1、12.立体几何1如图，已知正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直，点 M 在线段 ED 上，AD CD， AB CD， AB AD CD1.12(1)当 M 为线段 ED 的中点时，求证： AM平面 BEC；(2)求直线 DE 与平面 BEC 所成角的正弦值(1)证明 取 EC 的中点 N，连接 MN， BN，如图在 EDC 中， M， N 分别为 ED， EC 的中点，所以 MN CD，且 MN CD.12又 AB CD， AB CD，12所以 MN AB，且 MN AB.由此可知四边形 ABNM 为平行四边形，所以 BN AM，又 BN平面 BEC，且 AM平面 BEC，所以
2、 AM平面 BEC.(2)解 在正方形 ADEF 中， ED AD，因为平面 ADEF平面 ABCD，且平面 ADEF平面 ABCD AD，所以 ED平面 ABCD，而 BC平面 ABCD，所以 ED BC.在直角梯形 ABCD 中， AB AD1， CD2，易得 BC ，2连接 BD，在 BCD 中， BD BC ， CD2，2所以 BD2 BC2 CD2，2所以 BC BD，又 BD ED D， BD， ED平面 BDE，所以 BC平面 BDE，而 BC平面 BCE，所以平面 BDE平面 BCE.过点 D 作 DH EB，交 EB 于点 H，则 DH平面 BCE，所以 DEH 为直线 DE
3、 与平面 BEC 所成的角在 Rt BDE 中， BE ，BD2 DE2 3S BDE BDDE BEDH，12 12所以 DH ，BDDEBE 213 63所以 sin DEH .DHDE 63所以直线 DE 与平面 BEC 所成角的正弦值为 .632如图，在所有棱长均相等的直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E， F 分别是棱 AA1， CC1， AB的中点(1)证明： BE平面 CDF；(2)求直线 EF 与平面 CDF 所成角的正弦值(1)证明 方法一 连接 AE 交 CD 于 G，连接 GF，如图 1.因为 D， E 分别是棱 AA1， CC1的中点，所以 G 是 AE 的中点
4、在 ABE 中， GF 是中位线，所以 GF BE.又 GF平面 CDF， BE平面 CDF.所以 BE平面 CDF.图 1 图 2方法二 连接 A1B， A1E，如图 2.在 A1AB 中， DF 是中位线，所以 DF A1B.3又 A1B平面 CDF， DF平面 CDF，所以 A1B平面 CDF.因为 D， E 分别是棱 AA1， CC1的中点，所以 A1D CE，且 A1D CE，所以四边形 A1ECD 是平行四边形，故 A1E CD.又 A1E平面 CDF， CD平面 CDF，所以 A1E平面 CDF.又 A1B A1E A1，所以平面 A1BE平面 CDF，又 BE平面 A1BE，所
5、以 BE平面 CDF.(2)解 方法一 如图 2，连接 AB1，因为四边形 AA1B1B 是正方形，所以 A1B AB1.又 DF A1B，所以 AB1 DF.因为 ABC 是正三角形， F 是 AB 的中点，所以 CF AB.又平面 AA1B1B平面 ABC，平面 AA1B1B平面 ABC AB， CF平面 ABC，所以 CF平面AA1B1B.而 AB1平面 AA1B1B，所以 CF AB1，又 DF CF F，且 DF， CF平面 CDF，所以 AB1平面 CDF.取 BB1的中点 H，连接 HF， HE，则 HF AB1， HF平面 CDF.所以 EFH 是直线 EF 与平面 CDF 所
6、成角的余角设直三棱柱 ABC A1B1C1的棱长为 2，则在 EFH 中， FH ， EH EF2.2所以 cos EFH .222 24故直线 EF 与平面 CDF 所成角的正弦值为 .24方法二 以点 F 为坐标原点， BF， CF 所在直线分别为 x 轴， y 轴建立如图 3 所示的空间直角坐标系设直三棱柱 ABC A1B1C1的棱长为 2，则 F(0,0,0)， B(1,0,0)， C(0， ，0)， D(1,0,1)，3E(0， ，1)34图 3所以 (0， ，0)， (1,0,1)FC 3 FD 设平面 CDF 的法向量为 n( x， y， z)，则Error!所以Error!则
7、n(1,0,1)为平面 CDF 的一个法向量，又 (0， ，1)FE 3所以 cos ， n .FE FE n|FE |n| 122 24故直线 EF 与平面 CDF 所成角的正弦值为 .243如图，在四面体 ABCD 中， O 是 BD 的中点， CA CB CD BD2， AB AD ，连接 AO.2(1)求证： AO平面 BCD；(2)求直线 AB 与平面 ACD 所成角的余弦值(1)证明 如图，连接 OC，因为 AB AD， O 是线段 BD 的中点，所以 AO BD，同理可得CO BD.又在 ABD 中， AB AD ， BD2，所以 AO1，2在 BCD 中， CB CD BD2，
8、所以 CO ，又 AC2，3所以 AO2 OC2 AC2，所以 AOC90，即 AO OC.又 OC BD O， OC， BD平面 BCD，所以 AO平面 BCD.(2)解 方法一 如图，过点 B 作 BM平面 ACD 于点 M，连接 AM，则 BAM 为直线 AB 与平面 ACD 所成的角，5由 VA BCD VB ACD，可得 AOS BCD BMS ACD，13 13因为 AO1， S BCD 2 ，12 3 3S ACD ，12 2 22 (22)2 72所以 BM .2217在 Rt AMB 中， AM .AB2 BM2147所以 cos BAM .AMAB 77所以直线 AB 与平
