1、1解答题滚动练 51.如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD， AB CD， CD4， PA AB BC AD2， Q为棱 PC 上的一点，且 PQ PC.13(1)证明：平面 QBD平面 ABCD；(2)求直线 QD 与平面 PBC 所成角的正弦值方法一 (1)证明 连接 AC 与 BD 交于点 O，连接 QO，则由 ABO CDO，得 AO AC，13由于 PQ PC，则有 QO PA，13由 PA平面 ABCD，有 QO平面 ABCD，又 QO平面 QBD，所以平面 QBD平面 ABCD.(2)解 过 D 作平面 PBC 的垂线，垂足为 H，则 DQH 即为所求的线面角
2、，设 DH h，因为 VQ BCD VD BCQ，即 S BCDQO S BCQh13 13代入有 2 h，13 3 43 13 237解得 h ，4217又因为 QD2 QO2 OD2，所以 QD ，83所以 sin .hDQ 32114方法二 (1)证明 以 A 为原点，分别以射线 AB， AP 为 x， z 轴的正半轴，在平面 ABCD 内2过 A 作 AB 的垂线，垂线所在射线为 y 轴，建立空间直角坐标系 A xyz，由题意知各点坐标如下：A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(3， ，0)， D(1， ，0)， P(0,0,2)， Q ，3 3 (1，33， 43)因此 (3，
3、 ，0)， ，BD 3 DQ (2， 233， 43)设平面 QBD 的一个法向量为 n1，平面 ABCD 的一个法向量为 n2，则Error! 取 n1(1， ，0)，3同理可取 n2(0,0,1)，所以 n1n20，所以平面 QBD平面 ABCD(2)解 设 QD 与平面 PBC 所成角为 ， ， (2,0 ，2)，DQ (2， 233， 43) PB (3， ，2)，PC 3设平面 PBC 的一个法向量为 n，则Error! 取 n ，(1， 33， 1)所以 sin |cos ， n| .DQ |DQ n|DQ |n| 32114所以 QD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .3211
4、42已知函数 f(x)( t1)ln x tx23 t， tR.(1)若 t0，求证：当 x0 时， f(x1) x x2；12(2)若 f(x)4 x 对任意 x1，)恒成立，求 t 的取值范围(1)证明 当 t0 时， f(x)ln x， f(x1)ln( x1)，即证 ln(x1) x x2.123令 g(x)ln( x1) x2 x(x0)，12则 g( x) x1 0，1x 1 x2x 1从而函数 g(x)在 x0，)上单调递增，g(x) g(0)0，即当 x0 时， f(x1) x x2.12(2)解 由(1)知，当 x0 时，ln( x1) x x2，12则当 x1，即 x10
5、时，lnxln( x1)1( x1) (x1) 2 x22 x .12 12 32若 t1，则当 x1 时，( t1)ln x tx23 t1，则当 x1 时，f(x)4 x( t1)ln x tx24 x3 t( t1) tx24 x3 t (x24 x3)，(12x2 2x 32) t 12从而当 f(x)4 x 恒成立时， t1.综上，满足题意的 t 的取值范围为1，)3已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率 e ，抛物线 E： y24 x 的焦点恰好是椭圆 Cx2a2 y2b2 12的右焦点 F.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F 作两条斜率都存在的直线 l1， l2， l1
6、交椭圆 C 于点 A， B， l2交椭圆 C 于点G， H，若| AF|是| AH| FH|与| AH| FH|的等比中项，求| AF|FB| GF|FH|的最小值解 (1)依题意得椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(1,0)，即 c1，又 e ， a2， b23，ca 12故椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)| AF|是| AH| FH|与| AH| FH|的等比中项，| AF|2| AH|2| FH|2，即| AF|2| FH|2| AH|2，直线 l1 l2.又直线 l1， l2的斜率均存在，两直线的斜率都不为零，4故可设直线 l1： x ky1( k0)，直线 l2： x
7、y1，1kA(x1， y1)， B(x2， y2)， G(x3， y3)， H(x4， y4)由Error!消去 x，得(3 k24) y26 ky90，Error!同理得Error!| AF|FB| (1 k2)|y1y2|，x1 12 y21 x2 12 y2|GF|FH| |y3y4|，x3 12 y23 x4 12 y24 (11k2)| AF|FB| GF|FH|(1 k2)|y1y2| |y3y4|(11k2)(1 k2) 9(1 k2)93k2 4 (1 1k2) 9k23 4k2 ( 13k2 4 13 4k2) .631 k22121 k22 k2 6312 k21 k226
8、312 1k2 1k2 2又 k20， k2 2，当且仅当 k21 时取等号，1k2所求式子取最小值 .367故| AF|FB| GF|FH|的最小值为 .3674在数列 an中，已知 a1 ， an1 ，其中 nN *.13 2a2na2n 1(1)求 a2的值，并证明： anan1 ；(2)证明： an ；12n 1(3)设 Tn ，求证： Tnn .1a1 1 1a2 1 1an 1 34证明 (1)由题意得 an0， a2 .2a21a21 12(13)2(13)2 1 15方法一 1，an 1an 2ana2n 1 2an 1an5所以 an1 an，当且仅当 an1 时取等号，又 an a1 ，所以等号取不到13所以 an1 1 成立；1a1 1 34 34当 n2 时， n Tn b1 b2 bnn .34综上可知， Tnn .34方法二 由(1)知 an ，即 3an1，13所以 an1 ，2a2na2n 1 2a2na2n 3an 2anan 3从而 1 1 ，an 1an 1 1 1an 1 1 12anan 3 1 23 anan 1所以 n1 n1 ，anan 1 a1a1 1 (23) 14 (23)所以 n .34 34
