2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量课件（打包10套）北师大版必修4.zip

§1 从位移、速度、力到向量内容要求 1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景 .2.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．知识点 1 向量的概念数学中，我们把既有 ，又有 的量统称为向量，而把那些 的量 (如年龄、身高、体积等 )称为数量．大小 方向 只有大小，没有方向注意 ① 向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．② 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．【 预习评价 】已知下列各量：① 力； ② 功； ③ 速度； ④ 质量； ⑤ 温度； ⑥ 位移； ⑦ 加速度； ⑧ 重力； ⑨ 路程； ⑩ 密度．其中是数量的有 ，是向量的有 .②④⑤⑨⑩ ①③⑥⑦⑧ 方向和长度 有向线段 向量的 大小 模 向量的方向 【 预习评价 】两个向量能比较大小吗？有向线段是向量吗？提示 两个向量不能比较大小，因为向量既有大小也有方向．有向线段表示向量，但有向线段不是向量．知识点 3 与向量有关的概念名称 定义 记法零向量 长度为 的向量称为零向量 0单位向量长度为 的向量叫作单位向量相等向量长度 且方向 的向量，叫作相等向量向量 a与 b相等，记作 _____共线向量 (平行向量 )如果表示两个向量的有向线段所在的直线 ，则称这两个向量平行或共线．规定零向量与任一向量 _____a与 b平行或共线，记作 _____零 单位 1 相等 相同 平行或重合 平行 a＝ b a∥ b 【 预习评价 】 (正确的打 “ √” ，错误的打 “ ×” )(1)向量的两个要素是大小与方向． ( )(2)长度相等的向量是相等向量． ( )(3)方向相同的向量是共线向量． ( )√ √ × 规律方法 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．答案 ③规律方法 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆．规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可 .课堂达标1． 下列说法错误的是 ( )A．若 a＝ 0，则 |a|＝ 0B．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的解析 零向量的长度为 0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以 B是错误的．答案 B答案 B 3．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是 ________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是 ________．解析 因为向量平行，且表示它们的有向线段有共同的起点，所以终点在一条直线上；而对于单位向量，其大小都是一个单位，所以它们的终点在起点的两侧，且距起点一个单位，所以终点构成的图形是两个点．答案 一条直线 两个点课堂小结1．向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小．2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．3．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中 “ 平行 ” 的含义不同于平面几何中 “ 平行 ” 的含义 .§2 从位移的合成到向量的加法2． 1 向量的加法内容要求 1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量 (重点 ).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算 (难点 )．和 起点 终点 对角线 答案 D答案 A知识点 2 向量加法的运算律(1)交换律： a＋ b＝ .(2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ ．特别地：对于零向量与任一向量 a的和有 0＋ a＝ ＝ a.b＋ a (b＋ c) a＋ 0 答案 C题型一 向量加法法则的应用【 例 1】 (1)如图 (1)，用向量加法的三角形法则作出 a＋ b；(2)如图 (2)，用向量加法的平行四边形法则作出 a＋ b.规律方法 用三角形法则求和向量，关键是抓住 “ 首尾相连 ”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意 “ 共起点 ” ． 且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．【 训练 1】 已知向量 a， b， c，如图，求作 a＋ b＋ c.