1、1二 平行线分线段成比例定理学习目标1.理解平行线分线段成比例定理.2.理解平行线分线段成比例定理的推论.3.能应用定理及推论解决相关的几何计算问题和证明问题.知识链接1.对于成比例线段有下面的结论：(1)如果 ，那么 ad_.ab cd(2)如果 ，那么 _.ab cd a bb(3)如果 (a b， c d)，那么 _.ab cd aa b提示 bc c dd cc d2.如图所示， l1 l2 l3， AB BC23， DF15，求 DE， EF 的长度.提示 由已知可设 DE2 x， EF3 x，则 2x3 x15， x3， DE6， EF9.预习导引1.平行线分线段成比例定理文字语言
2、三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例符号语言a b c，直线 m 分别与 a， b， c 相交于点 A， B， C，直线 n 分别与 a， b， c 相交于点 D， E， F，则 ABBC DEEF图形语言2作用 证明分别在两条直线上的线段成比例2.推论文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例符号语言 直线 DE 分别与 ABC 的两边 AB， AC 所在直线交于 D， E，且 DE BC，则 ADDB AEEC图形语言作用 证明三角形中的线段成比例要点一 平行线分线段成比例定理的理解例 1 如图，已知线段 AB，在线段 AB 上找一点 C，使 AC
3、 CB.12解 作法：(1)过点 A 作适当射线 AK；(2)在射线 AK 上依次截取点 B1， B2， B3，使 AB1 B1B2 B2B3；(3)连接 BB3；(4)过 B1作 B1C BB3交 AB 于点 C，则点 C 即为所求.证明如下： B1C BB3， .AB1B1B3 ACCB又 AB33 AB1， ， .AB1B1B3 12 ACCB 12即 AC CB.12规律方法 可应用平行线分线段成比例定理来作图，由于 AC CB，所以 C 为线段 AB 的三等分点，于是作射线12AK，然后在 AK 上依次截取 AB1 B1B2 B2B3，连接 B3B.过 B1作 B1C B3B，即得到
4、点 C.3跟踪演练 1 如图， D， E， F 分别在 AB， AC， BC 上，且 DE BC， DF AC，则下列等式成立的是( )A. B. ADBD DEBC AEEC BFFCC. D. DFAC DEBC ECAC BFBC解析 DE BC， ， .ADBD AEEC BDAD ECAE又 DF AC， .BDDA BFFC由知 ，即 ， .ECAE BFFC ECAE EC BFBF FC ECAC BFBC答案 D要点二 平行线分线段成比例定理及推论的简单应用例 2 如图所示，已知直线 FD 和 ABC 的 BC 边交于 D，与 AC 边交于 E，与 BA 的延长线交于 F，且
5、 BD DC.求证： AEFB ECFA.证明 法一 如图所示，过 A 作 AG BC，交 DF 于点 G. AG BC， .又 BD DC， .FAFB AGBD FAFB AGDC又由 AG BC，得 . ，AGDC AEEC AEEC FAFB即 AEFB ECFA.法二 如图所示，过点 B 作 BM AC 交 FD 的延长线于 M. AE BM， .FAFB AEBM又由 BM EC，知34，又12 且 BD DC， EDC MDB， BM EC. ，FAFB AEEC即 AEFB ECFA.4规律方法 在利用平行线分线段成比例定理及推论解决问题时，常常在复杂的图形中找出基本图形(有时
6、需添加辅助线，构成基本图形)，借图解题.本题证 AEFB ECFA.可先证比例式 ，构造含平行线的基本图AEEC FAFB形，利用平行线分线段成比例定理及其推论进行证明.跟踪演练 2 如图所示， l1 l2 l3.求证： .ABDE BCEF ACDF证明 l1 l2 l3， ， ，ABBC DEEF ABDE BCEF ， . .BCAC EFDF BCEF ACDF ABDE BCEF ACDF要点三 平行线分线段成比例定理及推论的综合应用例 3 如图所示，在 ABC 中， CD AB 于 D， E 为 BC 边中点，延长 AC， DE 相交于点 F.求证： .ACBC AFDF证明 作