9、面 ACD 所成角的余弦值为 .77方法二 以 O 为坐标原点， OB， OC， OA 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,0,0)， D(1,0,0)， C(0， ，0)， A(0,0,1)3所以 (1,0，1)， (0， ，1)，AD AC 3设平面 ACD 的法向量为 n( x， y， z)，则Error!所以Error!令 y1，得 n( ，1， )是平面 ACD 的一个法向量3 3又 (1,0，1)，AB 所以 cos n， ，AB nAB |n|AB | 427故直线 AB 与平面 ACD 所成角的余弦值为 .1 (427)2 77
10、4在如图所示的直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E 分别是 BC， A1B1的中点(1)求证： DE平面 ACC1A1；(2)若 AB BC， AB BC， ACB160，求直线 BC 与平面 AB1C 所成角的正切值6(1)证明 取 AB 中点 F，连接 DF， EF.在 ABC 中，因为 D， F 分别为 BC， AB 的中点，所以 DF AC，又 DF平面 ACC1A1， AC平面 ACC1A1，所以 DF平面 ACC1A1.在矩形 ABB1A1中，因为 E， F 分别为 A1B1， AB 的中点，所以 EF AA1，又 EF平面 ACC1A1，AA1平面 ACC1A1，所以 E
11、F平面 ACC1A1.因为 DF EF F，所以平面 DEF平面 ACC1A1.因为 DE平面 DEF，故 DE平面 ACC1A1.(2)解 因为三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱，所以 BC BB1，又 AB BC， AB BB1 B，所以 BC平面 ABB1A1.因为 AB BC， BB1 BB1，所以 ABB1 CBB1， AB1 CB1，又 ACB160，所以 AB1C 为正三角形，所以 AB1 AC AB，所以 BB1 AB.AB2 BB21 2取 AB1的中点 O，连接 BO， CO，所以 AB1 BO， AB1 CO，所以 AB1平面 BCO，所以平面 AB1C平面 BCO，
12、点 B 在平面 AB1C 上的射影在 CO 上，所以 BCO 即为直线 BC 与平面 AB1C 所成的角在 Rt BCO 中， BO AB BC，22 22所以 tan BCO .BOBC 225如图，在三棱锥 D ABC 中， DA DB DC，点 D 在底面 ABC 上的射影为点E， AB BC， DF AB 于点 F.(1)求证：平面 ABD平面 DEF；(2)若 AD DC， AC4， BAC60，求直线 BE 与平面 DAB 所成角的正弦值7(1)证明 如图，由题意知 DE平面 ABC，所以 AB DE，又 AB DF， DE DF D， DE， DF平面 DEF，所以 AB平面 D
13、EF，又 AB平面 ABD，所以平面 ABD平面 DEF.(2)解 方法一 由 DA DB DC 知 EA EB EC，所以 E 是 ABC 的外心又 AB BC，所以 E 为 AC 的中点过点 E 作 EH DF 于点 H，则由(1)知 EH平面 DAB，所以 EBH 即为 BE 与平面 DAB 所成的角由 AC4， BAC60得 BE DE2， EF ，3所以 DF ， EH ，7237所以 sin EBH .EHBE 217方法二 如图建立空间直角坐标系，则 A(0，2,0)， D(0,0,2)， B( ，1,0)，3所以 (0，2，2)， ( ，1，2)， ( ，1,0)，DA DB
14、3 EB 3设平面 DAB 的法向量为 n( x， y， z)，8由Error! 得Error!取 n .(33， 1， 1)设 与 n 的夹角为 ，EB 所以 cos ，EB n|EB |n|2273 217所以 BE 与平面 DAB 所成角的正弦值为 .2176如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB2， AD4，点 E， F 分别在 AD， BC 上，且AE1， BF3，将四边形 AEFB 沿 EF 折起，使点 B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上(1)求证： CD BE；(2)求线段 BH 的长度；(3)求直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值(1)证明 BH平面
15、CDEF， CD平面 CDEF， BH CD，又 CD DE， BH DE H， BH， DE平面 DBE， CD平面 DBE，又 BE平面 DBE， CD BE.方法一(2)解 设 BH h， EH k，过 F 作 FG 垂直 ED 于点 G，连接 FH， BE.线段 BE， BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得Error!即Error! 解得Error!线段 BH 的长度为 2.(3)解 延长 BA 交 EF 于点 M，9 AE BF MA MB13，点 A 到平面 EFCD 的距离为点 B 到平面 EFCD 距离的 ，13点 A 到平面 EFCD 的距离为 ，而 AF ，23 13
16、设 AF 与平面 EFCD 所成角为 ，直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值为 sin .23AF 21339方法二(2)解 如图，过点 E 作 ER DC，过点 E 作 ES平面 EFCD，分别以 ER， ED， ES 为x， y， z 轴建立空间直角坐标系，设点 B(0， y， z)(y0， z0)，由于 F(2,2,0)， BE ， BF3，5Error! 解得Error!于是 B(0,1,2)，线段 BH 的长度为 2.(3)解 从而 (2，1,2)，FB 故 ，EA 13FB ( 23， 13， 23) ，FA FE EA ( 83， 73， 23)设平面 EFCD 的一个法向量为 n(0,0,1)，直线 AF 与平面 EFCD 所成角的大小为 ，则 sin .|FA n|FA |n| 21339