规律方法 向量加法运算律的应用原则及注意点(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“ 首尾相接 ” ，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．(2)注意点：① 三角形法则强调 “ 首尾相接 ” ，平行四边形法则强调 “ 起点相同 ” ；② 向量的和仍是向量；③ 利用相等向量转化，达到 “ 首尾相连 ” 的目的．方向 3 向量加法在实际问题中的应用【 例 3－ 3】 如图所示，一架飞机从 A地按北偏东 35°的方向飞行 800 km到达 B地接到受伤人员，然后又从 B地按南偏东 55°的方向飞行 800 km送往 C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．规律方法 应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．易错警示 利用向量解决实际问题时容易出现向量关系转化错误 .课堂达标1．作用在同一物体上的两个力 F1＝ 60 N， F2＝ 60 N，当它们的夹角为 120°时，这两个力的合力大小为 ( )A． 30 N B． 60 NC． 90 N D． 120 N答案 B2．如图， D、 E、 F分别是 △ ABC的边 AB、 BC、 CA的中点，则下列等式中错误的是 ( )答案 D2.2 向量的减法内容要求 1.知道向量减法的定义，理解相反向量的意义 (重点).2.掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量 (难点 )．知识点 1 相反向量与 a 的向量，叫作 a的相反向量，记作－ a.(1)规定：零向量的相反向量仍是 ；(2)－ (－ a)＝ ；(3)a＋ (－ a)＝ (－ a)＋ a＝ ；(4)若 a与 b互为相反向量，则 a＝ ， b＝ ， a＋ b＝ .长度相等、方向相反 零向量 a 0 － b － a 0 × √ √ b的相反向量 a＋ (－ b) 差 起点 终点 答案 A答案 D题型一 向量减法法则的应用【 例 1】 如图所示，已知向量 a、 b、 c、 d，求作向量 a－ b， c－ d.【 训练 1】 如图，已知向量 a， b， c不共线，求作向量 a＋ b－ c.规律方法 化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号．(2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点．特别提醒 利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．规律方法 1.关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找 (或作 )有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果 .答案 B答案 B答案 2答案 13§3 从速度的倍数到数乘向量3． 1 数乘向量内容要求 1.掌握向量数乘的运算及其运算律 (重点 ).2.理解数乘向量的几何意义 (重点 ).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理 (难点 )．知识点 1 数乘向量的概念与运算律(1)数乘向量：① 定义： λa是一个 ；② 长度： λ|a|；③ 方向：向量 相同 相反 任意 (2)数乘向量的运算律：① λ(μa)＝ (λ， μ∈ R)；② (λ＋ μ)a＝ (λ， μ∈ R)；③ λ(a＋ b)＝ (λ∈ R)．(λμ)a λa＋ μa λa＋ λb ××√知识点 2 向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理： a是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝ λa，则向量 b与非零向量 a共线．(2)性质定理：若向量 b与非零向量 a共线，则存在一个实数 λ，使得 b＝ λa.【 预习评价 】1． 若 a∥ b， b∥ c，那么一定有 a∥ c吗？提示 不一定，若 b＝ 0，此时必有 a∥ b， b∥ c成立，但 a与 c不一定共线．2． 如果向量 a， b共线，一定有 b＝ λa(λ∈ R)吗？提示 不一定．当 a＝ 0， b≠0时， λ不存在 .规律方法 对数乘向量的四点说明(1)λa的实数 λ叫作向量 a的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把 a沿着 a的方向或 a的反方向扩大或缩小．(3)当 λ＝ 0或 a＝ 0时， λa＝ 0.注意是 0，而不是 0.(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．【 训练 1】 已知 λ， μ∈ R，则在下列各命题中，正确的命题有 ()① λ＜ 0， a≠0时， λa与 a的方向一定相反；② λ＞ 0， a≠ 0时， λa与 a的方向一定相同；③ λμ＞ 0， a≠ 0时， λa与 μa的方向一定相同；④ λμ＜ 0， a≠ 0时， λa与 μa的方向一定相反．A． 