7、EH AB 交 AC 于点 H， ， ，ACAH BCBE ACBC AHBE同理可证： ，AFAH DFDE .AFDF AHDE BDC 为直角三角形且 E 为 BC 边中点， BE CE DE， ， .AHBE AHDE ACBC AFDF5规律方法 通过添加辅助线，构造基本图形，借图寻找合适的等量关系，再结合其他知识综合利用，以解决问题.跟踪演练 3 如图所示，四边形 ABCD 为平行四边形，过 B 的直线分别交 AC， AD， CD 的延长线于 O， F， E.求证： OB2 OFOE.证明 AB CE， .OBOE ABCE又 AF BC， .OFOB AFBC AFAD AB D
8、E， .AFFD ABDE由得 ，AFAF FD ABAB DE ABCD DE即 .AFAD ABCE由得 ，OFOB ABCE又由得 .OBOE OFOB即 OB2 OEOF.1.比例的性质这是学好本节的前提.(1)基本性质 a b c dad bc.(2)合比性质：如果 ，那么 .ab cd a bb c dd(3)等比性质：如果 (b d n0)，那么 .ab cd mn a c mb d n ab2.利用平行线转移比例式是常用的证题技巧，当题目中没有平行条件而有必要转移比例式时，常添加辅助平行线.添加的辅助线不同，解题方法也不相同.63.推论的图形变化如图所示.1.如图所示， AB
9、CD， AC， BD 交于 O， BO7， DO3， AC25，则 AO 的长为( )A.10 B.7.5C.15 D.17.5解析 AB CD， ， . ，即 ， AO17.5.AOCO BODO 73 AOAO CO 77 3 710 AOAC 710 AO25 710答案 D2.如图， l1 l2 l3，已知 AB6 cm， BC3 cm， A1B14 cm，则 B1C1的长为( )A.6 cm B.4 cm C.3cm D.2 cm解析 l1 l2 l3， ，ABBC A1B1B1C1 B1C1 2.346答案 D3.如图， E 是 ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且 ，则 _.
10、DCBE 32 ADBF解析 由已知： BF AD， 1，ADBF AEBE AB BEBE ABBE7又 AB DC， ，DCBE 32 ， .ABBE 32 ADBF 52答案 524.如图所示， DE BC， EF DC.求证： AD2 AFAB.证明 在 ABC 中， DE BC， .在 ADC 中， EF DC，ADAB AEAC ， ，即 AD2 AFAB.AFAD AEAC ADAB AFAD一、基础达标1.如图所示， ACE 的中点 B， D 分别在 AC， AE 上，下列推理不正确的是( )A.BD CE B.BD CE ABAC BDCE ADAE BDCEC.BD CE
11、D.BD CE ABBC ADDE ABBC BDCE解析 由平行线等分线段定理的推论，易知 A，B，C 都正确，D 错.答案 D2.如图所示， AD 是 ABC 的中线，点 E 是 CA 边的三等分点， BE 交 AD 于点 F，则 AF FD 为( )8A.21 B.31 C.41 D.51解析 过 D 作 DG AC 交 BE 于 G，则 DG EC，又 AE2 EC，12 AF FD AE DG2 EC EC41.12答案 C3.如图所示，在梯形 ABCD 中， BC AD， E 是 DC 延长线上一点， AE 交 BD 于点 G，交 BC 于点 F，下列结论： ； ； ； .其中正确
12、的个数是( )ECCD EFAF FGAG BGGD AEAG BDDG AFCD AEDEA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析 BC AD， 对，ECCD EFAF 对，FGAG BGGD ， ，AEAF DEDC AEDE AFDC故也对.错.答案 C4.如图所示，在 ABC 中， DE BC， EF CD，若 BC3， DE2， DF1，则 AB 的长为_.解析 DE BC， EF CD， BC3， DE2， ，又 DF1，故可解得AEAC AFAD DEBC 23AF2， AD3，又 ， AB .ADAB 23 92答案 925.如图，在 ABC 中， DE BC， DF
