力C.老鹰受重力和向心力的作用D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用解析 老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。选项 B 正确。答案 B4. (2018·徐州高一检测)链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图 2 所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角 θ 将随链球转速的增12大而增大，则以下几个图象中能描述 ω 与 θ 的关系的是( )图 2解析 设链条长为 L，链球质量为 m，则链球做圆周运动的半径 r＝ Lsin θ ，向心力F＝ mgtan θ ，而 F＝ mω 2r。由以上三式得 ω 2＝ · ，即 ω 2∝ ，D 正确。gL 1cos θ 1cos θ答案 D5.如图 3 所示， O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为 r1， O2为从动轮的轴心，轮半径为 r2， r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知 r2＝2 r1， r3＝1.5 r1， A、 B、 C 分别是三个轮边缘上的点，则质点 A、 B、 C 的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )图 3A.1∶2∶3 B.2∶4∶3C.8∶4∶3 D.3∶6∶2解析 因为皮带不打滑， A 点与 B 点的线速度大小相等，都等于皮带运动的速率，根据向心加速度公式 a＝ ，可得 aA∶ aB＝ r2∶ r1＝2∶1。由于 B、 C 是固定在同一轮上的两点，v2r所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式 a＝ rω 2，可得 aB∶ aC＝ r2∶ r3＝2∶1.5。由此得 aA∶ aB∶ aC＝8∶4∶3，故选 C。答案 C6.如图 4 所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是( )13图 4A.物体所受弹力增大，摩擦力增大B.物体所受弹力增大，摩擦力减小C.物体所受弹力减小，摩擦力减小D.物体所受弹力增大，摩擦力不变解析 物体在竖直方向上受重力 G 与摩擦力 f，是一对平衡力，在水平方向上受弹力 N，根据向心力公式，可知 N＝ mω 2r，当 ω 增大时， N 增大，所以应选 D。答案 D7. (2018·武汉高一检测) (多选)一小球质量为 m，用长为 L 的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于 O 点，在 O 点正下方 处钉有一颗钉子。如图 5 所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度L2释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )图 5A.小球的角速度突然增大B.小球的线速度突然减小到零C.小球的向心加速度突然增大 D.小球的向心加速度不变解析 由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由 v＝ ωr 知，角速度变为原来的 2 倍，A 正确，B 错误；由 a＝ 知，小球的向心加速度变为原来的 2 倍，C 正确，D 错误。v2r答案 AC8. (多选)如图 6 所示，一圆环以直径 AB 为轴做匀速转动， P、 Q、 R 是环上的三点，则下列说法正确的是( )14图 6A.向心加速度的大小 aP＝ aQ＝ aRB.任意时刻 P、 Q、 R 三点向心加速度的方向相同C.线速度 vP＞ vQ＞ vRD.任意时刻 P、 Q、 R 三点的线速度方向均不同解析 R、 Q、 P 三点的轨道圆心都在轴 AB 上，且它们的轨道平面互相平行，因此三点的角速度相同，由于向心加速度方向也相同且指向轴 AB，由 a＝ rω 2可知： aP＞ aQ＞ aR，又由v＝ ωr 可知 vP＞ vQ＞ vR，选项 A 错误，B、C 正确；三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同，选项 D 错误。答案 BC能力提升9.(2018·济南高一检测)如图 7 所示， “旋转秋千”中的两个坐椅 A、 B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )图 7A.A 的速度比 B 的大B.A 与 B 的向心加速度大小相等C.悬挂 A、 B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D.悬挂 A 的缆绳所受的拉力比悬挂 B 的小解析 在转动过程中， A、 B 两座椅的角速度相等，但由于 B 座椅的半径比较大，故 B 座椅的速度比较大，向心加速度也比较大，选项 A、B 错误； A、 B 两座椅所需向心力不等，而重力相同，故缆绳与竖直方向的夹角不等，选项 C 错误；根据 F＝ mω 2r 判断 A 座椅的向心15力较小，所受拉力也较小，选项 D 正确。答案 D10.如图 8 所示，将完全相同的两小球 A、 B，用长 L＝0.8 m 的细绳悬于以 v＝4 m/s 向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比 FA∶ FB为( g＝10 m/s 2)( )图 8A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4解析 小车突然停止， B 球将做圆周运动，所以 FB＝ m ＋ mg＝30 m； A 球做水平方向上的v2L减速运动， FA＝ mg＝10 m，故此时悬线中张力之比为 FA∶ FB＝1∶3，选项 C 正确。答案 C11.一轿车以 30 m/s 的速率沿半径为 60 m 的圆形跑道行驶，当轿车从 A 运动到 B 时，轿车与圆心的连线转过的角度为 90°，求：(1)轿车的周期多大？(2)此过程中轿车通过的路程是多少？(3)轿车运动过程中的向心加速度是多大？解析 (1)由 v＝ 得轿车的周期 T＝ ＝ s＝4π s2π rT 2π rv 2π ×6030(2)轿车通过的路程即轿车通过的弧长，轿车与圆心的连线转过的角度为 90°，即经过的时间 t＝ T＝π s14所以 s＝ vt＝30×π m＝30π m(3)向心加速度 a＝ ＝ m/s2＝15 m/s 2v2r 30260答案 (1)4π s (2)30π m (3)15 m/s 212.如图 9 所示， AB 为固定在竖直平面内的 光滑圆弧轨道，轨道的 B 点与水平地面相切，14其半径为 R，质量为 m 的小球由 A 点静止释放，试求：16图 9(1)小球滑到最低点 B 时，小球速度 v 的大小；(2)小球刚到达最低点 B 时，轨道对小球支持力 N 的大小。解析 (1)由动能定理得 mgR＝ mv2，则 v＝ ，即小球滑到最低点 B 时，小球速度 v 的12 2gR大小为 v＝ 。2gR(2)在 B 处，对小球由牛顿第二定律得 N－ mg＝ m ，则 N＝3 mg，即小球刚到达最低点 B 时，v2R轨道对小球支持力 N 的大小为 3mg。答案 (1) (2)3 mg2gR