1个 B． 2个C． 3个 D． 4个解析 由 λ与向量 a的积 λa的方向规定，易知 ①② 正确，对于命题 ③④ ，当 λμ＞ 0时， λ， μ同正或同负， ∴ λa与 μa或者都与 a同向，或者都与 a反向， ∴ λa与 μa同向，当 λμ＜ 0时，则 λ与 μ异号， λa与 μa中，一个与 a同向，一个与 a反向， ∴ λa与 μa反向，故③④ 也正确．答案 D规律方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“ 合并同类项 ”“ 提取公因式 ” ，但这里的 “ 同类项 ”“ 公因式 ” 指向量，实数看作是向量的系数．【 训练 2】 若 a＝ b＋ c，化简 3(a＋ 2b)－ 2(3b＋ c)－ 2(a＋ b)的结果为 ( )A．－ a B．－ 4bC． c D． a－ b解析 3(a＋ 2b)－ 2(3b＋ c)－ 2(a＋ b)＝ (3－ 2)a＋ (6－ 6－ 2) b－ 2 c ＝ a－ 2(b＋ c)＝ a－ 2a＝－ a.答案 A规律方法 应用向量共线定理时的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量 a， b共线是指存在不全为零的实数 λ1， λ2，使 λ1a＋ λ2b＝ 0成立，若 λ1a＋ λ2b＝ 0，当且仅当 λ1＝ λ2＝ 0时成立，则向量 a， b不共线 .解析 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有 |3a|不是向量．答案 C答案 C答案 2答案 － 33.2 平面向量基本定理 内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义 (重点 ).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题 (难点 )．知识点 1 平面向量基本定理(1)定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量 a， 实数 λ1， λ2，使a＝ .(2)基底：把 的向量 e1， e2叫作表示这一平面内 向量的一组基底．不共线 任一 存在唯一一对 λ1e1＋ λ2e2 不共线 所有 【 预习评价 】(1)0能不能作为基底？提示 由于 0与任何向量都是共线的，因此 0不能作为基底．(2)平面向量的基底唯一吗？提示 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．题型一 对向量基底的理解【 例 1】 如果 e1， e2是平面 α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 ________．① λe1＋ μe2(λ、 μ∈ R)可以表示平面 α内的所有向量；② 对于平面 α内任一向量 a，使 a＝ λe1＋ μe2的实数对 (λ， μ)有无穷多个；③ 若向量 λ1e1＋ μ1e2与 λ2e1＋ μ2e2共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ1e1＋ μ1e2＝ λ(λ2e1＋ μ2e2)；④ 若存在实数 λ， μ使得 λe1＋ μe2＝ 0，则 λ＝ μ＝ 0.解析 由平面向量基本定理可知， ①④ 是正确的．对于 ② ，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于 ③ ，当两向量的系数均为零，即 λ1＝ λ2＝ μ1＝ μ2＝ 0时，这样的 λ有无数个．答案 ②③规律方法 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．【 训练 1】 设 e1， e2是平面内一组基向量，且 a＝ e1＋ 2e2 ， b＝－ e1＋ e2，则向量 e1＋ e2可以表示为另一组基向量 a， b的线性组合，即 e1＋ e2＝ ________a＋ ________b.答案 A【 训练 2】 设 e1， e2是不共线的非零向量，且 a＝ e1－ 2e2， b＝e1＋ 3e2.(1)证明： a， b可以作为一组基底；(2)以 a， b为基底，求向量 c＝ 3e1－ e2的分解式；(3)若 4e1－ 3e2＝ λa＋ μb，求 λ， μ的值．课堂达标1．设 e1， e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是 ( )A． e1＋ e2和 e1－ e2 B． 3e1－ 4e2和 6e1－ 8e2C． e1＋ 2e2和 2e1＋ e2 D． e1和 e1＋ e2解析 B中， ∵ 6e1－ 8e2＝ 2(3e1－ 4e2)，∴ (6e1－ 8e2)∥ (3e1－ 4e2)，∴ 3e1－ 4e2和 6e1－ 8e2不能作为基底．答案 B答案 B课堂小结1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征： ① 一组基底是两个不共线向量；② 基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决 .§4 平面向量的坐标内容要求 1.