13、 AC， AE2， EC1， BC4，则 BF_.9解析 DF AC， .BFBC DFAC ECAC BF4 .12 1 43答案 436.如图所示，在 ABCD 中， H， E 分别是 AD， AB 延长线上一点， HE 交 DC 于 K，交 AC 于 G，交 BC 于 F.求证： GHGK GEGF.证明 要证 GHGK GEGF，即证 .GHGF GEGK由 AD BC 得 ，GHGF AGCG由 AB CD 得 ，GEGK AGCG ，即 GHGK GEGF.GHGF GEGK7.如图所示，已知有 ABCD，点 N 是 AB 延长线上一点， DN 交 BC 于点 M，则 为( )BC
14、BM ABBNA. B.1 C. D.12 32 23解析 由 CD BN 得 ，又四边形 ABCD 为平行四边形，故CMBM CDBNAB CD， ， 1.CMBM ABBN BCBM ABBN BCBM CMBM BC CMBM BMBM答案 B二、能力提升8.如图所示， AB GH CD， AB2， CD3，则 GH 的长是_.10解析 AB GH， ， GH CD， ， 1， GH .GHAB CHBC GHCD BHBC GHAB GHCD CHBC BHBC 65答案 659.如图，在梯形 ABCD 中， AB CD， AB4， CD2， E， F 分别为 AD， BC 上的点，且
15、 EF3， EF AB，则梯形ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为_.解析 EF AB，且 EF3 (AB CD)，12 EF 是梯形中位线，设梯形 ABFE 的高为 h， S 梯形 ABFE (43) h h， S 梯形 EFCD (23) h h，12 72 12 52 S 梯形 ABFE S 梯形 EFCD h h .72 52 75答案 7510.已知 AD EF BC，点 E， F 分别在 AB， CD 上， AE BE23， AD10 cm， BC15 cm，求 EF 的长.解 如图，连接 BD 交 EF 于点 G. ，AEBE 23 ， .AEAB 25 BEAB 35 AD
16、EF BC， .AEAB DFDC GFBC 25 BC15 cm， GF6 cm.同理可得 EG6 cm. EF EG GF12 cm.11.如图所示， BD DC53， E 为 AD 的中点，求 BE EF 的值.11解 过 D 作 DG CA 交 BF 于 G，则 .BGGF BDDC 53 E 为 AD 的中点， DG AF， DGE AFE， EG EF. 2 .BGEF BG12GF 2BGGF 53 103故 1 1 .BEEF BG EFEF BGEF 103 133三、探究与创新12.在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，过点 C 任作一直线与边 AB 及 AD 分别交于点
17、 F， E.(1)如图(1)所示， DG CF 交 AB 于点 G，当 D 是 BC 边的中点时，求证： ；AEED 2AFBF(2)如图(2)所示，当 时，求证： ；BDDC 12 AEED 3AF2BF(3)如图(3)所示，当 时，猜想： 与 之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关BDDC mn AEED AFBF系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由.(1)证明 DG CF， BD DC， BG FG BF. EF DG， .12 AEED AFFG .AEED AF12BF 2AFBF(2)证明 过点 D 作 DG CF 交 AB 于点 G，如题图(2)所示，12 .又 ， DC2 BD BC.AEED AFFG BDDC 12 23 DG FC， .FGBF DCBC 23 FG BF. .23 AEED AF23BF 3AF2BF(3)解 当 时，有关系式： .BDDC mn AEED m nn AFBF证明如下：如题图(3)所示，过点 D 作 DG CF 交 AB 于点 G， .又 ， ， DG FC，AEED AFFG BDDC mn BCDC m nn ，BFFG BCDC m nn FG BF， .nm n AEED AFnm nBF m nn AFBF