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，并能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来解决一些平面向量的计算 (重点 ).2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关计算 (难点 )．知识点 1 平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫作把向量正交分解．互相垂直 单位向量 (x， y) (x2－ x1， y2－ y1) 【 预习评价 】1． (正确的打 “ √” ，错误的打 “ ×” )(1)相等向量的坐标相同； ( )(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ( )(3)一个坐标对应于唯一的一个向量； ( )(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应． ( )√ √ √ × 2． 相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？提示 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．(x1＋ x2， y1＋ y2) (x1－ x2， y1－ y2) (λx， λy) (x2－ x1， y2－ y1) 答案 (1)C (2)Cx1y2－ x2y1＝ 0 成比例 平行 【 预习评价 】1． 平面向量 a＝ (1，－ 2)， b＝ (－ 2， x)，若 a∥ b，则 x＝ ______.答案 42．已知向量 a＝ (2， 6)， b＝ (－ 1， λ)，若 a∥ b，则 λ＝ ________．规律方法 (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．规律方法 1.向量的坐标表示法，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．2．如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等．方向 2 利用向量共线求参数【 例 3－ 2】 已知 a＝ (1,2)， b＝ (－ 3,2)，当 k为何值时， ka＋ b与a－ 3b平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 ka＋ b＝ k(1,2)＋ (－ 3,2)＝ (k－ 3,2k＋ 2)，a－ 3b＝ (1,2)－ 3(－ 3,2)＝ (10，－ 4)．当 ka＋ b与 a－ 3b平行时，存在唯一的实数 λ，使 ka＋ b＝ λ(a－ 3b)，即 (k－ 3,2k＋ 2)＝ λ(10，－ 4)，方向 3 向量共线的综合应用【 例 3－ 3】 如图，已知点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6)， O(0,0)，求AC与 OB的交点 P的坐标．§5 从力做的功到向量的数量积 内容要求 1.通过物理中 “ 功 ” 等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义 .2.体会平面向量数量积与向量射影的关系 .3.会进行平面向量数量积的运算 (重点 ).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 (难点 )．∠ AOB＝ θ 0°≤θ≤180° 同向 反向 ⊥ |b|cos θ |b|cos θ 知识点 2 向量的数量积(1)定义：已知两个向量 a与 b，它们的夹角为 θ，我们把叫作 a与 b的数量积 (或内积 )，记作 ，即 a·b＝ .(2)几何意义：数量积 a·b等于 a的长度 |a|与 b在 a方向上投影 的乘积，或 b的长度 与 a在 b方向上投影 的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力 F与其作用下物体的位移 s的数量积 .|a||b|cos θ a·b |a||b|cos θ |b|cos θ |b| |a|cos θ F·s |a|cos θ a·b＝ 0 ≤ (5)运算律：交换律： a·b＝ .结合律： (λa)·b＝ ．分配律： a·(b＋ c)＝ .b·a λ(a·b)＝ a·(λb) a·b＋ a·c 答案 A题型一 数量积的基本概念【 例 1】 下列判断：① 若 a2＋ b2＝ 0，则 a＝ b＝ 0； ② 已知 a， b， c是三个非零向量，若 a＋ b＝ 0，则 |a·c|＝ |b·c|； ③ a， b共线 ⇔ a·b＝ |a||b|；④ |a||b|0，则 a与 b的夹角为锐角； ⑧ 若 a， b的夹角为θ，则 |b|cos θ表示向量 b在向量 a方向上的射影长．其中正确的是 ________（ 填序号 ） ．解析 由于 a2≥0， b2≥0，所以，若 a2＋ b2＝ 0，则 a＝ b＝ 0，故 ①正确；若 a＋ b＝ 0，则 a＝－ b，又 a， b， c是三个非零向量，所以 a·c＝－ b·c，所以 |a·c|＝ |b·c|， ② 正确； a， b共线 ⇔ a·b＝±|a||b|，所以 ③ 错；对于 ④ ，应有 |a||b|≥a·b，所以 ④ 错；对于 ⑤ ，应该是 a·a·a＝ |a|2a，所以 ⑤ 错；对于 ⑥ ， a2＋ b2≥2|a||b|≥2a·b，故 ⑥ 正确；对于 ⑦ ，当 a与 b的夹角为 0°时，也有 a·b0，因此 ⑦ 错；对于 ⑧ ， |b|cos θ表示向量 b在向量 a方向上的射影的数量，而非射影长，故 ⑧ 错．综上可知 ①②⑥ 正确．答案 ①②⑥规律方法 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．【 训练 1】 给出下列结论：① 若 a≠0， a·b＝ 0，则 b＝ 0； ② 若 a·b＝ b·c，则 a＝ c；③ (a·b)c＝ a(b·c)； ④ a·[b(a·c)－ c(a·b)]＝ 0.其中正确结论的序号是 ________．解析 因为两个非零向量 a、 b垂直时， a·b＝ 0，故 ① 不正确；当 a＝ 0， b⊥ c时， a·b＝ b·c＝ 0，但不能得出 a＝ c，故 ② 不正确；向量 (a·b)c与 c共线， a(b·c)与 a共线，故 ③ 不正确；a·[b(a·c)－ c(a·b)]＝ (a·b)(a·c)－ (a·c)(a·b)＝ 0，故 ④ 正确．答案 ④题型二 数量积的运算【 例 2】 已知 |a|＝ 3， |b|＝ 6，当 ① a∥ b， ② a⊥ b， ③ a与 b的夹角是 60°时，分别求 a·b， a·(a＋ b)．解 ① 当 a∥ b时，若 a与 b同向，则它们的夹角 θ＝ 0°，∴ a·b＝ |a||b|cos 0°＝ 3×6×1＝ 18，a·(a＋ b)＝ a2＋ a·b＝ 9＋ 18＝ 27.若 a与 b反向，则它们的夹角 θ＝ 180°，∴ a·b＝ |a||b|cos 180°＝ 3×6×(－ 1)＝－ 18，a·(a＋ b)＝ a2＋ a·b＝ 9－ 18＝－ 9.规律方法 (1)向量的数量积在表示时， a与 b之间必须用实心圆点 “ ·” 来连接而不能用 “ ×” 连接，也不能省略．(2)求平面向量数量积的步骤是： ① 求 a与 b的夹角 θ， θ∈ [0， π]． ② 分别求 |b|和 |a|.③ 求它们的数量积，即 a·b＝ |a||b|cos θ.【 训练 2】 已知 |a|＝ 3， |b|＝ 4， a与 b的夹角 θ＝ 120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋ b)·(a－ b)；(3)(a＋ b)·(a＋ b)；(4)(a－ 2b)·(3a＋ b)．解 (1)a·b＝ |a|·|b|·cos θ＝ 3×4×cos 120°＝－ 6.(2)(a＋ b)·(a－ b)＝ a2－ b2＝ |a|2－ |b|2＝－ 7.(3)(a＋ b)·(a＋ b)＝ a2＋ 2a·b＋ b2＝ |a|2＋ 2|a|·|b|·cos θ＋ |b|2＝13.(4)(a－ 2b)·(3a＋ b)＝ 3a2－ 5a·b－ 2b2＝ 25.方向 1 求向量的模【 例 3－ 1】 已知向量 a与 b的夹角为 120°，且 |a|＝ 4， |b|＝ 2，求：(1)|a＋ b|； (2)|3a－ 4b|； (3)|(a＋ b)·(a－ 2b)|.方向 2 求向量的夹角【 例 3－ 2】 设 n和 m是两个单位向量，其夹角是 60°，求向量 a＝ 2m＋ n与 b＝ 2n－ 3m的夹角．方向 3 数量积的综合应用【 例 3－ 3】 设两个向量 e1， e2满足 |e1|＝ 2， |e2|＝ 1，向量 e1与 e2的夹角为 60°，若向量 2te1＋ 7e2与 e1＋ te2的夹角 θ为钝角，求实数 t的取值范围．规律方法 1.求向量夹角时要注意：(1)当已知 a·b是非坐标形式时，需求得 a·b及 |a|， |b|或它们之间的关系；(2)当已知 a， b的坐标时，可直接利用公式求解．(3)注意夹角的范围 θ∈ [0， π]．2．对于 a2＝ |a|2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路 .解析 因为 |a·b|＝ ||a|·|b|cos θ|(θ为向量 a与 b的夹角 )＝|a|·|b|·|cos θ|，当且仅当 θ＝ 0或 π 时，使 |a·b|＝ |a|·|b|，故 B错．答案 B§6 平面向量数量积的坐标表示内容要求 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 (重点 ).2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系 (难点 )．知识点 1 平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)数量积的坐标表示：设向量 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则 a·b＝ .x1x2＋ y1y2 (2)模、夹角、垂直的坐标表示：【 预习评价 】1． 已知向量 a＝ (－ 4,7)，向量 b＝ (5,2)，则 a·b的值是 ( )A． 34 B． 27C．－ 43 D．－ 6解析 a·b＝ (－ 4,7)·(5,2)＝－ 4×5＋ 7×2＝－ 6.答案 D答案 C知识点 2 直线的方向向量(1)定义：与直线 l 的非零向量 m称为直线 l的方向向量．(2)性质：给定斜率为 k的直线 l的一个方向向量为 m＝ ．共线 (1， k) 【 预习评价 】1． 直线 2x－ 3y＋ 1＝ 0的一个方向向量是 ( )A． (2，－ 3) B． (2,3)C． (－ 3,2) D． (3,2)答案 D2． 过点 A(－ 2,1)且与向量 a＝ (3,1)平行的直线方程为 _____．答案 x－ 3y＋ 5＝ 0题型一 平面向量数量积的坐标运算【 例 1】 已知向量 a与 b同向， b＝ (1,2)， a·b＝ 10，求：(1)向量 a的坐标； (2)若 c＝ (2，－ 1)，求 (a·c)·b.规律方法 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．【 训练 1】 已知向量 a＝ (1,3)， b＝ (2,5)， c＝ (2,1)．求： (1)a·b； (2)(a＋ b)·(2a－ b)； (3)(a·b)·c， a·(b·c)．解 (1)a·b＝ (1,3)·(2,5)＝ 1×2＋ 3×5＝ 17.(2)∵ a＋ b＝ (1,3)＋ (2,5)＝ (3,8)，2a－ b＝ 2(1,3)－ (2,5)＝ (2,6)－ (2,5)＝ (0,1)，∴ (a＋ b)·(2a－ b)＝ (3,8)·(0,1)＝ 3×0＋ 8×1＝ 8.(3)(a·b)·c＝ 17c＝ 17(2,1)＝ (34,17)，a·(b·c)＝ a·[(2,5)·(2,1)]＝ (1,3)·(2×2＋ 5×1)＝ 9(1,3)＝ (9,27)．规律方法 利用数量积求两向量夹角的步骤【 训练 2】 已知向量 a＝ e1－ e2， b＝ 4e1＋ 3e2，其中 e1＝ (1,0)，e2＝ (0,1)．(1)试计算 a·b及 |a＋ b|的值；(2)求向量 a与 b夹角的余弦值．【 例 3】 设平面向量 a＝ (1,1)， b＝ (0,2)．求 a－ 2b的坐标和模的大小．【 迁移 1】 若 c＝ 3a－ (a·b)b，求 |c|.【 迁移 2】 若 ka－ b与 a＋ b共线，求 k的值．解 ∵ a＝ (1,1)， b＝ (0，－ 2)，ka－ b＝ k(1,1)－ (0，－ 2)＝ (k， k＋ 2)．a＋ b＝ (1,1)＋ (0，－ 2)＝ (1，－ 1)．∵ ka－ b与 a＋ b共线，∴ k＋ 2－ (－ k)＝ 0.∴ k＝－ 1.答案 B答案 23．若 a＝ (2,3)， b＝ (－ 4,7)，则 a在 b方向上的射影是 ________．4．已知平面向量 a＝ (2,4)， b＝ (－ 1,2)，若 c＝ a－ (a·b)b，则 |c|＝ ________.5．已知 a＝ (4,3)， b＝ (－ 1,2)．(1)求 a与 b的夹角 θ的余弦值；(2)若 (a－ λb)⊥ (2a＋ b)，求实数 λ的值．课堂小结1． 设 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则 a⊥ b⇔ x1x2＋ y1y2＝ 0.应用该条件要注意：由 a⊥ b可得 x1x2＋ y1y2＝ 0；反过来，由x1x2＋ y1y2＝ 0可得 a⊥ b.2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直 .§7 向量应用举例 内容要求 1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题 (重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题 (难点 )．知识点 1 点到直线的距离公式及直线的法向量1．点 M(x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0的距离 d＝ .垂直 (A， B) 【 预习评价 】1． 点 P0(－ 1,2)到直线 l： 2x＋ y－ 10＝ 0的距离为 ________．2． 直线 2x－ y＋ 1＝ 0的一个法向量是 ( )A． (2,1) B． (－ 1，－ 2)C． (1,2) D． (2，－ 1)答案 D知识点 2 向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在 中的应用；二是在 中的应用．几何 物理 答案 C2． 已知 F＝ (2,3)作用一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(4， 0)，则力 F对物体作的功为 ________．答案 4方向 2 坐标法解决平面几何问题【 例 1－ 2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为 x轴、 y轴建立直角坐标系．规律方法 用向量解平面几何问题的方法(1)基底法 (基向量法 )：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算．(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．题型二 向量在解析几何中的应用【 例 2】 已知直线 l过点 A(1,1)，且它的一个法向量为 n＝ (－ 2，1)．(1)求直线 l的一般方程；(2)若与直线 l垂直的直线 l1经过点 B(2,0)，求 l1的一般方程．解 (1)∵ 直线 l的一个法向量为 n＝ (－ 2,1)，∴ 直线 l的一个方向向量为 v＝ (1,2)．∴ 直线 l的斜率为 2.∴ 直线 l的点斜式方程为 y－ 1＝ 2(x－ 1)．整理得 2x－ y－ 1＝ 0.故直线 l的一般方程为 2x－ y－ 1＝ 0.【训练 1】 如图，在 ▱OABP中，过点 P的直线与线段 OA、 OB分别相交于点M、 N，若＝ x，＝ y(0x1)．(1)求 y＝ f(x)的解析式；(2)令 F(x)＝＋ x，判断 F(x)的单调性，并给出你的证明．规律方法 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．【 训练 2】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南 30°，风速为 4米 /秒，这时气象台报告实际风速为 2米 /秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．解 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为 v车地 、风对车的速度为 v风车 、风对地的速度为 v风地 ，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即 v风地 ＝ v风车 ＋ v车地．答案 A答案 D3．已知 A(1,2)， B(－ 2,1)，以 AB为直径的圆的方程是 _______．答案 x2＋ y2＋ x－ 3y＝ 0章末复习课网络构建核心归纳1．平面向量的基本概念主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查．2．向量的线性运算主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律．同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题．3．向量的坐标运算主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量．4．平面向量的数量积平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题．5．平面向量的应用一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题．要点一 向量共线问题运用向量平行 (共线 )证明常用的结论有： (1)向量 a、 b(a≠ 0)共线 ⇔ 存在唯一实数 λ，使 b＝ λa； (2)向量 a＝ (x1， y1)， b＝(x2， y2)共线 ⇔ x1y2－ x2y1＝ 0； (3)向量 a与 b共线 ⇔ |a·b|＝ |a||b|； (4)向量 a与 b共线 ⇔ 存在不全为零的实数 λ1， λ2，使 λ1a＋ λ2b＝ 0.判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．【 训练 1】 证明：起点相同的三个向量 a， b,3a－ 2b的终点在一条直线上 (a≠b)．要点二 平面向量的线性运算1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础．2．向量是一个有 “ 形 ” 的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，特别是平行四边形法则和三角形法则的应用．要点三 平面向量的坐标运算1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题．【 例 3】 平面内给定三个向量 a＝ (3,2)， b＝ (－ 1,2)， c＝ (4,1)．(1)求 a·b；(2)(a＋ kc)∥ (2b－ a)，求实数 k；(3)设 d＝ (x， y)，满足 (d－ c)∥ (a＋ b)，且 |d－ c|＝ 1，求 d.2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为 “ x1x2＋ y1y2＝ 0” 较为简单．3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．【 例 4】 已知三个点 A(2,1)， B(3,2)， D(－ 1,4)．(1)求证： AB⊥ AD；(2)若四边形 ABCD为矩形，求点 C的坐标以及矩形 ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．答案 A 要点五 向量的长度 (模 )与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式 |a|2＝ a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式 |a|＝，将它转化为实数问题，使问题得以解决．【 例 5】 设 |a|＝ |b|＝ 1， |3a－ 2b|＝ 3，求 |3a＋ b|的值．